1、多项式的因式分解多项式的因式分解湘教版湘教版七年级数学下册七年级数学下册新课导入新课导入 在一块边长为在一块边长为a的正方形空地中间，的正方形空地中间，有一个边长为有一个边长为b的正方形水池，假设在的正方形水池，假设在空地上种草，那么草地面积为？假设空地上种草，那么草地面积为？假设a=118m，b=18m，如何较简便地计算，如何较简便地计算出草地面积呢？出草地面积呢？a2-b2=1182-182有简便算法吗？有简便算法吗？探究新知探究新知121等于等于3乘哪个整数？乘哪个整数？2x2-1等于等于x+1乘哪个多项式？乘哪个多项式？3是是21的一个因数的一个因数7也是也是21的一个因数的一个因数x
2、+1是是x2-1的一个因式，的一个因式，x-1也是也是x2-1的一个因式的一个因式21=37x2-1=(x+1)(x-1)一般地，对于两个多项式一般地，对于两个多项式f与与g，如果有多项式，如果有多项式h使得使得f=gh，那么我们把，那么我们把g叫做叫做f的一个因式的一个因式.此时，此时，h也是也是f的一个的一个因式因式.x2-1=(x+1)(x-1)x2-1=(x+1)(x-1)把把x2-1写成写成(x+1)(x-1)的形式叫做把这个的形式叫做把这个多项式因式分解多项式因式分解.一般地，把一个多项式表示成假设干个多项式的乘积一般地，把一个多项式表示成假设干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项
3、式因式分解的形式，称为把这个多项式因式分解.x2-1=(x+1)(x-1)以下各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，以下各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？哪些不是，为什么？(1)a2+2ab+b2=(a+b)2;(2)m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.例例1是是.因为从左边到右边是把多项式因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了多项表示成了多项式式a+b与与a+b的积的积的形式的形式.不是不是.因为因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式不是几个多项式乘积的形式.检验以下因式分解是否正确检验以下因式分解是否正确.1x2+xy=x(x+y)
4、;2a2-5a+6=(a-2)(a-3);32m2-n2=(2m-n)(2m+n).例例2因为因为x(x+y)=x2+xy，正确正确 因为因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6，正确正确 因为因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n22m2-n2，不正确不正确 1.求求4，6，14的最大公因数的最大公因数.4=226=2314=274，6，14的最大公因数是的最大公因数是2.稳固练习稳固练习2.以下各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪以下各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？些不是，为什么？1(x+1)(x+2)=x2+3x+2;22x2y+4xy2=2xy(x+2
5、y);不是不是.因为因为x2+3x+2不是几个多项式乘积的形式不是几个多项式乘积的形式.是是.因为从左边到右边是把多项式因为从左边到右边是把多项式2x2y+4xy2表示成了多项式表示成了多项式2xy与与x+2y的积的积的形式的形式.2.以下各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪以下各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？些不是，为什么？3x2-2=(x+1)(x-1)-1;44a2-4a+1=(2a-1)2.不是不是.因为因为(x+1)(x-1)-1不是几个多项式乘积的形式不是几个多项式乘积的形式.是是.因为从左边到右边是把多项式因为从左边到右边是把多项式4a2-4a+1
6、表示成了多项式表示成了多项式2a-1与与2a-1的积的积的形式的形式.3.检验以下因式分解是否正确检验以下因式分解是否正确.1-2a2+4a=-2a(a+2);2x3+x2+x=x(x2+x);3m2+3m+2=(m+1)(m+2).因为因为-2a(a+2)=-2a2-4a-2a2+4a，不正确不正确 因为因为x(x2+x)=x3+x2 x3+x2+x，不正确不正确 因为因为(m+1)(m+2)=m2+3m+2，正确正确 课堂小结课堂小结 一般地，把一个多项式表示成假设干个多项式的乘积一般地，把一个多项式表示成假设干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解的形式，称为把这个多项式因式分解
7、.x2-1=(x+1)(x-1)一般地，对于两个多项式一般地，对于两个多项式f与与g，如果有多项式，如果有多项式h使得使得f=gh，那么我们把，那么我们把g叫做叫做f的一个因式的一个因式.此时，此时，h也是也是f的一个的一个因式因式.f=gh1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。课后作业课后作业学习目标：学习目标：1.理解理解 a 0，b 0；2.运用运用 a 0，b 0.学习重点：学习重点：a 0，b 0及其运用及其运用.学习难点：学习难点：a 0，b 0的理解与应用的理解与应用.abababababababab复习导入复习导入计算：计算
8、：abab ab00，157（）22375（）=5 735=22237525500abab ab，这就是说，这就是说，积的算术平方根，等于各因积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积式算术平方根的积.一般地，对二次根式的乘法规定为一般地，对二次根式的乘法规定为 a 0，b 0.反过来，反过来，ab=ab推进新课推进新课例化简化简 ，使被开方数不含完全平方的因，使被开方数不含完全平方的因数。数。1212=22 3完全平方的因数完全平方的因数22解21223=223=2 3=例化简化简 ，使被开方数不含完全平方的因，使被开方数不含完全平方的因数。数。12.13 62515（）；（）213 632=
9、解解：（）2515553=（）练习练习1.比较以下各式，并将所得的结果化简：比较以下各式，并将所得的结果化简：232 3 2=；.553 5 3=.149=4912122425=425252512=425=4 12=8 325；112112=25=25=1122525=4 9=49=2 3=62.判断以下各式是否正确，不正确的请改正判断以下各式是否正确，不正确的请改正:22=47=47=4 7积的算术平方积的算术平方 根应用的条件：根应用的条件：a 0，b 01.化简：化简：解：解：120218324454（）；（）；（）；（）；212025=（）225=2 5=221832=（）232=3
10、2=随堂演练随堂演练1.化简：化简：120218324454（）；（）；（）；（）；解：解：232426=（）226=2 6=245436=（）236=3 6=2.自由落体的公式为自由落体的公式为 g 为重力加速为重力加速度，它的值为度，它的值为10m/s2，假设物体下落的高度为，假设物体下落的高度为120m，那么下落的时间是，那么下落的时间是_s.212sgt 212sgt 2stg 2 1202410 2262 62 6一般地，有一般地，有课堂小结课堂小结00abab ab，这就是说，这就是说，积的算术平方根，等于各因积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积式算术平方根的积.课后作业课后作
11、业1.从教材习题中选取，从教材习题中选取，2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.教学反思教学反思本课时教学以本课时教学以“自主探究自主探究合作交流为合作交流为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的时机，培养学生独立探究、合作学个交流合作的时机，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力学生准确解题的能力.加减消元法加减消元法湘教版湘教版七年级数学下册七年级数学
12、下册复习导入复习导入 解二元一次方程组的根本想法是：解二元一次方程组的根本想法是：_消去一个未知数简称为消元，消去一个未知数简称为消元，得到一个一元一次方程，得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程然后解这个一元一次方程.关键 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程.这种解方程组的方法这种解方程组的方法叫做叫做代入消元法代入消元法.简称简称代入法代入法.探究新知探究新知如何解下面的二元一次方程？如何解下面的二元
13、一次方程？2x3y=1,2x3y=5.我们可以用学过的代入消元法来我们可以用学过的代入消元法来解这个方程组，得解这个方程组，得x=1,y=1.还有没有更简单的解法呢？还有没有更简单的解法呢？消元消元2x2x探究新知探究新知如何解下面的二元一次方程？如何解下面的二元一次方程？2x3y=1,2x3y=5.消元消元2x2x即，得即，得2x+3y2x3y15，6y6，解得解得y1.把把y1代入代入_式，得式，得/2x+311，解得解得x1.因此原方程组的解是因此原方程组的解是x=1,y=1.3y3y探究新知探究新知2x3y=1,2x3y=5.消元消元3y3y 在消元过程中，如果把方程与方程相加，可以消
14、去一个在消元过程中，如果把方程与方程相加，可以消去一个未知数吗？未知数吗？如何解下面的二元一次方程？如何解下面的二元一次方程？即，得即，得2x+3y2x3y15，4x4，解得解得x1.把把x1代入代入_式，得式，得/21+3y1，解得解得y1.因此原方程组的解是因此原方程组的解是x=1,y=1.探究新知探究新知例例 3 3解二元一次方程组：解二元一次方程组：7x3y=1,2x3y=8.3y3y解：，得解：，得7x+3y2x3y18，9x9，解得解得x1.把把x1代入代入式，得式，得71+3y1，解得解得y2.因此原方程组的解是因此原方程组的解是x=1,y=2.【归纳结论】【归纳结论】两个二元一
15、次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时，把这两个方程相减或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做或相加，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法加减消元法，简称，简称加减法加减法.2x3y=1,2x3y=5.解：即，得解：即，得 2x+3y2x3y15，解：，得解：，得7x+3y2x3y18，2x3y=1,2x3y=5.解：即，得解：即，得 2x+3y2x3y15，7x3y=1,2x3y=8.例例 3 33y3y探究新知探究新知 用用加减法解二元一次方加减法解
16、二元一次方程组的时候，什么条件下用程组的时候，什么条件下用加法？什么条件下用减法？加法？什么条件下用减法？2x2x3y3y【归纳结论】【归纳结论】当方程组中同一未知当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而到达消元的目的减，从而到达消元的目的探究新知探究新知例例 4 4解二元一次方程组：解二元一次方程组：2x3y=11,6x5y=9.能直接相加减消掉一个能直接相加减消掉一个未知数吗？未知数吗？如何把同一未知数的系如何把同
17、一未知数的系数变成一样呢？数变成一样呢？，得，得14y42，解得解得y3.把把y3代入代入式，得式，得 2x+3311，解得解得x1.因此原方程组的解是因此原方程组的解是x=1,y=3.解：解：3，得，得6x+9y33，在例在例4中，如果先消去中，如果先消去y应该如何解？会与上述结果一致吗？应该如何解？会与上述结果一致吗？2x3y=11,6x5y=9.，得，得解得解得x1.把把x1代入代入式，得式，得 21+3y11，解得解得y3.因此原方程组的解是因此原方程组的解是x=1,y=3.解：解：，得，得53x+5y ，103553x ，283283稳固练习稳固练习用加减法解二元一次方程组：用加减法
18、解二元一次方程组：选自教材P10 练习2xy=2,2x3y=18；（1）5a2b=11,5a3b4；（2）解：，得解：，得2x+y2x3y218，4y16，解得解得y4.把把y4代入代入式，得式，得2x+42，解得解得x3.因此原方程组的解是因此原方程组的解是x3,y4.解：，得解：，得5a2b5a3b114，5b15，解得解得b3.把把b3代入代入式，得式，得5a+334，解得解得a1.因此原方程组的解是因此原方程组的解是a1,b3.3m2n=8,6m5n=47；（3）2x4y=34,5x2y31；（4），得，得9n63，解得解得n7.把把n7代入代入式，得式，得3m+278，解得解得m2.
19、因此原方程组的解是因此原方程组的解是m=2,n=7.解：解：2，得，得 6m+4n16，得，得12x96，解得解得x8.把把x8代入代入式，得式，得284y34，解得解得因此原方程组的解是因此原方程组的解是解：解：2，得，得 10 x+4y62，y .92x=8,y=.92稳固练习稳固练习选自教材P10 练习2.解以下二元一次方程组解以下二元一次方程组:2（x2y）5y=1,3（xy）y=2；（1）,；（2）21733xy2133xy，得，得x4，把把x4代入代入式，得式，得 24y34，解得解得因此原方程组的解是因此原方程组的解是2，得，得2xy2，y7.x=4,y=7.解：化简得解：化简得
20、2xy=1,3x2y=2；解：，得解：，得y9，解得解得把把y9代入式，得代入式，得解得解得x6.因此原方程组的解是因此原方程组的解是x=6,y=9.17133yy 29133x 选自教材P13 习题1.2 A组 第2题 稳固练习稳固练习m2n5=0,7m2n13=0；（3）2x5y=0,x3y1；（4）解：，得解：，得m1，解得解得把把m1代入式，得代入式，得解得解得n3.因此原方程组的解是因此原方程组的解是m=1,n=3.m7m5130，12n50，得，得y2，把把y2代入代入式，得式，得2x622，解得解得因此原方程组的解是因此原方程组的解是解：解：2，得，得 2x6y2，x5.x=5,
21、y=2.选自教材P13 习题1.2 A组 第2题 稳固练习稳固练习2xy3,4x3y13；（5）1.5p2q=1,4.5p7q8；（6），得，得解得解得因此原方程组的解是因此原方程组的解是解：解：2，得，得 4x2y6，2y3y613，解得解得y ，195把把y 代入代入式，得式，得1952x（）3，x .25x=,y=.25，得，得q5，把把q5代入代入式，得式，得 1.5p252，解得解得因此原方程组的解是因此原方程组的解是解：解：3，得，得 4.5p6q3，p6.p=6,q=5.选自教材P13 习题1.2 A组 第2题 稳固练习稳固练习课堂小结课堂小结代入消元法代入消元法加减消元法加减消元法解一元一次方程解一元一次方程二元一次方二元一次方程组的解法程组的解法1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。课后作业
