1、 - 1 - 高二年级第一学期第一次调研考试 数学试题 第卷 （选择题，共 60分） 一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只有 一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.给出下列四个命题： 若平面 平面 ，直线 a? ，直线 b? ，则 a b； 若直线 a 直线 b，直线 a、 c 平面 ， b、 c 平面 ，则 ； 若平面 平面 ，直线 a? ，则 a ； 若直线 a 平面 ，直线 a 平面 ，则 . 其中正确命题的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2.在棱长为 1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的
2、平面截该正方形，则截去 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是 （ ） A 23 B 76 C 45 D 56 3.有三个球 ,一球切于正方体的各面 ,一球切于正方体的各侧棱 ,一球过正方体的各顶点 ,求这三个球的体积之比 ( ) A 3:2:1 B 3:2:1 C 33:22:1 D 9:4:1 4.如图， 1 1 1 1ABCD A B C D? 为正方体，下面结论 错误 的是 ( )(填序号 ) A.BD 平面 11DCB B. BDAC?1 C. ?1AC 平面 11DCB D.异面直线 AD 与 1CB 所成的角为 60 . 5.将正三棱柱截去三 个角如图一所示， A,B,C分别是
3、GHI? 三边的中点，得到几何体如图 2，则该几何体按图 2所示方向的侧视图为（ ） 6.直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 ? 内，直角顶点 C 在平面 ? 外， C 在平面 ? 内的射影为 1C ,且 ABC?1 ,则 ABC1? 为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 以上都不对 4 题图 - 2 - 7 如图，矩形 CBAO 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中,6 cmAO ? cmCO 2 ? ，则原图形是 ( ) A.正方形 B. 菱形 C. 矩形 D.一般的平行四边形 8.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的正方体新
4、工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率 =原工件的体积新工件的体积）（ ） A ?278 B ?98 C ? 3)128 ?（ D ? 3)1224 ?（ 9.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中，点 M 是棱 CD 的中点，点 O 是侧面 DDAA11 的中点，若点 P在侧面 CCBB11 及其边界上运动，并且总是保持 AMOP? ,则动点 P的轨迹是（ ） A. 线段 CB1 B. 线段 BB1 C. 线段 CC1 D. 线段 1BC 10.梯形 ABCD中， ?90?ABC ,以 A 为圆心， AD为半径作圆，如图所示（单位： c
5、m），则图中阴影部分绕 AD 旋转一周所形成的几何体的表面积为（ ) A ?80 B 84? C 60? D 68? 11 已知 ,ABC 三点的坐标分别是 (3,0)A ， (0,3)B ， (cos ,sin )C ?，3( , )22? ，若 1AC BC? ? ，则 21 tan2sin sin 2? ? 的值为 （ ） A 59?B 95?C 2 D 3 12.已知 0,0 ? ba ，若不等式 0133 ? babam 恒成立，则 m 的最大值为（ ） A.4 B.3 C.9 D.16 第 卷 （非选择题 共 90分） 二、填空题 (本大题包括 4小题，每小题 5分，共 20 分，
6、把正确答案填在答题卡中的横线上 ). 13我国古代数学名著 数书九章中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长 2 丈 4 尺，圆周为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长 尺。”（注： 1丈等于 10尺） 7 题图 8 题图 10 题图 - 3 - 14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为 15、 如图，在 ABC? 中， 6AB BC?， 90ABC? ，点 D 为 AC 的中点，将 ABD? 沿BD 折起到 PBD? 的位置，使 PC PD? ，连接 PC ，得到三棱锥
7、P BCD? .若该三棱锥 的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 16、在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E 是棱 1CC 的中点， F 是侧面 11BCCB 内的动点，且1 /AF 平面 1DAE ，则 1AF 与平面 11BCCB 所成角的正切值的取值范围是 三、解答题（本大题包括 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 把正确答案填在答题卡中的对应位置上 ） . 17、已知正项等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 31?a ，且 352 , aSa 成等比数列 . 求数列 ?na 的通项公式； 设 1)( ? nn bSn
8、 ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 18、 已知 a、 b、 c分别是 ABC 的内角 A、 B、 C所对的边， Bba cos2? ， cb? 。 （） 证明： A=2B （） 若 Cacbca sin2222 ? ，求 A 15 题图 ACBPD- 4 - 19、 （本题满分 12分） 设 QP, 是边长为 a 的正方体 1AC 的面DDAA11 、面 1111 DCBA 的中心 ,如图 （ 1）证明 PQ 平面 AA1B1B； （ 2）求线段 PQ的长 . 20、 （本题满分 12分） 已知在 BCD中， BCD 90 ， BC CD 1， AB平面 BCD， ADB 60 ，
9、 E， F分别是 AC， AD上的动点 ，且 AEAC AFAD (0 1)，如图 (1)求证：不论 为何值，恒有平面 BEF 平面 ABC； (2)当 为何值时，平面 BEF 平面 ACD? 21、 （本题满分 12分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11ACCA? 底面 ABC ， 1 60AAC? ? ? ， 124AC AA?，点 D ， E 分别是 1AA ， BC 的中点 . （ 1）证明： /DE 平面 11ABC ； （ 2）若 2AB? ， 60BAC? ? ? ，求三棱锥 1A BDE? 的体积 . 22、 （本题满分 12 分） 在四棱锥 ABCDP
10、? 中，底面 ABCD 为矩形，平面 ?PAB 平面ABCD , 3?APAB , 2?PBAD ,E 为线段 AB 上一点，19 题图 21 题图 20 题图 22 题图 - 5 - 且 27: ：?EBAE ，点 GF, 分别为线段 PDPA, 的中点。 求证 : ?PE 平面 ABCD ； 若平面 EFG 将四棱锥 ABCDP? 分成 左右两部分，求这两部分的体积之比。 附加题：（第 23,24题每题 5分，第 25题 10分） 23、 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 绕其体对角线 1BD 旋转 ? 之后与其自身重合，则 ? 的值可以是（ ） A. 56? B.
11、34? C. 23? D. 35? 24、已知三棱锥 BCDA? 中，2? BCACAB , 2?CDBD ，点 E 是 BC 的中点，点 A 在平面 BCD 的射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为 。 25、 （本题满分 10分） 如图，在矩形 ABCD中， AB=2BC， P,Q分别为线段 AB， CD的中点， EP? 平面 ABCD。 求证： DP? 平面 EPC； 问在 EP上是否存在点 F使平面 AFD? 平面 BFC？若存在，求出APFP 的值； 求证：平面 ?AEQ 平面 DEP. - 6 - 高二年级第一学期第一次调研考试 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题：
12、 （本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只有 一项 是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C D A C B B B A B D 二、填空题： (本大题包括 4小题，每小题 5分 ，共 20分，把正确答案填在答题卡中的横线上 ). 13、 26 14、 26 15、 7? 16、 22,2 三、 解答题：（本大题包括 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 把正确答案填在答题卡中的对应位置上 ） 17、 由题 数列 ?na 为等差数列，且
13、352 , aSa 成等比数列， 则 325 aaS ? ， 即 )2)(105 111 dadada ? ，又 31?a ，解之得 2?d 或 23?d ，数列 ?na 为正项等差数列，所以 2?d ，所以 12 ? nan ；? 5分 由得 ,22 nnSn ? 则 ）111()1( 1)2( 11 2 ? nnnnnnnSnb nn1)1113121211(21 ? n nnnbbbT nn ? ? 10分 18、 （本题满分 12分） （） 证明： 2a bcosB? ,由sin sinabAB?得 22sinA sinBcosB sin B?,? ? 3分 0,AB?， 2sinA
14、sinB? ?， 02B ? 2AB? 或 2AB?， ? 4分 若 2AB?,则 BC? ,bc? 这与 “ bc? ” 矛盾 , 2AB?.? 5分 2AB? ? 6分 （） 2 2 2 2a c b acsinC? ? ， 2 2 2 sin2a c b Cac? ?， 由余弦定理得 sincosB C? ,? ? 8分 0,BC?， 2CB?或2CB?， ? ? 9分 当2CB?时，则24A B C? ? ?，这与 “ bc? ” 矛盾 ,2A?； ? 10 分 当2CB?，由（ 1）得 2AB? ， 2222A B C A B A? ? ? ? ? ? ? ? ?， - 7 - 4A
15、? ? 12 分 18、 MP AD , ADMP 21? , NQ 11DA ,1121 DANQ?, MP ND 且NDMP? . 四边形 PQNM 为平行四边形 , PQ MN . ?MN 平面 BBAA11 , ?PQ 平面 BBAA11 PQ 平面 AA1B1B. ? 6分 连接 , 11 ABAD 则 PQ 为 BDD1? 中位线 ， aABPQ 22211 ?.?12分 20、 (1)证明：因为 AB 平面 BCD，所以 AB CD.因为 CD BC，且 AB BC B， 所以 CD 平面 ABC.又因为 AEAC AFAD (0 1)， 所以不论 为何值，恒有 EF CD.所以 EF 平面 ABC.又 EF?平面 BEF， 所以不论 为何值，恒有平面 BEF 平面 ABC.? 6 分 (2)解：由 (1)知， BE EF.又平面 BEF 平面 ACD，所以 BE 平面 ACD. 所以 BE AC.因为 BC CD 1， BCD 90 ， ADB 60 ， 所以 BD 2 ， AB 2 tan 60 6 .所以 AC 22AB BC? 7 . 由 AB2 AE AC，得 AE 67，所以 AEAC 67 . 故当 67 时，平面 BEF 平面 ACD? ? 12分 21、 证明：如图，取 AC 的中点 F ，连接
