1、专题一专题二专题三专题四专题一三角形中的基本计算问题在三角形问题中,绝大多数是关于三角形的边、角以及面积等的计算问题,这是高考对解三角形考查的主要形式.求解这类问题时,可以直接利用正弦定理、余弦定理、面积公式进行求解计算或者利用正弦、余弦定理,通过边与角的互化,对已知条件进行变形、转换再求解.专题一专题二专题三专题四答案:D 专题一专题二专题三专题四 【例2】若ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60,则ab的值为()答案:A 专题一专题二专题三专题四变式训练1(1)(2016山东高考)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2
2、(1-sin A),则A=()(2)已知在ABC中,B=120,AC=7,AB=5,则ABC的面积为.解析:(1)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,专题一专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题二三角形中的范围与最值问题解决三角形中边长或角的范围与最值问题通常有两种思路,一是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为边的关系,利用代数方法求解;二是通过正弦定理或余弦定理将问题转化为角的关系,利用三角中的方法求解.专题一专题二专题三专题四
3、【例3】已知在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是()解析:由已知及正弦定理得a2b2+c2-bc,由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos A,答案:C 专题一专题二专题三专题四【例4】已知在ABC中,B=60,则AB+2BC的最大值为.专题一专题二专题三专题四变式训练2(1)已知在ABC中,A=30,AB=4,满足此条件的ABC有两解,则BC边的长度的取值范围为.(2)已知在锐角三角形ABC中,BC=1,B=2A,则 的值等于,AC的取值范围为.专题一专题二专题三专题四专题二专题三专题四专题一专题三三角形中的综合问题正弦定理、余弦定理是平面
4、几何中的重要定理,应用极为广泛,它将三角形的边和角有机地联系起来.正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量,如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础,而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据.专题二专题三专题四专题一【例5】在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin C+cos C=1(1)求sin C的值;(2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.专题二专题三专题四专题一专题二专题三专题四专题一变式训练3在ABC中,sin2A=sin Bsin C.专题二专题三专题四专题一专题四解三角形的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.
5、常见的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题,解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.专题二专题三专题四专题一【例6】在某海峡海域内,当甲方船只与乙方船只相距最近时,两船均相互鸣笛问好.一天,海面上离乙方船只A的正北方向100 n mile处有一甲方船只B正以每小时20 n mile的速度沿北偏西60的方向行驶,而乙方船只A以15 n mile/h的速度向正北方向行驶.若两船同时出发,问几小时后,两船鸣笛问好?专题二专题三专题四专题一 变式训练4如
6、图,地面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB长20 m,在A处测得点P的仰角OAP=30,在B处测得点P的仰角OBP=45,又测得AOB=60,则旗杆的高度为()答案:C 考点1考点2考点3考点1正弦定理 答案:B 考点1考点2考点32.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.考点1考点2考点3答案:75 考点1考点2考点3考点1考点2考点3答案:1 考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点37.ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.考点1考点2考点3考点2余弦定理 解析:由余
7、弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即5=b2+4-4b,即3b2-8b-3=0,又b0,解得b=3,故选D.答案:D考点1考点2考点3考点1考点2考点3答案:C 考点1考点2考点310.ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,又因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,答案:C 考点1考点2考点3答案:B 考点1考点2考点3考点1考点2考点3考点1考点2考点314.四边
8、形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.考点1考点2考点3考点3正弦定理、余弦定理的综合应用15.已知ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.考点1考点2考点316ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;考点1考点2考点317.ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
