1、1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 八年级数学北师版 情境引入 学习目标 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离（重点） 2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题. (重点,难点) 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路 线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC+CBAB（两点之间线段最短） 导入新课导入新课 情境引入 思考：在立体图形中， 怎么寻找最短线路呢？ 讲授新课讲授新课 立体图形中两点之间的最短距离 一 B A 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处， 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬
2、向B处，你们 想一想，蚂蚁怎么走最近？ B A d A B A A B B A O 想一想： 蚂蚁走哪一条路线最近？ A 蚂蚁AB的路线 若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm， 取3，则: B A 3 O 12 侧面展开图 12 3 A B 15 )33(12 222 AB AB 【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平 面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线. A A 例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上 方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，取3） A B A B A B 解：
3、油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离. AA=232=12, AB=5, AB=13. 即梯子最短需13米. 典例精析 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 变式1：当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时，小明同学拿饮料瓶的手一抖， 那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达 点F处的最短路程是多少？（取3） E F E F E F E F 解：如图，可知ECF为直角三角形， 由勾股定理,得 EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100， EF=10(cm). B 牛奶盒牛奶盒 A 变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现， 拿出了牛
4、奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿 火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？ 6cm 8cm 10cm B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 =102 +（6+8）2 =296 AB22= 82 +（10+6）2 =320 AB32= 62 +（10+8）2 =360 勾股定理的实际应用 二 问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底 边AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ 解解: :连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、 AC的长度即可. AB2+BC2=AC2 ABC为直角三角形 （2）量得AD长是30 cm
5、，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边 垂直于AB边吗？ 解:AD2+AB2=302+402=502=BD2， 得DAB=90，AD边垂直于AB 边. （3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否 垂直于AB边吗？ 解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使 AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直； 不是，就是不垂直. 例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长. 已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长. 故滑道AC的长度为5 m. 解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE 的长度为（x-
6、1）m. 在RtACE中，AEC=90， 由勾股定理得AE2+CE2=AC2， 即（x-1）2+32=x2， 解得x=5. 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 例3 如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53方向走了 400m到达点B，然后再沿北偏西37方向走了300m到达目的地C.求A、C两点 之间的距离 解：如图，过点B作BEAD. DABABE53. 37CBAABE180， CBA90， AC2BC2AB2300240025002， AC500m， 即A、C两点间的距离为500m. E 方法总结 此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在 数学模型(直角三角形)
7、中，应用勾股定理或勾股定理的逆定 理解题 当堂练习当堂练习 1如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将 ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm AB C D E B 2有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小 孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒 有多长？ 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时: 最短时, x=1.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 答:这根铁棒的长应在23 m之间. 所以最短是1.5+0.5=2(m).
8、 222 1.52x 解得：x=2.5 梯子的顶端沿墙下滑4 m,梯子底端外移8 m. 解：在RtAOB中， ,2425 22222 AOABOB . 7OB 在RtCOD中， 3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为24m,如果 梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底 端B也外移4m吗? ,2025 22222 COCDOD .15OD .8OBODBD 4.我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题 的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中 央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边
9、的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度 各是多少？ D D A A B B C C 解：设水池的水深AC为x尺， 则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24， x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. 5. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色， 然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为 36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？ 解：如图，在RtABC中， 因为AC36cm，BC108427(cm) 由勾股定理，得 AB2AC2BC23622722025452， 所以AB45cm， 所以整个油纸的长为454180(cm) 勾股定理的 应用 立体图形中两点之间的最短距 离 课堂小结课堂小结 勾股定理的实际应用
