1、1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 第2课时 验证勾股定理 八年级数学北师版 1.学会用几种方法验证勾股定理（重点） 2.能够运用勾股定理解决简单问题（重点，难点） 学习目标 导入新课导入新课 观察与思考 活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以 斜边为边长的正方形 有不同的拼 法吗？ 讲授新课讲授新课 勾股定理的验证 一 据不完全统计，验证的方法有400多种， 你有自己的方法吗？ 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？ 那么如何验证勾股定理呢 ？ a a a a b b b b c c c c 方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式
2、 运算，从理论上验证了勾股定理 验证方法一：验证方法一：毕达哥拉斯证法 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . (a+b)2 c2 +4 ab (a+b)2 = c2 + 4 ab a2+2ab+b2 = c2 +2ab a2+b2=c2 1 2 1 2 c a b c a b 验证方法二：赵爽弦图验证方法二：赵爽弦图 b c b c 大正方形的面积可以表示为 ; 也可以表示为 . c2= 4 ab +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 a2+b2=c2 c2 4 ab+(b- a)2 1 2 1 2 b c a b c a A B C D 如图，梯形由三个直角三
3、角形 组合而成，利用面积公式，列 出代数关系式,得 化简,得 2 111 ()()2. 222 ab baabc 222 .abc 验证方法三：美国总统证法验证方法三：美国总统证法 a b c 青入 青方 青 出 青出 青入青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 课外链接 a b c A B C D E F O 达芬奇对勾股定理的证明 A a B C b D E F O A B C D E F 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂 直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明BCFBDA，利用三角形 面积与长方形面积的关系，得到正方形 ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形 A
4、CKH与 矩形MLEC也等积，于是推得 222 ABACBC 欧几里得证明勾股定理 推荐书目 议一议 观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满 足a2+b2=c2. 勾股定理的简单应用 二 例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽 车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路公路 B C A 400m 500m 解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为 3
5、00660=108000（m） 即它行驶的速度为108km/h. 练一练 1.湖的两端有A、两点，从与A方向成直角的BC方向上的点C测得 CA=130米,CB=120米,则AB为（ ) A B C A.50米 B.120米 C.100米 D.130米 130 120 ? A A B C 2.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm, 与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC 有多长? 解：在RtABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2， AC2=902+1202， AC=150(cm). 答:太阳能真空管AC长150 cm. 例2：如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它
6、们到高速公路所在 直线MN的距离分别为AA12km，BB14km，A1B18km.现要在高 速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和 最短，求这个最短距离和 解：作点B关于MN的对称 点B，连接AB，交A1B1于 P点，连BP. 则APBPAPPBAB， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点 过点A作AEBB于点E， 则AEA1B18km，BEAA1BB1246(km) 由勾股定理，得BA2AE2BE28262， AB10(km)即APBPAB10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km. 变式：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小
7、镇，已 知DAAB,CB AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加 油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处? D A E B C 15 10 25-x , 25) AEx EBx 解解：设设长长为为千千米米 则则长长为为( (千千米米， 由由题题意意得得： 2222 151025)xx（ 10 x 解解得得： 10EA答答：站站应应建建在在距距 站站千千米米处处. . 当堂练习当堂练习 1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 (写出一组即 可) 【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可. 答案：3，4，5（满足题意的均可） 2.如
8、图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽 8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮 盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是 _. 200m2 3.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处.旗杆原来有多高? 12 m12 m 9 m9 m 解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m， 根据勾股定理得 222 912x， 解得x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m. 4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD）， 经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m， B=ACD=90小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，
9、已知草坪每平方 米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 解：在RtABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，AC=5m， 在RtACD中,由勾股定理, 得 CD2=AD2AC2，CD=12m， S草坪=SRtABC+SRtACD= ABBC+ ACDC = (34+512)=36 m2 故需要的费用为36100=3600元 2 1 2 1 2 1 5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若 AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. D A B C E F 解：在RtABF中,由勾股定理, 得 BF2=AF2AB2=10282 BF=6(cm). CF=BCBF=4. 设EC=x ，则EF=DE=8x ， 在RtECF中,根据勾股定理, 得 x2+ 42=(8x)2 解得 x=3. 所以EC的长为3 cm. 探索勾股定 理 勾股定理的验证 课堂小结课堂小结 勾股定理的简单运用
