1、1.认识一元二次方程(1) 第二章 一元二次方程 数学与生活 回顾与思考回顾与思考 你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗? 你能根据商品的销售利润作出一定的你能根据商品的销售利润作出一定的 决策吗决策吗? 与一元一次方程和分式方程一样与一元一次方程和分式方程一样,一元二一元二 次方程也是刻画现实世界的一个有效数学次方程也是刻画现实世界的一个有效数学 模型。模型。 “知识” 知多少 回顾与思考回顾与思考 教室地面有多宽 幼儿园某教室矩形地面的长为幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为，宽为5m，现准，现准 备在地面正中间铺设一块面积为备在地面正中间铺设一块面积为
2、m2 的地毯的地毯 ，四，四 周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这 个宽度吗？个宽度吗？ 做一做 挑战自我 解：如果设所求的宽为解：如果设所求的宽为xm ,那么地毯中央长方形图那么地毯中央长方形图 案的长为案的长为 m,宽为宽为 m,根据题意根据题意,可得方可得方 程：程： 你能化简这个方程吗? （82x） （52x） (8 2x) (5 2x) = 18. 5 x x x x （82x） 8 18m2 做一做 数学数学 化化 你能行吗？ 观察下面等式：观察下面等式： 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平你还能找到其他的五个连续整数，
3、使前三个数的平 方和等于后两个数的平方和吗？方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依，那么后面四个数依 次可表示为：次可表示为： ， ， ， 想一想 你能化简这个方程吗? x1 x2 x3 x4 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： . (x1)2 (x 2)2 (x3)2 (x4)2 x2 一 般 化 一 般 化 生活中的数学 如图，一个长为如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为距地面的垂直距离为8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m， 那么梯子的底端
4、滑动多少米？那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，解：由勾股定理可知， 滑动前梯子底端距墙滑动前梯子底端距墙 m. 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子，那么滑动后梯子 底端距墙底端距墙 m; 根据题意，可得方程：根据题意，可得方程： 你能化简这个方程吗? 做一做 6 x6 72(x6)2 102 xm 8m 7m 6m 数学化 1m 上面的方程都是只含有上面的方程都是只含有 的的 ，并且都可，并且都可 以化为以化为 的形式，的形式， 这样的方程叫做这样的方程叫做一元二次方程一元二次方程 一元二次方程的概念 由上面三个问题，我们可以得到三个方程：由上面三个问题
5、，我们可以得到三个方程： 把把ax bxc(a，b，c为常数为常数,a)称为称为一元二一元二 次方程的一般形式次方程的一般形式，其中，其中ax ， ， bx ， c分别称为分别称为二次项二次项、 一次项一次项和和常数项常数项，a， b分别称为分别称为二次项系数二次项系数和和一次项系数一次项系数 (8-2x)(-x)=18; 即即 2x2 13x 11 = 0 . x +（ （x+1) +(x+2)=(x+3)+(x+ ) 即 即 x2 8x 200. （ x） 即即 x2 12 x 15 0. 回顾与思考回顾与思考 上述三个方程有什么共同特点？上述三个方程有什么共同特点？ 一个未知数一个未知数
6、x 整式方程整式方程 ax bxc(a，b，c为常数为常数, a) “行家”看“门 道” 下列方程哪些是一元二次方程下列方程哪些是一元二次方程? (2)2x25xy6y0 (5)x22x31x2 探索思考探索思考 (1)7x26x0 解解: (1)、 (4) (3)2x2 1 0 1 3x (4) 0 y2 2 内涵与外延 1.关于关于x的方程的方程(k3)x2 2x10,当当k _ 时，是一元二次方程时，是一元二次方程 2.关于关于x的方程的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当当 k 时，是一元二次方程当时，是一元二次方程当k 时，时， 是一元一次方程是一元一次方程 想一想:
7、 3 1 1 解：设竹竿的长解：设竹竿的长 为为x尺尺,则门的宽则门的宽 度为度为 尺尺,长长 为为 尺尺,依题依题 意得方程：意得方程： 培养能力之源泉 随堂练 从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿 都进不去，横着比门框宽都进不去，横着比门框宽尺尺，竖着比门框高，竖着比门框高尺尺， 另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉 汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程请根据这一问题列出方程 (x4)2 (x 2)2 x2
8、即 x212 x 20 0 4尺尺 2尺尺 x x4 x2 数学化 (x4) (x2) 培养能力之阵地培养能力之阵地 想一想想一想P44 .把方程把方程(3x2)24(x3)2化成一元二次方程的一般化成一元二次方程的一般 形式形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 解：将原方程化简为：解：将原方程化简为： 9x212x44(x26x9) 9x212x4 9x2 5x2 36 x 320 二次项系数为二次项系数为 ， 5 36 32 一次项系数为一次项系数为 ， 常数项为 常数项为 . 5 36 32 4 x2 24x 36 4 x2 24x 36
9、 12x 4 0 回味无穷 本节课你又学会了哪些新知识呢？本节课你又学会了哪些新知识呢？ 学习了什么是一元二次方程，以及它的学习了什么是一元二次方程，以及它的 一般形式一般形式axax bxbxc c（a a，b b，c c为常数为常数， aa）和有关概念，如二次项、一次项、常和有关概念，如二次项、一次项、常 数项、二次项系数、一次项系数数项、二次项系数、一次项系数 会用一元二次方程表示实际生活中的数会用一元二次方程表示实际生活中的数 量关系量关系 你准备如何去求方程中的未知数呢你准备如何去求方程中的未知数呢? ? 小结 拓展 知识的升华 独立独立 作业作业 第32页随堂练习 习题2.1 1
10、、2题 祝你成功！ 知识的升华知识的升华 独立独立 作业作业 根据题意，列出方程：根据题意，列出方程： （）有一面积为（）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短的长方形，将它的一边剪短5m，另一，另一 边剪短边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为，则原长方形的长为(x5) m, 宽为宽为(x2) m，依题意得方程：，依题意得方程： (x5) (x2) 54 即即 x2 7x44 0 2 5 x x X5 54m2 知识的升华知识的升华 独立独立 作业作业 （）三个
11、连续整数两两相乘，再求和，结果为（）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个，这三个 数分别是多少？数分别是多少？ x (x1) x(x2) (x1) (x2) 242. x2 2x8 00. 即即 解：设第一个数为解：设第一个数为x，则另两个数分别为，则另两个数分别为x, x2，依题意，依题意 得方程：得方程： 知识的升华知识的升华 独立独立 作业作业 2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项 系数、一次项系数和常数项：系数、一次项系数和常数项： 方方 程 程 一般形式一般形式 二次项二次项 系系 数 数 一次项一次项 系系 数 数 常数常数 项 项 3x 2=5x-1 (x+2)(x - 1)=6 4-7x 2=0 3x25x10 x2 x80 或或7x2 0 x40 3 5 1 1 1 8 7 0 4 3 5 1 1 1 8 7 0 4 或或7x2 40 7 0 4 7x2 40 结束寄语 运用方程（方程组）解答相关 的实际问题是一种重要的数学 思想方程的思想. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型. 下课了!
