1、24.4 解直角三角形 第3课时 坡度问题 第24章 解直角三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1.了解坡度的概念；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学习目标 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2b2c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: A B 90 ； (3)边角之间的关系: tanA a b sinA a c cosA b c (必有一边) a b c 别忽略我哦！ 导入新课导入新课 回顾与思考 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m
2、，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=13 ，斜坡CD的坡度i=12.5 ， 则斜坡CD的坡面角 ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ A D B C i=1:2.5 23 6 3:1i 讲授新课讲授新课 坡度问题 l h i= h : l 1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 . 2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1m的形式，如i=16. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i= h l 3.坡度与坡角的关系 tan h l i坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度. 2.斜坡的坡角是45，则坡比是
3、 _. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_. 3:1 l h 30 1：1 3:1 练一练 例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角（精确到 1）. E F A D B C i=1:2.5 23 6 1 3i: 分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线； 典例精析 垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形 BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度, 通过解RtABE和Rt
4、CDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt ABE和Rt CDF. 解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F,由题意可知 E F A D B C i=1:2.5 23 6 1:3i BE=CF=23m ，EF=BC=6m. 在RtABE中 1 3 BE AE i 33 2369mAEBE 在RtDCF中，同理可得 2.52.5 2357.5mFDCF ADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m 在RtABE中，由勾股定理可得 2222 692372.7mABAEBE (2) 斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4， 由计算器可
5、算得 22 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡 CD的坡角约为22. 1 2.5 CF FD i 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）. B A D F E C 6m i=1:3 i=1:1.5 解：（1）在RtAFB中，AFB=90 1 tan 1.5 AF i BF 33.7 在RtCDE中，CED=90 tan1:3 DE i CE 18.4 探究归纳 完成第（2）题 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而
6、山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ h h l l 我们设法“化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的， 可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出 这段山坡的高度h1=l1sina1. h l 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再“积零为整”， 把h1,h2,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直， 以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在 数学中有重要地
7、位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面 的内容 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的 高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就 不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l. 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问 题的策略 1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米， 路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底 的宽（精确到0.1,米, ）. 45 30 4米 12米 A B C E F D 414
8、. 12,732. 13 当堂练习当堂练习 解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米）， CDEF12（米） 在RtADE中， 在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米） 答： 路基下底的宽约为22.93米 45tan 4 AEAE DE i )(4 45tan 4 米米 AE )(93. 6 30tan 4 米米 BF 45 30 4米 12米 A B C E F D 2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡角 ABC74，坝顶到坝脚的距离AB6 m为了提高拦河坝 的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D，
9、 请你计算AD的长(精确到0.1 m) 解析 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡 角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构 造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长 解解： 如图如图， 过点过点 A 作作 AEBC 于点于点 E， 过点过点 D 作作 DFBC 于点于点 F. 在在 RtABE 中中，sinABEAE AB， ， AEABsinABE6sin745.77. cosABEBE AB， ， BEABcosABE6cos741.65. AHBC，DFAE5.77. 在在 RtBDF 中中，tanDBFDF BF， ， BF DF tanDBF 5.77 tan55 4.04. ADEFBFBE4.041.652.4(m) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数去解直 角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案 课堂小结课堂小结
