1、九年级上册九年级上册 数学 华师版 专题课堂(二)解一元二次方程 一、一元二次方程定义的应用 类型：由一元二次方程的定义建模列方程，解决有关计算 【例 1】已知关于 x 的方程(k2)xk223x50 是一元二次方程， 求直线 ykxk 与两坐标轴围成的三角形的面积 解： k222， k20， k2，y2x2，三角形的面积为 1 分析：由一元二次方程的定义，列出关于k的方程求k的值，从而求出 三角形的面积 对应练习 1关于 x 的方程(a1)x2 1ax10 是一元二次方程，则关于 a 的不等式 3a60 的解集是_ 2已知方程(1m)xm212mx30 是关于 x 的一元二次方程，试 求代数
2、式 44m 1 m2的值 2a1 解：9 二、一元二次方程根的应用 类型：(1)由一元二次方程及有关变形，整体代值计算；(2)求出一元二次 方程的根，代根计算 【例2】若a是方程x2x10的一个根，求a32a2018的值 分析：将方程和所求代数式分别进行相关变形，从而分别整体代值计 算 解：a2a10，a21a，a2a1，原式a2 a2a2018(1 a)a2a2018(a2a)2018120182017 对应练习 3若x1是关于x的一元二次方程x23mxn0的解，则6m2n _ 4已知m，n是方程x22x10的两个根，是否存在实数a使(7m214m a)(3n26n7)的值等于8？若存在，求
3、出a的值；若不存在，请说明理 由 解：存在，a9 2 三、配方的应用 类型：(1)求二次式最大(小)值；(2)化二次多项式为非负之和等于零，求 值 【例3】利用配方证明：无论x取何实数值，代数式x2x1的值总是负 数，并求出它的最大值 分析：经过配方，分析式子的性质符号 解：x2x1(x1 2) 23 4，无论 x 为何实数(x 1 2) 20， (x1 2) 23 40，故结论成立，当 x 1 2时，x 2x1 的最大值为3 4 对应练习 5若 x2y22x6y100，则 xy_ 6若 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足 a26ab28b c5 250，请根据已知条件判断其形状 1 解：
4、直角三角形 四、根据方程的特点灵活选择解法 类型：(1)若方程可化为(mxn)2p(m0，p0)的形式，则宜选用直接 开平方法；(2)若方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数，则宜选用配 方法；(3)若方程的右边为0且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法； (4)若用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则选用公式法 【例4】选择适当的方法解下列方程 (1)x265x； (2)9(x1)2(2x5)2； (3)3x2x27. 分析：把方程化成一般式，分析各个方程特点，选择解法 (1)方程一边可分解因式，另一边为0，选因式分解法； (2)可直接开平方，也可用因式分解法； (3)选用公式法
5、解：(1)原方程可化为 x25x60，(x6)(x1)0，x16， x21 (2)3(x1)(2x5)，3(x1)2x5 或 3(x1)(2x 5)， x12 5， x28 (3)原方程可化为 2x 23x70， a2， b3， c7，b24ac65，x3 65 22 3 65 4 ，x13 65 4 ，x2 3 65 4 对应练习 7解下列方程： (1)x23x20； (2)(x2)(x3)x(2x1) 解：x11，x22 解：x12 10，x22 10 五、解特殊的一元二次方程 类型：(1)含绝对值的方程；(2)可化为一元二次方程的高次方程；(3)可化 为一元二次方程的分式方程 【例5】解
6、方程(1)x23|x|40； (2)(x22x)24(x22x)30. 分析：(1)根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，化为一般方程求解 (2)由换元法将原方程化为一元二次方程 解：(1)当 x0 时，方程化为 x23x40，x4，x1(舍去)， 当 x0 时，方程化为 x23x40，x4，x1(舍去)，x14，x2 4 (2)设 yx22x，原方程化为 y24y30，y11，y23，由 x22x1，即 x22x10，x1 2，由 x22x3，即 x22x3 0，x1 或 x3，原方程的解为 x11 2，x21 2，x3 1，x43 对应练习 8解方程：x4x260. 9解方程：x22x3 x22x50. 解：x1 3，x2 3 解：设x22x5y，则 x22xy25，则原式即为 y2y20， 解得 y12，y21(舍去)，则 x22x45，即(x1)20，解得 x1x2 1
