1、 青海省青海省 2020 年初中毕业升学考试数学试卷年初中毕业升学考试数学试卷 一、填空题一、填空题 1.(-3+8)的相反数是_；16的平方根是_ 【答案】 (1). 5 (2). 2 【解析】 【分析】 第 1 空：先计算-3+8 的值，根据相反数的定义写出其相反数； 第 2 空：先计算16的值，再写出其平方根 【详解】第 1 空：3 85 ，则其相反数为：5 第 2 空： 164 ，则其平方根为：2 故答案为：5，2 【点睛】本题考查了相反数，平方根，熟知相反数，平方根的知识是解题的关键 2.分解因式： 22 22axay_；不等式组 24 0 30 x x 的整数解为_ 【答案】 (1
2、). 2 ()()a xy xy (2). 2x 【解析】 【分析】 综合利用提取公因式法和公式法即可得；先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分得出不等式 组的解集，由此即可得出答案 【详解】 2222 22)2 (axaya xy 2 ()()a xy xy ； 240 30 x x 解不等式得2x 解不等式得3x 则不等式组的解为23x 因此，不等式组的整数解2x 故答案为： 2 ()()a xy xy ，2x 【点睛】本题考查了利用提取公因式法和公式法分解因式、求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握因式 分解的方法和一元一次不等式组的解法是解题关键 3.岁末年初，一场突如其来的新型
3、冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结 一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为 125 纳米；125 纳米用科学记数法表示为_米（1 纳米 9 10米） 【答案】 7 1.25 10 【解析】 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示， 一般形式为 a 10-n， 与较大数的科学记数法不同的是其所 使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【详解】解：将数据 125 纳米用科学记数法表示为：125 10-9米=1.25 10-7米 故答案为： 7 1.25 10 【点
4、睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一 个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 4.如图， 将周长为8的ABC沿BC边向右平移2个单位， 得到DEF， 则四边形ABFD的周长为_ 【答案】12 【解析】 【分析】 先根据平移的性质可得,2ACDF CFAD，再根据三角形的周长公式可得8ABBCAC，然后根 据等量代换即可得 【详解】由平移的性质得：,2ACDF CFAD ABC的周长为 8 8ABBCAC 则四边形 ABFD 的周长为 ()ABBFDFADABBCCFACAD 22ABBCAC 822 12 故答案为：12 【
5、点睛】本题考查了平移的性质等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键 5.如图所示 ABC 中，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D,DBC 的周长是 24cm,则 BC=_cm 【答案】10 【解析】 【分析】 由 MN 是 AB 的垂直平分线可得 AD=BD，于是将 BCD 的周长转化为 BC 与边长 AC 的和来解答 【详解】24cm DBC C， BD+DC+BC=24cm， MN 垂直平分 AB， AD=BD， AD+DC+BC=24cm， 即 AC+BC=24cm， 又AC=14cm， BC=24-14=10cm 故答案为：10 点睛：解答本题关键是熟练掌握
6、垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等此题将 垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知120BOC， 3cmDC ，则AC的 长为_cm 【答案】6cm 【解析】 【分析】 根据矩形的性质可得对角线相等且平分，由120BOC可得30ACD,根据30所对直角边是斜边的 一半即可得到结果 【详解】四边形 ABCD 是矩形， 90ABCDCB，ACBD，OAOAOBOD，ABDC， 3cmDC ， 3cmAB， 又 120BOC， =30ACDOBC， 在 Rt ABC 中，26ACABc
7、m 故答案为 6cm 【点睛】本题主要考查了矩形的性质应用，准确利用直角三角形的性质是解题的关键 7.已知 a，b，c 为ABC的三边长b，c 满足 2 (2)30bc，且 a 为方程|4| 2x的解，则ABC的 形状为_三角形 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】 根据绝对值和平方的非负性可得到 b、c 的值，再根据式子解出 a 的值，即可得出结果 【详解】 2 (2)30bc， 20b，30c， 2b，3c ， 又|4| 2x ， 1 6x ， 2 2x ， a 是方程的解且 a，b，c 为ABC的三边长， 2a, ABC是等腰三角形 【点睛】本题主要考查了根据三角形三边判断三角形的性质
8、，准确求解题中的式子是解题的关键 8.在解一元二次方程 2 0 xbxc时，小明看错了一次项系数b，得到的解为 1 2x ， 2 3x ；小刚看错 了常数项c，得到的解为 1 1x ， 2 4x 请你写出正确的一元二次方程_ 【答案】 2 560 xx 【解析】 【分析】 根据题意列出二元一次方程组求解即可得出答案 【详解】解：将 1 2x ， 2 3x 代入一元二次方程 2 0 xbxc得 420 930 bc bc ， 解得： 5 6 b c ， 小明看错了一次项， c 的值为 6， 将 1 1x ， 2 4x 代入一元二次方程 2 0 xbxc得 10 1640 bc bc ， 解得：
9、5 4 b c ， 小刚看错了常数项， b=-5， 一元二次方程为 2 560 xx， 故答案为： 2 560 xx 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键 9.已知O 的直径为 10cm， AB， CD 是O 的两条弦，/ABCD，8cmAB，6cmCD， 则AB与CD 之间的距离为_cm 【答案】7 或 1 【解析】 【分析】 分两种情况考虑：当两条弦位于圆心 O 同一侧时，当两条弦位于圆心 O 两侧时；利用垂径定理和勾股定理 分别求出 OE 和 OF 的长度，即可得到答案 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心 O 一侧时，如图 1 所示，
10、 过 O 作 OECD，交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，连接 OC，OA， ABCD，OEAB， E、F 分别为 CD、AB 的中点， CE=DE= 1 2 CD=3cm，AF=BF= 1 2 AB=4cm， 在 Rt AOF 中，OA=5cm，AF=4cm， 根据勾股定理得：OF=3cm， 在 Rt COE 中，OC=5cm，CE=3cm， 根据勾股定理得：OE4cm， 则 EF=OE- -OF=4cm- -3cm=1cm； 当两条弦位于圆心 O 两侧时，如图 2 所示， 同理可得 EF=4cm+3cm=7cm， 综上，弦 AB 与 CD 的距离为 7cm 或 1cm 故答案为：7
11、或 1 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键 10.在ABC中，90C， 3AC ，4BC ，则ABC的内切圆的半径为_ 【答案】1 【解析】 【详解】如图，设 ABC 的内切圆与各边相切于 D，E，F，连接 OD，OE，OF， 则 OEBC，OFAB，ODAC， 设半径为 r，CD=r， C=90 ，BC=4，AC=3， AB=5， BE=BF=4-r，AF=AD=3-r， 4-r+3-r=5， r=1 ABC 的内切圆的半径为 1 11.对于任意不相等的两个实数 a，b（ a b ）定义一种新运算 ab= ab ab ，如 32= 32
12、 32 ，那么 124=_ 【答案】 2 【解析】 【分析】 按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可 【详解】解：124 12416 2 1248 故答案为： 2 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键 12.观察下列各式的规律： 2 1 32341 ； 2 243891 ； 2 3 5415 161 请按以上规律写出第 4 个算式_用含有字母的式子表示第 n 个算式 为_ 【答案】 (1). 2 46524251 (2). 2 211nnn 【解析】 【分析】 （1）按照前三个算式的规律书写即可； （2）观察发现，算式序号与比序号
13、大 2 的数的积减去比序号大 1 的数的平方，等于-1，根据此规律写出即 可； 【详解】 （1） 2 1 32341 ， 2 243891 ， 2 3 5415 161 ， 2 46524251 ； 故答案为 2 46524251 （2）第 n 个式子为： 2 211nnn 故答案为 2 211nnn 【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键 二、选择题二、选择题 13.下面是某同学在一次测试中的计算： 22 352m nmnmn ； 326 224a ba ba b ； 2 35 aa； 32 ()aaa ，其中运算正确个 数为（ ） A. 4 个 B. 3 个 C
14、. 2 个 D. 1 个 【答案】D 【解析】 【分析】 根据整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方逐个判断即可 【详解】 2 3m n与 2 5mn不是同类项，不可合并，则错误 332251 12 2244a ba baba b ，则错误 2 33 26 aaa ，则错误 333 12 ()aaaaaa ，则正确 综上，运算正确的个数为 1 个 故选：D 【点睛】本题考查了整式的减法、整式的乘除法、幂的乘方，熟记整式的运算法则是解题关键 14.等腰三角形的一个内角为 70 ，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. 55 ，55 B. 70 ，40 或 70 ，55 C. 70 ，40 D. 55
15、 ，55 或 70 ，40 【答案】D 【解析】 分析】 先根据等腰三角形的定义， 分70的内角为顶角和70的内角为底角两种情况， 再分别根据三角形的内角和 定理即可得 【详解】 （1）当70的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为 18070 55 2 （2）当70的内角为这个等腰三角形的底角 则另两个内角一个为底角，一个为顶角 底角为70，顶角为180707040 综上，另外两个内角的度数分别是55 ,55或70 ,40 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况 讨论是解题关键 15.根据图中给出的信息
16、，可得正确的方程是（ ） A. 22 86 (5) 22 xx B. 22 86 (5) 22 xx C. 22 86(5)xx D. 22 865x 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可. 【详解】解：大量筒中的水的体积为： 2 8 2 x ， 小量筒中的水的体积为： 2 6 (5) 2 x ， 则可列方程为： 22 86 (5) 22 xx . 故选 A. 【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式 列出方程即可. 16.将一张四条边都相等的四边形纸片按下图中的方式沿虚线依
17、次对折后，再沿图中的虚线裁剪，最 后将图中的纸片打开铺平，所得图案应是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现 【详解】严格按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去 一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个和 菱形位置基本一致的正方形，得到结论 故选 A 【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力 17.在一张桌子上摆放着一些碟子，从 3 个方向看到的 3 种视图如图所示，则这个桌子上的碟共有（ ） A. 4 个 B.
18、8 个 C. 12 个 D. 17 个 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据俯视图得出碟子共有 3 摞，再根据主视图和俯视图得出每摞上碟子的个数，由此即可得 【详解】由俯视图可知，碟子共有 3 摞 由主视图和左视图可知，这个桌子上碟子的摆放为 4,3 5,0 ，其中，数字表示每摞上碟子的个数 则这个桌子上的碟共有4 3 5 12 （个） 故选：C 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的组成，掌握理解 3 种视图的定义是解题关键 18.若0ab， 则正比例函数 yax 与反比例函数 b y x 在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析
19、】 由0ab，得, a b异号，若图象中得到的, a b异号则成立，否则不成立 【详解】A. 由图象可知：0,0ab，故 A 错误； B. 由图象可知：0, 0ab ，故 B 正确； C. 由图象可知：0, 0ab ，但正比例函数图象未过原点，故 C 错误； D. 由图象可知： 0,0ab ，故 D 错误； 故选：B 【点睛】本题考查了根据已知参数的取值范围确定函数的大致图象的问题，熟知参数对于函数图象的影响 是解题的关键 19.如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 （ ） A. 3.6 B. 1.8 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】
20、 【分析】 先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径 【详解】由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360252 =108 阴影部分的弧长为： 1081236 = 1805 设阴影部分构成的圆锥的底面半径为 r：则 36 2 5 r ，即 18 3.6 5 r 故选：A 【点睛】本题考查了扇形的弧长与其构成的圆锥之间的对应关系，熟练的把握这一对应关系是解题的关键 20.将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注 水（如图所示） ，则小水杯内水面的高度(cm)h与注水时间(min)t的函数图象大致为（ ） A. B
21、. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 用排除法可直接得出答案. 【详解】圆柱形小水杯事先盛有部分水，起点处小水杯内水面的高度(cm)h必然是大于 0 的，用排除法可 以排除掉 A、D； 注水管沿大容器内壁匀速注水，在大容器内水面高度到达 h 之前，小水杯中水边高度保持不变，大容器内 水面高度到达 h 后，水匀速从大容器流入小容器，小容器水面高度匀速上升，达到最大高度 h 后，小容器 内盛满了，水面高度一直保持 h 不变，因此可以排除 C，正确答案选 B. 考点：1.函数；2.数形结合；3.排除法. 三、解答题三、解答题 21.计算： 1 03 1 13tan45(3.14)27 3
22、【答案】 3 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂，绝对值的性质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值进行计算即可 【详解】 1 03 1 13tan45(3.14)27 3 3 |13 1| 1 3 33 1 1 3 3 【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值的性质，零指数幂，立方根，特殊角的三角函数值，熟知以上 计算是解题的关键 22.化简求值： 2 2 122 121 aaaa aaaa ；其中 2 10aa 【答案】 2 1a a ， 【解析】 【分析】 括号内先通分，合并同类项，括号外进行因式分解，之后变除为乘进行约分，之后利用 2 1aa代入计算 即可 【详解】 2 2 122 1
23、21 aaaa aaaa 2 (1)(1)(2)(21) ( +1)(1) aaa aaa a aa 2 21(1) ( +1)(21) aa a aaa 2 1a a 2 10aa 2 1aa 原式 1 1 1 a a 【点睛】本题考查了分式的化简，及整体代入求值的应用，熟知以上计算是解题的关键 23.如图，Rt ABC中，90C （1）尺规作图：作Rt ABC的外接圆O；作ACB的角平分线交O于点 D，连接 AD （不写作法， 保留作图痕迹） （2）若 AC =6，BC =8，求 AD 的长 【答案】 （1）见解析； （2）5 2 【解析】 【分析】 （1）根据外接圆，角平分线的作法作图即
24、可； （2） 连接 AD， OD， 根据 CD 平分ACB， 得45ACD ， 根据圆周角与圆心角的关系得到90AOD ， 在Rt ACB中计算 AB，在RtAOD中，计算 AD 【详解】 （1）作图如下： （2）连接 AD，OD，如图所示 由（1）知：CD平分ACB，且90ACB 1 45 2 ACDACB 290AODACB 在Rt ACB中，6,8ACBC， 10AB，即5AOOD 在RtAOD中， 22 5 2ADAOOD 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段 长度的方法，熟知以上方法是解题的关键 24.某市为了加快 5G 网络信
25、号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示小军为了知道发射塔 高度，从地面上的一点 A 测得发射塔顶端 P 点的仰角是 45 ，向前走 60 米到达 B 点测得 P 点的仰角是 60 ， 测得发射塔底部 Q 点的仰角是 30 请你帮小军计算出信号发射塔 PQ 的高度 （结果精确到 0.1 米， 31.732 ） 【答案】94.6 米 【解析】 【分析】 先根据题意得出 AC=PC，BQ=PQ，CQ= 1 2 BQ，设 BQ=PQ=x，则 CQ= 1 2 BQ= 1 2 x，根据勾股定理可得 BC= 3 2 x，根据 AB+BC=PQ+QC 即可得出关于 x 的方程求解即可 【详解】PAC
26、=45 ，PCA=90 ， AC=PC， PBC=60 ，QBC=30 ，PCA=90 ， BPQ=PBQ=30 ， BQ=PQ，CQ= 1 2 BQ， 设 BQ=PQ=x，则 CQ= 1 2 BQ= 1 2 x， 根据勾股定理可得 BC= 22 BQCQ = 3 2 x， AB+BC=PQ+QC 即 60+ 3 2 x=x+ 1 2 x 解得：x=60+20 3=60+201.732=94.6494.6， PQ 的高度为 94.6 米 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题 关键 25.如图， 已知 AB 是O的直径， 直线 BC
27、与O相切于点 B， 过点 A 作 AD/OC 交 O于点 D， 连接 CD （1）求证：CD 是O的切线 （2）若4AD，直径12AB ，求线段 BC 的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）12 2 【解析】 【分析】 （1）如图（见解析） ，先根据等腰三角形的性质可得DAOADO，又根据平行线的性质可得 ,DAOBOCADODOC， 从而可得BOCDOC， 再根据圆的切线的性质可得90OBC， 然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90ODCOBC，最后根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析） ，先根据圆周角定理得出90ADB，再根据勾股定理可得 BD 的长，然后根据相 似三角
28、形的判定与性质即可得 【详解】 （1）如图，连接 OD，则OAOBOD DAOADO /AD OCQ ,DAOBOCADODOC BOCDOC 直线 BC 与O相切于点 B 90OBC 在COD和COB中， ODOB DOCBOC OCOC ()CODCOB SAS 90ODCOBC 又OC是O的半径 CD是O的切线； （2）如图，连接 BD 由圆周角定理得：90ADB 4AD ，12AB 2222 1248 2BDABAD ， 11 126 22 OBAB 在OCB和ABD中， 90 BOCDAB OBCADB OCBABD OBBC ADBD ，即 6 48 2 BC 解得 12 2BC
29、【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的 判定与性质等知识点，较难的是题（2） ，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键 26.每年 6 月 26 日是“国际禁毒日”某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了 “禁毒知识网络答题”活动该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、 良好、一般、不合格；并绘制成如下不完整的统计图请你根据图 1、图 2 中所给的信息解答下列问题： （1）该校八年级共有_名学生，“优秀”所占圆心角的度数为_ （2）请将图 1 中的条形统计图补充完整 （3）已知该市共有 1
30、5000 名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计 情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？ （4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取 2 名同学参加全市现场禁毒知识 竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率 【答案】 （1）500,108 ； （2）见解析； （3）1500 名； （4） 1 2 【解析】 【分析】 （1）由条形统计图和扇形统计图得到良好的人数及其所对应的百分比，即可得到该校八年级总人数；通过 计算优秀人员所占比例，即可得到其所对的圆心角； （2）计算出等级“一般”的学生人数，补充图形即可； （3）
31、用该校八年级成绩及格的比例乘以该市的学生人数即可； （4）画出树状图，根据概率公式求概率即可 【详解】 （1）由条形统计图知：等级“良好”的人数为：200 名 由扇形统计图知：等级“良好”的所占的比例为：40% 则该校八年级总人数为：200 40%500（名） 由条形统计图知：等级“优秀”的人数为：150 名 其站该校八年级总人数的比例为：150 50030% 所以其所对的圆心角为：36030%108 故答案为：500，108 （2）等级“一般”的人数为：500 150 200 50100（名） 补充图形如图所示： （3）该校八年级中不合格人数所占的比例为： 50 10% 500 故该市 15
32、000 名学生中不合格的人数为：15000 10% 1500（名） （4）从甲，乙，丙，丁四名学生中任取选出两人，所得基本事件有： 共计 12 种， 其中必有甲同学参加的有 6 种， 必有甲同学参加的概率为： 61 122 【点睛】本题考查了统计与概率的综合，熟知以上知识是解题的关键 27.在ABC中，ABAC ，CGBA交 BA 的延长线于点 G 特例感知： （1）将一等腰直角三角尺按图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 重合，另 一条直角边恰好经过点 B通过观察、测量 BF 与 CG 的长度，得到BFCG请给予证明 猜想论证： （2）当三角尺沿 AC 方向移
33、动到图 2 所示的位置时，一条直角边仍与 AC 边重合，另一条直角边交 BC 于 点 D，过点 D 作DEBA垂足为 E此时请你通过观察、测量 DE，DF 与 CG 的长度，猜想并写出 DE、 DF 与 CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想 联系拓展： （3）当三角尺在图 2 的基础上沿 AC 方向继续移动到图 3 所示的位置（点 F 在线段 AC 上，且点 F 与点 C 不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明） 【答案】 （1）证明见详解； （2）DE+DF=CG，证明见详解； （3）成立 【解析】 【分析】 （1）通过条件证明 BFCCGB，即可得到BFCG； （2
34、） 过点 B 作 BMCF 交 CF 延长线于 M， 过点 D 作 DHBM 于 H， 通过 BMCCGB， 得到 BM=CG， 然后由四边形 MHDF 为矩形，MH=DF，最后再证明 BDHDBE，得到 BH=DE，即可得到结论； （3）同（2）中的方法 【详解】 （1）ABAC， ABC=ACB， 在 BFC 和 CGB 中， 90 = FG FCBGBC BCCB BFCCGB， BFCG （2）DE+DF=CG， 如图，过点 B 作 BMCF 交 CF 延长线于 M，过点 D 作 DHBM 于 H， ABAC， ABC=ACB， 在 BMC 和 CGB 中， 90 = MG FCBGB
35、C BCCB BMC CGB， BM=CG， 由题意和辅助线可知，M=90 ，MFD=90 ，MHD=90 ， 四边形 MHDF 为矩形， MH=DF，DHMF， HDB=MCB， HDB=ABC， 在 BDH 和 DBE 中， 90 = BHDBED HDBEBD BDDB BDHDBE， BH=DE， BM=CG，BM=BH+HM， DE+DF=CG， （3）成立， 如图，过点 B 作 BMCF 交 CF 延长线于 M，过点 D 作 DHBM 于 H， 同（2）中的方法 ABAC， ABC=ACB， 在 BMC 和 CGB 中， 90 = MG FCBGBC BCCB BMCCGB， BM
36、=CG， 由题意和辅助线可知，M=90 ，MFD=90 ，MHD=90 ， 四边形 MHDF 为矩形， MH=DF，DHMF， HDB=MCB， HDB=ABC， 在 BDH 和 DBE 中， 90 = BHDBED HDBEBD BDDB BDHDBE， BH=DE， BM=CG，BM=BH+HM， DE+DF=CG 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于几何动态问题，能够正确的构造辅助线找到全等三角 形是解题的关键 28.如图 1（注：与图 2 完全相同）所示，抛物线 2 1 2 yxbxc 经过 B、D 两点，与 x 轴的另一个交点 为 A，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线
37、的解析式 （2）设抛物线的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积（请在图 1 中探索） （3）设点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上要使以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有 满足条件的点 P 的坐标（请在图 2 中探索） 【答案】 （1） 2 13 22 yxx ； （2） 9 2 ； （3）点 P 的坐标为： 3 (2, ) 2 或（4， 5 2 ）或（4， 21 2 ） 【解析】 【分析】 （1）由图可知点 B、点 D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式； （2）过点 M 作 MEAB 于点 E，由二次函数的性质，分别求出点 A、C、M 的坐标，然后得到
38、 OE、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可； （3）由点 Q 在 y 轴上，设 Q（0，y） ，由平行四边形的性质，根据题意可分为：当 AB 为对角线时； 当 BQ2为对角线时；当 AQ3为对角线时；分别求出三种情况的点 P 的坐标，即可得到答案 【详解】解： （1）根据题意，抛物线 2 1 2 yxbxc 经过 B、D 两点， 点 D 为（2， 5 2 ） ，点 B 为（3，0） ， 则 2 2 15 ( 2)2 22 1 330 2 bc bc ， 解得： 1 3 2 b c ， 抛物线的解析式为 2 13 22 yxx ； （2） 22 131 (1)2 222 yxxx，
39、点 M 的坐标为（1，2） 令 2 13 0 22 xx， 解得： 1 1x ， 2 3x ， 点 A 为（1，0） ； 令0 x，则 3 2 y ， 点 C 为（0， 3 2 ） ； OA=1，OC= 3 2 ， 过点 M 作 MEAB 于点 E，如图： 2ME ，1OE ，2BE ， 111 () 222 ABMC SOA OCOCMEOEBEME 四边形 ， 13131379 1(2) 12 22 22222442 ABMC S 四边形 ； （3）根据题意，点 Q 在 y 轴上，则设点 Q 为（0，y） ， 点 P 在抛物线上，且以点 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形， 如图所
40、示，可分为三种情况进行分析： AB 为对角线时，则 11 PQ为对角线； 由平行四边形的性质， 点 E 为 AB 和 11 PQ的中点， E 为（1，0） ， 点 Q1为（0，y） ， 点 P1的横坐标为 2； 当2x时，代入 2 13 22 yxx ， 3 2 y ， 点 1 3 (2, ) 2 P； 当 BQ2是对角线时，AP 也是对角线， 点 B（3，0） ，点 Q2（0，y） ， BQ2中点的横坐标为 3 2 ， 点 A 为（1，0） ， 点 P2的横坐标为 4， 当4x时，代入 2 13 22 yxx ， 5 2 y ， 点 P2的坐标为（4， 5 2 ） ； 当 AQ3为对角线时，BP3也是对角线； 点 A 为（1，0） ，点 Q3（0，y） ， AQ3的中点的横坐标为 1 2 ， 点 B（3，0） ， 点 P3的横坐标为4， 当4x时，代入 2 13 22 yxx ， 21 2 y ， 点 P3的坐标为（4， 21 2 ） ； 综合上述，点 P 的坐标为： 3 (2, ) 2 或（4， 5 2 ）或（4， 21 2 ） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解 题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析
