1、 - 1 - 2016-2017 学年广东省揭阳 市 高二（下）第一次段考数学试卷（理科） 一 .选择题（每小题 5分，共 60 分；每小题的答案是唯一的） 1定积分 2xdx的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2设 f（ x）在 x=x0可导，且 =1，则 f （ x0）等于（ ） A 1 B 0 C 3 D 3下列求导运算正确的是（ ） A B C（ 3x） =3 xlog3e D 4一个物体的运动方程是 s=1 t+t2，其中 s的单位是米， t的单位是秒，那么物体在 2秒末的瞬时速度是（ ） A 3米 /秒 B 4米 /秒 C 5米 /秒 D 2米 /秒 5用三段论推理： “
2、 任何实数的平方大于 0，因为 a是实数，所以 a2 0” ，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 6函数 f（ x） =x lnx的单调递减区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， + ） C（ 1， + ） D（ ， 0） （ 1， + ） 7若曲线 y=x2+ax+b在点（ 0， 1）处的切线方程是 x y+1=0，则（ ） A a= 1， b= 1 B a= 1， b=1 C a=1， b= 1 D a=1， b=1 8已知 f（ x）的导函数 f（ x）图象如图所示，那么 f（ x）的图象最有可能是图中的（ ） - 2 - A BC D 9如
3、图所示的是函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d的大致图象，则 x12+x22等于（ ） A B C D 10 某 箱 子 的 容 积 V 与 底 面 边 长 x 的 关 系 为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为（ ） A 30 B 40 C 50 D其他 11为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（ Private Key Cryptosystem），其加密、解密原理如图： 现在加密密钥为 y=loga（ x+2），如上所示，明文 “6” 通过加密后得到密文 “3” ，再发送，- 3 - 接受方通过解密密钥解密得到明文 “6” 问：若接受方接到密文为 “4” ，则解密后得
4、明文为（ ） A 12 B 13 C 14 D 15 12已知函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x），且当 时， f（ x） =ex+sinx，则（ ） A f（ 1） f（ 2） f（ 3） B f（ 2） f（ 3） f（ 1） C f（ 3） f（ 2） f（ 1）D f（ 3） f（ 1） f（ 2） 二 .填空题（每小题 5分，共 20 分） 13若 f（ x） = 则 f（ x） dx= 14如图，函数 y= x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是 15若三角形的内切圆半径为 r，三边的长分别为 a， b， c，则三角形的面
5、积 S= r（ a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为 R，四个面的面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4，则此四面体的体积 V= 16函数 y=x2（ x 0）的图象在点（ ak， ak2）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1，其中 kN+，若 a1=16，则 a1+a3+a5= 三 .解答题（共 70分） 17已知函数 f（ x） =x3 x+2，其导函数为 f （ x） （ ）求 f（ x）在 x=1处的切线 l的方程 （ ）求直线 l与 f （ x）图象围成的图形的面积 18设函数 f（ x） =2x3+3ax2+3bx+8c在 x=1及 x=2时取得极值 - 4
6、- （ 1）求 a， b的值； （ 2）当 c= 2时，求函数 f（ x）在区间上的最大值 19下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第 n 个图形中有 n 个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为 f（ n） （ 1）求出 f（ 2）， f（ 3）， f（ 4）， f（ 5）； （ 2）找出 f（ n）与 f（ n+1）的关系，并求出 f（ n）的表达式 20某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x 0.15x2和 L2=2x，其中 x为销售量（单位：辆）若该公司在这两地共销售 15 辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 21已知数列 an满
7、足 Sn+an=2n+1 （ 1）写出 a1， a2， a3，并推测 an的表达式； （ 2）用数学归纳法证明所得的结论 22已知函数 ， a R （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与直线 x+2y=0垂直，求 a的值； （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 a=1，且 x 2时，证明： f（ x 1） 2x 5 - 5 - 2016-2017学年广东省揭阳三中高二（下）第一次段考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一 .选择题（每小题 5分，共 60 分；每小题的答案是唯一的） 1定积分 2xdx的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 6
8、7：定积分 【分析】根据定积分的计算法则计算即可 【解答】解： 2xdx=x2| =4， 故选： D 2设 f（ x）在 x=x0可导，且 =1，则 f （ x0）等于（ ） A 1 B 0 C 3 D 【考点】 63：导数的运算 【分析】根据得到的定义， =3 =3f （ x0），问题得以解决 【 解 答 】 解 ： =3 =3f （ x0） =1， f （ x0） = ， 故选： D 3下列求导运算正确的是（ ） - 6 - A B C（ 3x） =3 xlog3e D 【考点】 63：导数的运算 【分析】根据导数的运算法则进行判断即可 【解答】解： A（ ） = ，则 A错误， B ，则
9、 B成立， C（ 3x） =3 xln3，则 C错误， D. = ，则 D错误， 故选： B 4一个物体的运动方程是 s=1 t+t2，其中 s的单位是米， t的单位是秒，那么物体在 2秒末的瞬时速度是（ ） A 3米 /秒 B 4米 /秒 C 5米 /秒 D 2米 /秒 【考点】 62：导数的几何意义； 61：变化的快慢与变化率 【分析】对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在 t=2 时的值，即为物体在 4 秒末的瞬时速度 【解答】： s=1 t+t2， 求导函数可得 s=2t 1 当 t=2时， s=2t 1=2 2 1=3， 故物体在 2秒末的瞬时速度是 3米 /秒， 故选： A
10、5用三段论推理： “ 任何实数的平方大于 0，因为 a是实数，所以 a2 0” ，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 【考点】 F6：演绎推理的基本方法 【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，- 7 - 根据三个方面都正确，得到结论 【解答】解： 任何实数的平方大于 0，因为 a是实数，所以 a2 0， 大前提：任何实数的平方大于 0是 不正确的， 0的平方就不大于 0 故选 A 6函数 f（ x） =x lnx的单调递减区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 0， + ） C（ 1， + ） D（ ， 0）
11、（ 1， + ） 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】求出函数的导数为 y ，再解 y 0得 x的范围结合函数的定义域，即可得到单调递减区间 【解答】解：函数 y=x lnx的导数为 y=1 ， 令 y=1 0，得 x 1 结合函数的定义域，得当 x （ 0， 1）时，函数为单调减函数 因此，函数 y=x lnx的单调递减区间是（ 0， 1） 故选： A 7若曲线 y=x2+ax+b在点（ 0， 1）处的切线方程是 x y+1=0，则（ ） A a= 1， b= 1 B a= 1， b=1 C a=1， b= 1 D a=1， b=1 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方
12、程 【分析】求出 y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到 a，再由切点在曲线上求出 b 【解答】解： y=x2+ax+b的导数是 y=2x +a， 则在点（ 0， 1）处的切线斜率为 a， 由切线方程得 a=1， 再由切点（ 0， 1）在曲线上，则 b=1 故选 D 8已知 f（ x）的导函数 f（ x）图象如图所示，那么 f（ x）的图象最有可能是图中的（ ） - 8 - A BC D 【考点】 3O：函数的图象 【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围，进而根据当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递
13、减确定原函数的单调增减区间 【解答】解： x 2时， f （ x） 0，则 f（ x）单减； 2 x 0时， f （ x） 0，则 f（ x）单增； x 0时， f （ x） 0，则 f（ x）单减 则符合上述条件的只有 选项 A 故选 A 9如图所示的是函数 f（ x） =x3+bx2+cx+d的大致图象，则 x12+x22等于（ ） - 9 - A B C D 【考点】 63：导数的运算； 36：函数解析式的求解及常用方法； 7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系 【分析】由图象知 f（ x） =0 的根为 0， 1， 2，求出函数解析式， x1， x2为导函数的两根，可结合根与系数求解
14、 【解答】解：由图象知 f（ x） =0 的根为 0， 1， 2， d=0 f（ x） =x3+bx2+cx=x（ x2+bx+c） =0 x2+bx+c=0的两个根为 1和 2 b= 3， c=2 f（ x） =x3 3x2+2x f （ x） =3x2 6x+2 x1， x2为 3x2 6x+2=0的两根， 10 某 箱 子 的 容 积 V 与 底 面 边 长 x 的 关 系 为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为（ ） A 30 B 40 C 50 D其他 【考点】 5D：函数模型的选择与应用 【 分 析 】 ， 0 x 60 ，令=0，解得 x=0（舍去），或 x=40，由此能求出
15、当箱子的容积最大时，箱子的底面边长 - 10 - 【解答】解： ， 0 x 60， 令 =0，解得 x=0（舍去），或 x=40， 并求得 V（ 40） =16 000 当 x （ 0， 40）时， v （ x） 0， v（ x）是增函数； 当 x （ 40， 60）时， v （ x） 0， v（ x）是减函数， 因此， 16 000是最大值 当箱子容积最大，箱子的底面边长为 40 故选 B 11为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（ Private Key Cryptosystem），其加密、解密原理如图： 现在加密密钥为 y=loga（ x+2），如上所示，明文 “6” 通过加密后得到密文 “3” ，再发送，接 受方通过解密密钥解密得到明文 “6” 问：若接受方接到密文为 “4” ，则解密后得明文为（ ） A 12 B 13 C 14 D 15 【考点】 SI：信息的加密
