1、第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程一、复习1.什么叫方程？我们学什么叫方程？我们学过那些方程？过那些方程？2.什么叫一元一次方程？什么叫一元一次方程？3.什么叫分式方程？什么叫分式方程？问题问题(1)(1)要设计一座高要设计一座高2m的人体雕像的人体雕像,使它使它的上部的上部(腰以上腰以上)与下部与下部(腰以下腰以下)的高度比的高度比,等等于下部与全部的高度比于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计求雕像的下部应设计为高多少米为高多少米?ACB 雕像上部的高度雕像上部的高度AC,下部的高度下部的高度BC应有如下关系应有如下关系:分析分析:2BCBCAC即即ACBC22设雕像下部高设
2、雕像下部高xm,于是得方程于是得方程)2(22xx整理得整理得0422 xxx2-x问题情景问题情景(1)(1)问题问题(2)(2)有一块矩形铁皮有一块矩形铁皮,长长100100,宽宽5050,在它的四角各切去一个正方形在它的四角各切去一个正方形,然后将然后将四周突出局部折起四周突出局部折起,就能制作一个无盖方就能制作一个无盖方盒盒,如果要制作的方盒的底面积为如果要制作的方盒的底面积为36003600平平方厘米方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方那么铁皮各角应切去多大的正方形形?1001005050 x x36003600分析分析:设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为xcm,那么盒底的
3、长为那么盒底的长为 ,宽为宽为 .3600)250)(2100(xx(100-2x)cm(50-2x)cm根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3600cm2,得得0350752xx即即问题情境问题情境2 2问题(3)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程方案安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?分析分析:全部比赛共全部比赛共47=28场场设应邀请设应邀请x个队参赛个队参赛,每个队要与其他每个队要与其他 个队各个队各赛赛1场场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是 同一场比赛同一场比赛,所
4、以全部比赛共所以全部比赛共 场场.28)1(21xx562 xx即即(x-1)问题情境问题情境3 30422 xx0350752xx562 xx 这三个方程都不是一元一次方程这三个方程都不是一元一次方程.那么这那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？们有什么共同特点呢？特点特点:都是整式方程都是整式方程(方程两边的分母中不方程两边的分母中不能含有未知数能含有未知数;只含一个未知数只含一个未知数;未知数的最高次数是未知数的最高次数是2.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式像这样的等号两边都是整式,只含只含有一
5、个未知数有一个未知数(一元一元)，并且未知数，并且未知数的最高次数是的最高次数是2(2(二次二次)的方程叫做的方程叫做一元二次方程必须满足三个特征一元二次方程必须满足三个特征21109000 xx 是一元二次方程吗？20axbx c 20axbx c 为什么要限制为什么要限制想一想想一想 a x 2+b x+c=0(a 0)二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项例题讲解 例 将方程将方程 化成一元二次方程的一般形式，并化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：数和常数项：二次项、二次项、二次项系二次项系数、一次数、一次项
6、、一次项、一次项系数、项系数、常数项都常数项都是包括符是包括符号的号的 例题讲解)2(5)1(3xxx解：解：去括号，得去括号，得移项，合并同类项，得一元二次方程的一般移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式形式其中二次项系数为其中二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为-8，常，常数项为数项为-10105332xxx010832 xx练习练习.将以下方程化为一般形式，并分别指将以下方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：项：(2)x-2(x+3)=8 (3)2x(x-1)=3(x-5)-4 1(x+3)(3x-4)=(x+2)
7、22160 x 一般形式2x二次项系数为 2，一次项系数为 1，常数项为-162140 x 一般形式x1二 次 项 系 数 为，一 次 项 系 数 为1，常 数 项 为-1422-5+190 x一般形式 x2-519二 次 项 系 数 为，一 次 项 系 数 为，常 数 项 为1.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 20axbx c 20axbxc 轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作
8、对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1 1如图，把一张纸对折，剪出一个图案折如图，把一张纸对折，剪出一个图案折痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例
9、子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线成轴对称直线成轴对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2 2观察下面每对图形如图，你能类比前观察下面每对图形如图，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们
10、的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两局部能完
11、全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合
12、具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2 2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC ABC 和和ABCABC关于直线关于直线MN MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN MN 垂直
13、垂直线段线段AAAA，BBBB和和CCCC，并且直线，并且直线MN MN 还平分线段还平分线段AAAA，BBBB和和CCCC如如果将其中的果将其中的“三角形改为三角形改为“四边形四边形“五边形五边形其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN
14、有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l l 垂直线段垂直线段AAAA，BBBB，直线直线l l平分线段平分线段AAAA，BBBB或直或直
15、线线l l 是线段是线段AAAA，BBBB的垂直平分的垂直平分线线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索
16、新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如下图的每个图形是轴对称图形吗？如如下图的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2 2如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 1 1本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？2 2轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？3 3成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
