1、第第2929章章 投影与视图投影与视图29.1 29.1 投影投影课前预习课前预习1.下面四个几何体中，从上往下看，其正投影不是 圆的几何体是（）A.B.C.D.2.下列图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的 影子的图形可能是（）A.B.C.D.AA3.人往路灯下行走的影子变化情况是（）A.长短长 B.短长短 C.长长短 D.短短长4.人在灯光下走动，当人远离灯光时，其影子的长 度将 A变长课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 平行投影平行投影 定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面太阳光线可看作平行的，由
2、平行光线形成的投影叫做平行投影 (1)等高的物体垂直地面放置时，如图所示，同一时刻，在太阳光下，它们的影子一样长 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图所示，同一时刻，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度 (3)物体在太阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在改变，而且影子的方向也在改变，就我们生活在北半球而言，从早晨到傍晚，物体的影子由西向东绕物体沿顺时针方向转动，其影长的变化规律是：长短长 (4)不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例，即 .=甲物体的高乙物体的高甲物体的影长乙物体的影长【例【例1 1】已知如图，AB和DE是直立在地面
3、上的两根 立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m.（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下 的投影长为4m，请你计算DE的长解析：解析：（1）连结AC，过点D作 DFAC，则EF为所求；（2）先证明RtABCRtDEF，然后利用 相似比计算出DE的长解：解：（1）如图，EF为此时DE在阳光下的投影；（2）ACDF ACB=DFE RtABCRtDEF 即 ，解得DE=10（m）即DE的长为10mABBCDEEF524DE变式拓展变式拓展1.如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得 该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树
4、的高度为 米6知识点知识点2 2 中心投影中心投影 定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”(1)等高的物体垂直地面放置时，如图所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长 （1）（2）(2)等长的物体平行予地面放置时，如图所示，一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但都大于物体本身的长度 (3)点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点的位置，就可以确定第三个点的位置【例2】（2013秋太原期末）如图，夜晚路灯下有 一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗
5、杆的 影子（）A.越长 B.越短 C.一样长 D.随时间变化而变化解析：解析：连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可解：解：由图易得ABCD，那么离路灯越近，它的影子 越短.答案：B.变式拓展变式拓展2.如图，晚上小亮在路灯下散步，在从A处走向B处 的过程中，他在地上的影子（）A.逐渐变短 B.先变短后再变长C.逐渐变长 D.先变长后再变短B知识点知识点3 3 正投影正投影 定义：定义：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.注意：注意：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影同时，立体图形的正投影可以归结为点、线段及平面图形的
6、正投影，人们在实际制图中，经常采用正投影正投影有如下一些性质：(1)如图所示为不同位置放置时，直木棒AB在平面P上的正投影 当木棒AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，木棒与它的投影的大小关系为AB=A1B1；当木棒AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，木棒与它的投影的大小关系为ABA2B2；当木棒AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A3.(2)如图所示为不同位置放置时，长方形硬纸板ABCD在平面P上的正投影，平面P为 所在平面.当纸板ABCD平行于投影面P时，ABCD的正投影与ABCD的形状、大小一样；当纸板ABCD倾斜于投影面P时，ABCD的正投影与ABCD的形状、
7、大小不完全一样；当纸板ABCD垂直于投影面P时，ABCD的正投影成为一条线段A B C D (3)如图所示，圆柱体的正投影是矩形ABCD.【例【例3 3】把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正 前方射到后方时，它的正投影是（）解析：解析：根据投影的性质可得，该物体为五棱柱，则 正投影应为矩形B变式拓展变式拓展3.如图是用4个大小相同的立方体拼成的几何体，它的正投影不可能是（）A.B.C.D.D随堂检测随堂检测1.下列投影一定不会改变ABC的形状和大小的是（）A.中心投影 B.平行投影C.正投影 D.当ABC平行投影面时的平行投影2.圆形物体在阳光下的投影不可能是（）A.圆形 B.线段 C.矩形
8、D.椭圆形3.小刚走路时发现自己的影子越走越长，这是因为（）A.从路灯下走开，离路灯越来越远 B.走到路灯下，离路灯越来越近 C.人与路灯的距离与影子长短无关 D.路灯的光越来越亮CCB4.如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影 线的方向如箭头所示，它的正投影图是（）A.B C D 5.为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光 下，已知2 m长的竹竿投影长为1.5 m，在同一时 刻测得水塔的投影长为30 m，则水塔高为 m.D4029.2 29.2 三视图三视图29.2.1 29.2.1 三视图（三视图（1 1）课前预习课前预习1.下列几何体的主视图是三角形的是（）A.B.C.D.2.在
9、下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主 视图不相同的是（）A.B.C.D.正方体 长方体 圆柱 圆锥BB3.请写出一个三视图都相同的几何体：4.房地产开发商在介绍楼房室内结构时，宣传单上 标示的结构图是房间的 视图5.画出下面实物的三视图球俯解：解：三视图如图所示：课堂精讲课堂精讲知识点知识点1 1 三视图的有关概念三视图的有关概念 (1)视图：当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫做物体的一个视图视图可以看作物体在某一方向光线下的正投影，对于同一个物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能不同 (2)正面、水平面和侧面：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对着我们的平面叫做正
10、面，下方的平面叫做水平面，右边的平面叫做侧面 (3)三视图：一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图主视图、俯视图、左视图叫做物体的三视图（如图所示）(4)常见几何体的 三视图如右表：【例例1 1】如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的 是（）A.B.C.D.解析：解析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形正六棱柱三 视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左 右相邻的矩形，正六边形A【例【例2 2】如图是由如图是由6 6个相同
11、的小正方体搭成的几何个相同的小正方体搭成的几何 体，那么这个几何体的俯视图是（）体，那么这个几何体的俯视图是（）A.B.C.D.解析：解析：根据俯视图是从上面看到的图形判定则可.从上面可看到第一横行左下角有一个正方 形，第二横行有3个正方形，第三横行中间 有一个正方形C变式拓展变式拓展1.如图是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图 形，它的左视图是（）A.B.C.D.2.下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A.B.C.D.BC知识点知识点2 2 三视图的特征及画法三视图的特征及画法 三视图位置有规定，主视图要在左上边，它的正下方是俯视图，左视图在主视图的右边(如图)主视图反映物体的高和长，俯
12、视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，因此，在画三视图时，主、俯视图要长对正，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等(如图).正对着物体看，物体左右之间的水平距离、前后之间的水平距离、上下之间的竖直距离，分别对应这里所说的长、宽、高 (1)“长对正，高平齐”可从两个角度理解：一是数量关系，即主视图与俯视图的长相等，主视图与左视图的高相等；二是位置关系，即主视图与俯视图最左侧在一条竖直线上，最右侧也在一条竖直线上；主视图与左视图最高点（线段）在一条水平线上，最低点（线段）在一条水平线上 (2)三视图与投影的关系：某些物体的三视图实际上是该物体在一定条件下所形成的正投影，某些物体的主视图、
13、左视图、俯视图可以看成一束平行光线分别从物体的正面、左面、上面照射，在垂直于这一方向的平面上所形成的正投影 (3)画三视图的规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线【例【例3 3】画出图中由几个正方体组成的几何体的三 视图 解析：解析：主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为3，1，1答案：答案：三视图如下图：变式拓展变式拓展3.如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一 个几何体请画出这个几何体的三视图.解：解：画图如下：随堂检测随堂检测1.如图，下列四个几何体中
14、，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一 个不同的几何体是（）A.B.C.D.B2.如图，由6个相同的小正方体搭成的立体图形，若由图变到图，不改变的是（）A.主视图 B.左视图C.俯视图 D.左视图和俯视图A3.一个正方体切去拐角后得到形状如图的几何体，其俯视图是（）A.B.C.D.C4.（2015台州一模）如图的几何体的左视图是（）A.B.C.D.B5.画出下列几何体的主视图、左视图与俯视图解：解：如图所示：29.2 29.2 三视图（第三视图（第2 2课时）课时）课前预习课前预习1.如图，三视图描述的实物形状是（）A.棱柱 B.棱锥 C.圆柱 D.圆锥D2.下列三视图
15、所对应的直观图是（）A.B.C.D.C3.如图是一个几何体的三种视 图，根据图中标注的数据可 求得该几何体的侧面积为（）A.2 B.4 C.2 D.44.（2014广东模拟）一个底面水平放置的圆柱的 主视图是面积为1的长方形，这个圆柱的侧面积 S=5.如图，由四个小正方体组成的几 何体中，若每个小正方体的棱长 都是1，则从上面看到的该几何 体的形状图的面积是C3课堂精讲课堂精讲知识点知识点 根据三视图描述物体原来的形状及计算展根据三视图描述物体原来的形状及计算展开图的面积开图的面积 观察三视图，并综合考虑各视图所表示的意思以及视图间的联系，可以想象出三视图所表示的立体图形的形状，这是由视图转化
16、为立体图形的过程，由立体图形可以确定三视图和展开图，立体图形的三视图和展开图是平面图形，立体图形、三视图和展开图中，三者知其一，我们就能确定另外两种图形，即三者之间可以互相转化.归纳：归纳：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以通过如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高 (2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线 (3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助 (4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法.注意：注意：由视图描述物体的形状要对三视图进行综合分
17、析、想象，仅仅一个方向的视图只能反映物体的部分信息由三视图想象几何体的形状，首先【例例1 1】某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了 茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视图确定制 作每个密封罐所需钢板的面积（单位：mm）解析：解析：首先利用几何体的三视图确定该几何体的形 状，然后计算其表面积应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.解：解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶 叶罐的底面直径2R为100 mm，高H为150 mm 每个密封罐所需钢板的面积即为该圆柱体的 表面积 S表面积=2R2+2RH =2502+250150 =20000（mm
18、2）答：制作每个密封罐所需钢板的面积20000mm2变式拓展变式拓展1.（2015鄄城县一模）如图所示某几何体的三视 图，则这个几何体是（）A.三棱锥 B.圆柱 C.球 D.圆锥2.（2015平南县二模）一个 长方体的三视图如图，若 其俯视图为正方形，则这 个长方体的表面积为（）A.66 B.48 C.48 +36 D.572DA随堂检测随堂检测1.（2015房山区一模）右 图是某几何体的三视图，该几何体是（）A.圆柱 B.正方体 C.圆锥 D.长方体2.有一个底面为正三角形的直三棱柱，三视图如图 所示，则这个直棱柱的侧面积为（）A.24 B.8 C.12 D.24+8 333DA3.如图是由
19、几个相同的小正方体搭成的几何体的三 视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 （）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个4.如图，这是一个长方体的主视 图和俯视图，由图示数据（单 位：cm）可以得出该长方体的 体积是 cm3A185.一个立体图形的三视图如图所示，请你根据图中 给出的数据求出这个立体图形的表面积为 .8 轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引
20、出新知探索新知探索新知问题问题1如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的
21、对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线（成轴）对称直线（成轴）对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出它们的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与
22、另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图
23、形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索
24、新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN 垂直垂直线段线段AA，BB和和CC，并且直线，并且直线MN 还平分线段还平分线段AA，BB和和CC”如如果将其中的果将其中的“三角形三角形”改为改为“四边形四边形”“”“五边形五边形”其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论
25、还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是
26、任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l 垂直线段垂直线段AA，BB，直线直线l平分线段平分线段AA，BB（或直（或直线线l 是线段是线段AA，BB的垂直平分的垂直平分线）线）探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？
27、的结论吗？探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题4下图是一个轴对称图形，你能发现什么结下图是一个轴对称图形，你能发现什么结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练
28、习课堂练习练习练习2如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 （1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？（2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？（3）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
