1、二次函数与相似三角形二次函数与相似三角形 122xy如图，已知抛物线如图，已知抛物线 的图像与的图像与x x轴交于轴交于A A、B B 两点（点两点（点A A在点在点B B左侧），与左侧），与y y轴交于点轴交于点C.C.试判断试判断AOCAOC与与COBCOB是否相似是否相似;若点若点D D是抛物线的顶点，是抛物线的顶点，DHDH垂直于垂直于x x轴，垂足为轴，垂足为H H，试判断直角三角形试判断直角三角形DHADHA与直角三角形与直角三角形COBCOB是否相似？是否相似？说明理由说明理由展示讨论展示讨论 假设点M在抛物线上且在x轴上方，过点M作MG垂直于x轴，垂足为点G，是否存在M，使得A
2、MG与AOC相似变式变式1 1：展示讨论展示讨论 变式变式2 2：假设点假设点D D是抛物线的顶点，点是抛物线的顶点，点M M在抛物线上且在在抛物线上且在x x轴上方，轴上方，过点过点M M做做x x轴的垂线，垂足为点轴的垂线，垂足为点G G，是否存在，是否存在M M，使得使得AMGAMG与与DCBDCB相似相似展示讨论展示讨论 cbxxy2已知已知:如图如图,抛物线抛物线 与与x x轴、轴、y y轴分别相交于轴分别相交于点点A A（-1-1，0 0）、）、B B（0 0，3 3）两点，其顶点为）两点，其顶点为D.D.(1)(1)求该抛物线的解析式；求该抛物线的解析式；(2)(2)若该抛物线与
3、若该抛物线与x x轴的另一个交点为轴的另一个交点为E.E.求四边形求四边形ABDEABDE的面积；的面积；(3)(3)AOBAOB与与BDEBDE是否相似？如果相似，请予以证明；是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由如果不相似，请说明理由.（注：抛物线（注：抛物线y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为的顶点坐标为 )展示讨论展示讨论 1.1.抛物线抛物线y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的顶点坐标为的顶点坐标为(4,-1)(4,-1)，与与y y轴交于点轴交于点C(0,3)C(0,3)，O O是原点是原点.1 1求这条抛物线的解析式；求这条抛
4、物线的解析式；2 2设此抛物线与设此抛物线与x x轴的交点为轴的交点为A A，B BA A在在B B的左边，的左边，问在问在y y轴上是否存在点轴上是否存在点P P，使以，使以O O，B B，P P为顶点的三角形为顶点的三角形与与AOCAOC相似？假设存在，请求出点相似？假设存在，请求出点P P的坐标：的坐标：假设不存在，请说明理由假设不存在，请说明理由.展示讨论展示讨论 2.2.如图，已知抛物线的顶点为如图，已知抛物线的顶点为A A(2(2，1)1)，且经过原点，且经过原点O O，与与x x轴的另一交点为轴的另一交点为B.B.(1)(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)(2)若点若
5、点C C在抛物线的对称轴上，点在抛物线的对称轴上，点D D在抛物线上，在抛物线上，且以且以O O、C C、D D、B B四点为顶点的四边形为平行四边形，四点为顶点的四边形为平行四边形，求求D D点的坐标点的坐标；(3)(3)连接连接OAOA、ABAB，如图，如图，在在x x轴下方的抛物线上是轴下方的抛物线上是否存在点否存在点P P，使得，使得OBPOBP与与OABOAB相似？相似？若存在，求出若存在，求出P P点的坐标；点的坐标；若不存在，说明理由若不存在，说明理由.展示讨论展示讨论 2yaxbxc（1010四川）如图四川）如图,已知已知ABCABC中，中，ACBACB9090以以ABAB所在
6、直线为所在直线为x x轴轴过过c c 点的直线为点的直线为y y 轴建立平面直角坐标系此时，轴建立平面直角坐标系此时，A A 点坐标为点坐标为（-1,0-1,0），），B B 点坐标为（点坐标为（4,04,0）（1 1）试求点）试求点C C 的坐标的坐标（2 2）若抛物线）若抛物线 过过ABCABC的三个顶点，求抛物线的解析式的三个顶点，求抛物线的解析式3 3点点D D 1 1，m m 在抛物线上，过点在抛物线上，过点A A的直线的直线y=y=x x1 1 交交2 2中的抛物线于中的抛物线于点点E E，那么在，那么在x x轴上点轴上点B B 的左侧是否存在的左侧是否存在点点P P，使以，使以P
7、 P、B B、D D为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABE ABE 相似？假设存在，求出相似？假设存在，求出P P点坐标；点坐标；假设不存在，说明理由假设不存在，说明理由.1010湖北襄樊如图，四边形湖北襄樊如图，四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AB=4AB=4，OB=2OB=2，抛物线过抛物线过A A、B B、C C三点，与三点，与x x轴交于另一点轴交于另一点D D一动点一动点P P以每秒以每秒1 1个个单位长度的速度从单位长度的速度从B B点出发沿点出发沿BABA向点向点A A运动，运动到点运动，运动到点A A停止，同停止，同时一动点时一动点Q Q从点从点D D出发，以
8、每秒出发，以每秒3 3个单位长度的速度沿个单位长度的速度沿DCDC向点向点C C运动，运动，与点与点P P同时停止同时停止1 1求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；2 2假设抛物线的对称轴与假设抛物线的对称轴与ABAB交于点交于点E E，与，与x x轴交于点轴交于点F F，当点，当点P P运动运动时间时间t t为何值时，四边形为何值时，四边形POQEPOQE是等腰梯形？是等腰梯形？3 3当当t t为何值时，以为何值时，以P P、B B、O O为顶点的三角为顶点的三角形与以点形与以点Q Q、B B、O O为顶点的三角形相似？为顶点的三角形相似？轴对称轴对称引言引言对称现象无处不在，从自然景观到艺
9、术作对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！引出新知引出新知探索新知探索新知问题问题1 1如图，把一张纸对折，剪出一个图案折如图，把一张纸对折，剪出一个图案折痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断，再翻开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？追问追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？你能举出一些轴对称图形
10、的例子吗？探索新知探索新知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条 直线成轴对称直线成轴对称共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合的图形重合 探索新知探索新知问题问题2 2观察下面每对图形如图，你能类比前观察下面每对图形如图，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？面的内容概括出
11、它们的共同特征吗？追问追问1你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？探索新知探索新知把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点应点，叫做对称点 两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两局部能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两形的两局部
12、能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合够重合探索新知探索新知追问追问2你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称形，这两个图形关于这条轴对称 探索新知探索新知追问追问2你能
13、结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗图形成轴对称有什么区别与联系吗？追问追问1你能说明其中你能说明其中的道理吗？的道理吗？探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线 段段AA，BB，CC与直线与直线MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问2 2上面的问题说明上面的问题说明“如果如果ABC ABC 和和ABCABC关于直线关于直线MN MN 对称，那么，直线对称，那么，直线MN MN
14、垂直垂直线段线段AAAA，BBBB和和CCCC，并且直线，并且直线MN MN 还平分线段还平分线段AAAA，BBBB和和CCCC如如果将其中的果将其中的“三角形改为三角形改为“四边形四边形“五边形五边形其其他条件不变，上述结论还成他条件不变，上述结论还成立吗？立吗？ABCMNPABC经过线段中点并且垂直经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线条线段的垂直平分线 探索新知探索新知问题问题3如图，如图，ABC 和和ABC关于直线关于直线MN 对称，点对称，点A,B,C分别是点分别是点A，B，C 的对称点，线的对称点，线段段AA，BB，CC与直线与直线M
15、N 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC探索新知探索新知追问追问3你能用数学语言概括前面的结论吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段轴垂直平分对称点所连线段 ABCMNPABC结论：结论：直线直线l l 垂直线段垂直线段AAAA，BBBB，直线直线l l平分线段平分线段AAAA，BBBB或直
16、或直线线l l 是线段是线段AAAA，BBBB的垂直平分的垂直平分线线 探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB追问你能用数学语言概括前面追问你能用数学语言概括前面的结论吗？的结论吗？探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB轴对称图形的性质：轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线一对对应点所连线段的垂直平分线
17、探索新知探索新知问题问题4 4以下图是一个轴对称图形，你能发现什么以下图是一个轴对称图形，你能发现什么结结 论？能说明理由吗？论？能说明理由吗？ABlAB课堂练习课堂练习练习练习1 1如下图的每个图形是轴对称图形吗？如如下图的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴果是，指出它的对称轴 课堂练习课堂练习练习练习2 2如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称如下图的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点称点 1 1本节课学习了哪些主要内容？本节课学习了哪些主要内容？2 2轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是 什么？什么？3 3成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有 什么性质？我们是怎么探究这些性质的？什么性质？我们是怎么探究这些性质的？课堂小结课堂小结教科书习题教科书习题13.1第第1、2、3、4、5题题 布置作业布置作业
