1、 1 2016-2017 学年第二学期高二年级第一次大考 理科数学试卷 （时间： 120分钟 满分： 150分） 一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分） 1. 命题： “ 0 0x?，使 0 02 ( ) 1x xa?” ，这个命题的否定是（ ） A 0x?，使 2 ( ) 1x xa? B 0x?，使 2 ( ) 1x xa? C 0x? ，使 2 ( ) 1x xa? D 0x? ，使 2 ( ) 1x xa? 2. 某几何体的三视图（单位： c
2、m）如图所示，其侧视图为两个正方形，则此几何体的表面积是 A. 90错误 !未找到引用源。 B. 129错误 !未找到引用源。 C. 132错误 !未找到引用源。 D. 138错误 !未找到引用源。 3. 直线 xy 4? 与曲线 3xy? 在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 24 D. 22 4. 用数学归纳法证明 3 )12(12)1()1(21 22222222 ? nnnnn ? 时，由 kn?的假设到证明 1?kn 时，等式左边应添加的式子是（ ） A. 22 2)1( kk ? B. 22)1( kk ? C. 2)1( ?k D. 1)1(2)1(
3、31 2 ? kk 5. 若直线3 4 5 0xy? ? ?与圆? ?2 2 0x y r r? ?相交于 BA, 两点且120oAOB?则 r=( ) A.1 B. 2 C. 332 D. 3 6设 nml , 表示三条不同的直线， ?, 表示三个不同的平面，给出下列 四个命题： 若? ? mlml , ，则 ? ； 若 ?m ， n 是 l 在 ? 内的射影， nm? ，则 lm? ； 若2 ? ? , ，则 ?/ 其中真命题的个数为（ ） A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 7 “ 2a? ” 是 “ 直线 ( 2) 3 1 0a x ay? ? ? ?与直线 ( 2 ) ( 2 )
4、 3 0a x a y? ? ? ? ?相互垂直 ” 的（ ）条件。 A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分也非必要 8. 过原点作曲线 lnyx? 的切线，则切线斜率为 ( ) A. -1 B.1 C. e D. e1 9. 函数 3)2(31 23 ? xbbxxy 在 R 上不是单调增函数 ,则 b 范围为（ ） A. )2,1(? B. ),21,( ? C. 2,1? D. ),2()1,( ? 10已知椭圆 22 14yx ?和点 11,22A?、 1,12B?，若椭圆的某弦的中点在线段 AB 上，且此弦所在直线的斜率为 k ，则 k 的取值范围为 ( ) 。 A、
5、 4, 2? B、 2, 1? C、 4, 1? D、 11,2?11设函数21( ) ln (1 | |) 1f x x x? ? ? ?则使 )1()2( ? xfxf 成立的 x 范围为 ( ) A. ),31()1,( ? B. )31,1(? C. ),1()31,( ? D. )1,31( 12. 设函数 错误 !未找到引用源。 是奇函数 错误 !未找到引用源。 的导函数， 错误 !未找到引用源。 ，当 错误 !未找到引用源。 时， 错误 !未找到引用源。 ，则使得 错误 !未找到引用源。 成立的 错误 !未找到引用源。 的取值范围是 （ ） A 错误 !未找到引用源。 B 错误
6、!未找到引用源。 C 错误 !未找到引用源。 D 错误 !未找到引用源。 二 、 填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 定积分 420 23x x dx? ? ? _. 14.若函数 2( ) ( ) xf x x ax e? ? ? 在 (1,1)? 上单调递增，则 a 的取值范围是 . 15 .已知双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的右 焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 30 的直线与双曲3 PA BCDE线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 _。 16 数列 ?na的前 n 项和为 nS .若数列 ?na的各项按如下
7、规则排列： 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1, , , , , , , , , , ,2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 nn n n? ? ?若存在正整数 k ，使 1 10,kS? ? 10kS? ，则 _.ka ? 三 、 解答题（本大题共 6小题，共 70 分） 17. （本小题满分 12 分） 已知函数 321() 3f x ax x cx d? ? ? ? ( a 、 c 、 d?R )满足(0) 0, (3) 0ff?且 ( ) 1 4 0f x x x y? ? ?在 处 的 切 线 与 直 线 平 行. (1)求 a 、 c 、 d 的值 ; (2)若方
8、程 ()f x m? 有三个不同的实数根，求 m 的取值范围 18.（本 小题满分 12分）已 知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的右焦点 2F 与抛物线 2:4E y x? 的焦点重合 ， 椭圆 C 上一点 P 到其两个焦点 12,FF的距离之和为 4 。 （ 1）求椭圆 C 的离心率 e 的值； （ 2）若 AB 为 椭圆 C 的过点 ? ?1,1Q 且以点 Q 为中点的弦 ， 求直线 AB 的方程 。 19 （本小题满分 12分） 右图为一简单组合体，其底面 ABCD为边长2 正方形， PD? 平面 ABCD ， /EC PD ，且2 2 , 2P D C E?
9、 （ 1）若 N为线段 PB 的中点，求证： EN? 平面 PDB . （ 2）求平面 PBE与平面 ABCD所成的二面角的大小 20（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，面 PAD ? 面 ABCD ， PA PD? ， PA PD? ，DPABC4 AB AD? ， 1AB? ， 2AD? ， 5AC CD?. （ 1）求证： PD PB? ； （ 2）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值； （ 3）在棱 PA 上是否存在点 M ，使得 /BM 平面 PCD ？若存在，求 AMAP 的值；若不存在，说 明理由。 21.（本小题满分 12 分）如图，已知抛物线
10、? ?2: 2 0C y px p?的准线为 l ， 焦点为 F 。 M 的圆心 M 在 x 轴的正半轴上 ， 且与 y 轴相切 。 过原点 O 作倾斜角为 3? 的直线 n ， 交 l 于点 A ，交 M于另一点 B ， 且 2AO BO?。 （ 1）求 M 和抛物线 C 的方程 ； （ 2）设 D 为 抛物线 C 上异于顶点 O 的任意一点 ， 过 D 作 DE l? 交 l 于点 E ， 直线 EO 交抛物线 C 于另一点 G ， 证明 ： 直线 DG 必过定点 。 22. (本小题满分 12分） 已知函数 1( ) lnsing x xx ?在 上为增函数，且 (0, )? , 1(
11、) ln ,mf x m x x m Rx? ? ? ? (I)求 的值； (II)若 ( ) ( )f x g x? 在 1， + )上为单调函数，求 m 的取值范围； (III)设 2() ehx x? ,若在 1， e上至少存在一个 x0，使得 成立，求 m的取值MF xyOABln C5 范围 . 6 2016-2017 学年第二学期高二年级第一次大考 理科数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A B B C B D D A A C 13.343 14. 32a? 15. 23+3? ?，16. 67 17. 解：（ 1） 2( ) 2f
12、x ax x c? ? ? ? -1 分 ( 3 ) 9 6 0 (1 )f a c? ? ? ? ? - -2分 ( ) 1 4 0f x x x y? ? ?在 处 的 切 线 与 直 线 平 行 (1) 2 4 ( 2 )f a c? ? ? ? ? ?-3分 联立（ 1）（ 2）解得 1, 3ac? ? ，又 (0) 0fd?-5分 （ 2）由（ 1）知 3( ) 2 3 ( 3 )( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ? 令 ( ) 0 2 3f x x x? ? ? ? ?得 和-6分 ，当 2 3 ( ) 0x x f x? ? ? ?或 时 -7分 2 3 (
13、 ) 0x f x? ? ? ?当 时 ， -8分 2( ) 2 ( 2 ) 3f x x f? ? ? ? ? ?在 处 有 极 大 值 ( ) 3 ( 3 ) 2 7f x x f? ? ? ?在 处 有 极 小 值-9分 方程 ()f x m? 有三个不同的实数根 227 3m? ? ? ? -10 分 18.解：（ 1）由条件知： ? ? ? ?211, 0 , 1, 0 , 1F F c? ? ?， 又知 2 4, 2 . 3a a b? ? ? ? ?， ?椭圆 22:143xyC ?， 因此 11,22ceea? ? ? ?。 （ 2）椭圆 22:143xyC ?，易知点 ? ?
14、1,1Q 在椭圆 C 的内部 ， 设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,A x y B x y， 则 2211221 (1)431 (2)43xyxy? ? ?，（ 1） ? （ 2）得： 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 043x x x x y y y y? ? ? ?， 易知 AB 的斜率存在 ， 1 2 1 21 2 1 2 1 2, 0 = 2 , 2 ,43 ABx x y yx x k x x y y? ? ? ? ? ? ? ? ?，1 2 302 3 4A B A Bkk? ? ? ? ? ? ?，所以 直线 : 3 4 7 0AB x y?
15、? ?。 19. （本题 12分） 解析 :（ 1）证法 1：连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF， 7 F为 BD的中点， /NF PD 且 12NF PD? 又 /EC PD 且 12EC PD? 则 /NF EC 且 NF EC? 四边形 NFCE为平行四边形 /NE FC -2 分 ,D B A C P D A B C D? 平 面 ，AC BCD? 平 面 AC PD? ， 又 PD BD D?， AC PBD?面 -4分 NE PDB?面 -5分 证法 2：如图以点 D为坐标原点，以 AD所在的直线为 x轴建立空间直角坐标系如图示： 则 222B（ 2 ， 2 ， 0 ）
16、 ， C （ 0 ， 2 ， 0 ） ， P （ 0 ， 0 ， 2 ） ， E （ 0 ， 2 ， ） ， N （ 1 ， 1 ， ） 则 2E N P B D B? ? ?（ 1 ， -1 ， 0 ） ， （ 2 ， 2 ， -2 ） ， （ 2 ， 2 ， 0 ） -2分 1 2 1 2 0 2E N P B? ? ? ? ? ? ?（ -2 ） =0， 1 2 1 2 0 0 0E N D B? ? ? ? ? ? ? ? EN PB EN DB?， -4分 PB DB PDB?， 面 ，且 P DB B? NE PDB?面 -5分 （ 2）连结 DN，由（ 1）知 NE PDB?面
17、DN NE? , 22PD DB?， DN PB? DN 为平面 PBE的法向量， 且 2DN ?（ 1， 1， ）-8分 DP 为平面 ABCD的法向量， 2DP ?（ 0， 0， 2 ）， -9分 设平面 PBE与平面 ABCD所成的二面角为 ，则 2co s2D N D PD N D P? ?-11 分 045? ， 即平面 PBE与平面 ABCD所成的二面角为 45 -12 分 20.（ 1） 证明： 面 PAD ? 面 ABCD AD? ， AB AD? ， AB? 面 PAD PD AB? 又 PD PA? PD? 面 PAB PD PB? 3分 （ 2）取 AD 中点为 O ，连结 CO ， PO ， 5CD AC? CO AD? PA PD? PO AD? 以 O 为原点，如图建系，易知 (0,0,1)P ， (1,1,0)B ， (0, 1,0)D ? ， (2,0,0)C ， 则 (1,1, 1)PB?， (0, 1, 1)PD ? ? ? ， (2,0, 1)PC ?， ( 2, 1,0)CD ? ? ? 。 设 00( , ,1)n x y? 为面 的法向量，则 0 1 , 1,120n P D nn P C? ? ? ? ? ?，则 PB 与面 PCD 夹角 ? 有 8 1 1132sin c o s ,31 1 1 3
