1、教材教材分析分析学情学情分析分析过程过程设计设计导学案导学案设计设计教材分析一.教材所处的地位：勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的 了解。在中考几何题最后一道几何代数综合题中几乎无处不在。二学情分析二学情分析.1.1.初三的学生已经有一定的几何基础，接受能力初三的学生已经有一定的几何基础，接受能力、思思维能力、自我控制能力都有很大变化和提高
2、维能力、自我控制能力都有很大变化和提高，自学能自学能力动手操作能力都比较强力动手操作能力都比较强，通过类比学习通过类比学习培养创新的培养创新的意识意识2.2.本班的学生特点：学习多性强，只关注成绩，渴望本班的学生特点：学习多性强，只关注成绩，渴望不学习就能有好成绩。新知识接受的慢些。不学习就能有好成绩。新知识接受的慢些。u正确理解勾股定理的具体内容，能正确理解勾股定理的具体内容，能快速求出快速求出网格图形的面积，并能用两种以上的方法证明网格图形的面积，并能用两种以上的方法证明勾股定理勾股定理。u熟练熟练运用运用使用网格及拼图求面积，掌握直角使用网格及拼图求面积，掌握直角三角形三边之间的关系，能
3、熟练的证明勾股定三角形三边之间的关系，能熟练的证明勾股定理。理。知识技能知识技能教学任务设计意图教学任务设计意图过程与方法过程与方法教学任务设计意图教学任务设计意图培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力；培养学生观言表达及用数学语言的能力；培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。比、类比的数学思想方法。教学任务设计意图教学任务设计意图情感态情感态 度度 u 培养学生积极主动参与的培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习
4、习惯；合作学习的良好的学习习惯；体会事物之间互相转化的辨体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立证思想，从而初步接受对立统一观点。统一观点。教学目标及设计意图 根据课程标准，本课的教学目标是：根据课程标准，本课的教学目标是：1、能说出勾股定理的内容。2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察猜想归纳验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。探索和证明勾股定理二学习重点学习难点 一、预习案二、探究案四、训练案五、检测案三、知识体
5、系构建一一 预习案预习案预习案教材助读：信息链接:1.在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称为这个定理为毕达哥拉斯定理。2.2002年在北京召开的国际数学家大会会徽的图案就是我国汉代数学家赵爽研究勾股定理时用的图案。了解知识背景百牛定理 “勾股定理勾股定理”在国外，尤其在西方被称为在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”或或“百牛定理百牛定理”毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨着是正方
6、形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，这位善于观察和理解的言毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，这位善于观察和理解的数学家不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲数学家不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰在地板上，选了一块磁砖以它的对角线为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一好等于两块磁砖的面积和他
7、很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于个正方形，他发现这个正方形之面积等于5 5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好形面积之和至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面，等于另两边平方之和那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面，就这样毕达哥拉斯也发现了勾股定理就这样毕达哥拉斯也发现了勾股定理 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（Pythagoras，前
8、，前572前前497），西），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年纪的人，比商高晚出生五百多年 周髀算经周髀算经中还有中还有“陈子测日陈子测日”的记载：根据勾股定理，的记载：根据勾股定理，周子可以测量太阳的高度、太阳的直径和天地的长阔等例如，周子可以测量太阳的高度、太阳的直径和天地的长阔等例如，当求得了日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后，计当求得了日高及测得了测量人所在位置到日下点的距离之后，计算日远的方法是：算日远的方法是：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾若求邪至日者，以日下为勾，日高为股
9、，勾股自乘，并开方而除之，得邪至日者股自乘，并开方而除之，得邪至日者”勾股定理的应用非常广泛我国战国时期另一部古籍勾股定理的应用非常广泛我国战国时期另一部古籍路史路史后记十二注后记十二注中就有这样的记载：中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也股之所系生也”这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水
10、注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学商高定理预习案预习自测 1.勾股定理的具体内容是：2.如图，的主要性质是：（1）两锐角的关系：（2)若D为斜边AB的中点，则（3）若B=30，则（4）三边之间的关系：导学案的设计意图导学案的设计意图1.拓展学生的视野，充分展示学生的自学能力。2.通过教材助读和预习自测检验学生预习情况，
11、有利于教师了解学生对知识把握度。3.因为采用的是自主探索、小组合作交流的研讨式学习，动手操作的方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。导学案设计意图：导学案设计意图：4、通过回顾旧知识，为下面学习新知识做好铺垫，并由旧知识引入到新知识。5、提高学生提问题的意识和能力，让学生在学习时能突出重点，提高效率，促进学生举一反三，构建知识网络。带着问题听课，帮助集中注意力.6、预习自测是基于教材基础以及相关的基础知识编写难度较低的题目，但教师要把学生易错的共性问题要在课堂上再次强调，引起学生注意。导学案的设计意图7.旧知回顾1题，教材助读的
12、1题预习自测1题是c层学生必会题，A,B层的同学都得会。让学生充分体会分层教学的快乐。可能出现的问题：1.学生预习不认真，不细心。2.三角形面积公式忘了。3.含30的直角三角形中，30所对的直角边与斜边的关系弄反了。预习自测体现一定基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”。这就是本届大会这就是本届大会会徽的图案会徽的图案 探究案探究案 赵爽弦图导入新课赵爽弦图导入新课 你见过这个图案吗？你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？你听说过勾股定理吗？这个图案是我国汉代数学这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为的，被称为“赵爽弦图赵爽弦图”探
13、究案 我动手我也可能是赵爽 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角ABC，用刻度尺量出AB的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。探究案探究案（一）基础知识探究：（一）基础知识探究：探究点一：直角三角形三边关系探究点一：直角三角形三边关系实例实例1.观察图观察图3，如果每一个小方格表示，如果每一个小方格表示1平方厘米，思考并回答以下问题。平方厘米，思考并回答以下问题。A AB BC C图
14、3问题问题1.正方形正方形A的面积的面积_平方平方厘米；厘米；正方形正方形B的面积的面积_平方厘米平方厘米.正方形正方形C的面积的面积_平方厘米平方厘米.【答案答案】：4；4；8（利用四个直角三角形的面积之和）（利用四个直角三角形的面积之和）问题问题2.正方形正方形A、B的面积与正方形的面积与正方形C的的面积有什么关系？面积有什么关系？【答案答案】：SA+SB=SC实实例例2.观察图观察图4，如果每一个小方格表示，如果每一个小方格表示1平方厘米，思考并回答以下问题。平方厘米，思考并回答以下问题。A AB BC C C C图4问题问题1.正方形正方形A的面积的面积_平方厘米；平方厘米；正方形正方
15、形B的面积的面积_平方厘米平方厘米.【答案答案】：9；16问题问题2.正方形正方形C的面积怎样计算？等于多少？的面积怎样计算？等于多少？【答案答案】：可转化为四个直角边为：可转化为四个直角边为3和和4的直角三角形和的直角三角形和一个边长为一个边长为1的正方形。的正方形。251241134214cS问题问题3.正方形正方形A、B的面积与正方形的面积与正方形C的面积有什么关系？的面积有什么关系？【答案答案】：SA+SB=SC探究案探究案问问题题4.观察图观察图5，若正方形，若正方形A的边长为的边长为a,正方形正方形B的边长为的边长为b，正方形，正方形C的边长为的边长为c，根据，根据上面得到的面积关
16、系，你可以得到上面得到的面积关系，你可以得到a,b,c三者之间的关系是什么？三者之间的关系是什么？A AB BC CC Ca ab bc ca ab bc c图5【答案答案】：勾股定理：勾股定理：222cba即：直角三角形两直角边的平方和即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.探究案探究案探究点二：勾股定理的探究点二：勾股定理的证明证明 小组探究小组探究图6实例实例1:1:利用利用四个边长是四个边长是a，b，c的直角三角形的直角三角形，拼成下面的一个大正方形拼成下面的一个大正方形.动手做一做，探究下列问题：动手做一做，探究下列问题：问题问题1.你能表示图你能表示图6中大正方
17、形、小正方形面积吗？中大正方形、小正方形面积吗？问题问题2.你能由此得到勾股定理吗？你能给出证明吗？你能由此得到勾股定理吗？你能给出证明吗？探究勾股定理的设计意图 通过观察和拼图活动，调动学生的积极性和兴趣，为学生提供从事数学活动的机会，建立初步的空间概念，发展形象思维，激发学生探求新知的欲望，激励学生敢于发表自己的见解，感受合作的重要性。让学生学会倾听，欣赏。（二）知识综合应用探究（二）知识综合应用探究 探究点一：勾股定理的应用（重点、难点）探究点一：勾股定理的应用（重点、难点）【例例1】在在RtABC中，中，=90.(1)已知：已知：a=6，=8，求，求c；(2)已知：已知：a=40，c=
18、41，求，求b；(3)已知：已知：c=13，b=5，求，求a；(4)已知已知:a:b=3:4,c=15,求求a、b.问题问题1.勾股定理内容是什么？若已知两勾股定理内容是什么？若已知两直角边长度是直角边长度是a,b,则斜边则斜边c=.【答案答案】：勾股定理：勾股定理:22ba 即直角三角形两直角边的平方和即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.问题问题2.若已知直角边若已知直角边a和斜边和斜边c的长度，的长度，另一直角边另一直角边b=？22ac 4x【规律方法总结规律方法总结】（1 1）勾股定理只适用于直角三角形；）勾股定理只适用于直角三角形；（2 2）在直角三角形中，已知两
19、边求第三边，通常用勾股定理来解）在直角三角形中，已知两边求第三边，通常用勾股定理来解.在运用定理时，一定要明确直角边和斜边，不要盲目代入在运用定理时，一定要明确直角边和斜边，不要盲目代入.（3 3）可用勾股定理建立方程）可用勾股定理建立方程.52122222BCABAC5探究点二：探究点二：勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用1m 例例3 3：一架长为：一架长为 10m 10m 的梯子的梯子ABAB斜靠在墙上，若梯子的斜靠在墙上，若梯子的顶端距地面的垂直距离为顶端距地面的垂直距离为 8m.8m.如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑 2m,2m,那么它的底端是否也滑动那么它的底端是否也滑动 2m
20、?2m?问题问题1.AB=10，AC=8，由，由勾股定理可知勾股定理可知ABCA AB2m？6mCBCB2 2=AB=AB2 2-AC-AC2 2 =10=102 2 8 82 2 =36=36CB=6CB=6CBCB 2 2=A=AB B 2 2-A-A C C2 2 =10=102 2 6 62 2 =64=64CBCB=8=8合作探合作探究设计意图究设计意图1.1.勇于提出探究中遇勇于提出探究中遇到的疑问到的疑问2.2.努力在课堂上形成学生渴求知识氛围。努力在课堂上形成学生渴求知识氛围。3.3.人人人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。人参与，热烈讨论，大声表达自己的思想。4.4.组组长
21、控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内长控制好讨论节奏，先一对一分层讨论，再小组内集中讨论。集中讨论。5.5.没没解决的问题组长记录好，准备质疑。解决的问题组长记录好，准备质疑。探究案的设计意图1.提高学生发现问题总结规律的能力；提高学生发现问题总结规律的能力；2.通过独立思考、小组合作、动手操通过独立思考、小组合作、动手操作，探究并归纳出勾股定理的证明方作，探究并归纳出勾股定理的证明方法；法；3.以极度的热情投入学习，全力以赴以极度的热情投入学习，全力以赴享受学习成功的快乐享受学习成功的快乐.勾股定理的知识网络与总勾股定理的知识网络与总结升华结升华（1）勾股定理的证明；）勾股定理的证明；
22、（2）勾股定理的简单实际应用）勾股定理的简单实际应用.【课堂小结课堂小结】1.知识方面：知识方面：（归纳（归纳 （2）数形结合）数形结合 （3）等价）等价1）观转化察）观转化察2.数学思想方面：数学思想方面：探究案的设计意图 问题是思维的起点，通过问题激发学生好奇，探究和主动学习的欲望。渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用。培养学生的类比、迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。鼓励学生勇于面对数学活动中的困难，尝试从不同角度寻求解决问题的有效方法，并通过对方法的反思，获得解决问题的经验。进入你争我夺环节1.探究勾股定理的
23、多种证明方法，让学生分组讨论，看哪一组的证明方法多。2.用割补法证明勾股定理，为学生提供资料。为你争我夺准备道具1.让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。2.发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法定理的新
24、证法1 1传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德的证法任总统茄菲尔德的证法3 3刘徽的证法刘徽的证法勾股定理的证明勾股定理的证明5 5其他证法其他证法 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有什么关系吗？有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上
25、，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：个基本图形组成的：一个直角三角形一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 AB方法一做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.babababacbacbacbacbacbacba以a、b 为直角
26、边，以c为斜边做四个全等的直角三角形 DGCFAHEBabcabcabcabc以a、b 为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直角三角形 bacGDACFEH以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形 ababccABCDE两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长做分别为a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.cccbacbaABCEFPQMN直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图做四个全等的直角三角形，设它们的两条那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.PHGF
27、EDCBAabcabcabcabc做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，cbacbaABCDEFGHMLK多种方法证明勾股定理的设计意图 1.发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。2.勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。补充勾股定理的证明的设计意图 通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。六种图示证明勾股定理，使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。学生亲自动手操作的设计意图 1.使学生明确图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没没有空隙，面积就不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。2.激发学生的爱国情怀 3.培养学生动手操作的能力 4.让学生了解历史人物
