1、 1 2016-2017 学年下学期第二次月考试卷 高二理科数学 （考试时间： 120 分钟 满分： 150 分） 独立性检验可信 程度表： P(K2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 独立性检验临界值表 参考公式： K 2)()()( )( 2 dbcadcba bcadn ? ?一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
2、，请把答案填在答题卷相应的位置上 1已知复数 z 满足 ? ?12iz?，则在复平面中， z? （ ） . A 2 B 3 C 2 D 3 2已知随机变量 ? 服从正态分布 ? ?22,N ? , ? ?4 0.66P ? ? ，则 ? ?0P?（ ） . A 0.16 B 0.34 C 0.68 D 0.84 3 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费 用 x(万元 ) 1 2 4 5 销售额 y(万元 ) 6 14 28 32 根据上表 中的数据 可 以求 得线性回归方程 y bx a?中的 b 为 6.6，据此模型预报广告费用为 10 万元时销售额为 （ ） .
3、A 66.8 万元 B 66.4 万元 C 66.2 万元 D 66.0 万元 4用数学归纳法证明 4221 2 3 2nnn ? ? ? ? ?，则当 1nk?时左端应在 nk? 的基础上增加 （ ） . A 2 1k? B ? ?21k? C ? ? ? ?42112kk? ? ? D ? ? ? ? ? ?2221 2 1k k k? ? ? ? ? ? 5设曲线 32y x x?在点 ? ?1,1 处的切线为 l ，点 ? ?,Pmn 在 l 上， 0mn? ，则 14mn?的最小值为 （ ） . A 2 B 3 C 94 D 92 6（ 二选一 ） （ 1） 4 4：坐标系与参数方程
4、 曲线 :C 2 5cos1 5sinxy ? ?（ ? 为参数）被 直线 2413xtyt? ? ? ?（ t 为参数）截得的弦长为 （ ） . 2 A 4 B 5 C 6 D 8 （ 2） 4 5：不等式选讲 已知 ? ?0,x ? ，则 2sinsinyxx?的最小值为 （ ） . A 22? B 22 C 3 D 4 7已知 ? ? ? ?2 21f x x f x? ,则 ? ? ?1 20 1 x f x dx? ? ?（ ） . A 232?B 232?C 534?D 534?8设 ? ?, , ,0pqr? ? ， 1xpq?， 1yqr? ， 1zrp?，则 x 、 y 、
5、z 三个数 （ ） . A都大于 2? B 至少有一个不大于 2? C 都小于 2? D 至少有一个不小于 2? 9 函数 ? ?2 1 xy x e? 的图象大致为 A B C D 10若 ? ? ? ?2*311nx x x n Nx? ? ? ?的展开式中没有常数项，则 n 的可能值为 （ ） . A 7 B 8 C 9 D 10 11 某密码锁共 设 四 个 数 位 ，每个数位 的数字 都可 以是 1， 2， 3， 4 中的任一个 .现密码破译者得知：甲 所 设的 四个数 字 有且仅有三个相同； 乙 所 设 的四 个数 字 有两个相同，另两个也相同 ；丙 所 设的 四个数 字 有且仅有
6、两个相同； 丁 所 设的 四个数 字互 不相同则上述四人所设密码最安全的是（ ） . A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 12若实数 ,abc满足 ? ? ? ?222 1 ln 0a b a c c? ? ? ? ? ?，则 bc? 的最小值是 （ ） . A 1 B 32 C 2 D 52 3 二 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .请把答案写在答题卷相应位置上 13 已知 51(2 )xx?展开式的二项式系数之和为 14 10 件产品中有 5 件次品，不放回地抽取两次，每次抽 1 件，则在第一次抽出的是次品的条 件下，第二次抽出的是正品的概率为 15 已知 ? ?
7、321 13f x x x ax? ? ? ?在 ? ?,? 上单调递增，则实数 a 的值为 . 16定义：分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数 .我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位 分数之和 .如： 1 1 112 3 6? ? ?， 1 1 1 112 4 6 12? ? ? ?， 1 1 1 1 112 5 6 12 20? ? ? ? ?，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 6 1 2 3 0 4 2 5 6 7 2 9 0 1 1 0 1 3 2 1 5 6mn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，其中 mn? ，*,mn N? , 0
8、, 0xy?,21x y n m? ? ? ? ，则 xy 的最大值为 三、解答 题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知复数 ? ? ? ?21 2 3z m m m i? ? ? ? ?， 0m? , （） 若 z 是纯虚数，求 m 的值； （） 若 2zz?，求 z ； （ III） 在复平面中，设复数 z 对应的点为 P ，当 m 变化时，求动点 P 的轨迹的方程 4 18.（本小题满分 12 分） 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，若要调查某公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，并规定每天使用 微信
9、时间在一小时以上为经常使用微信 。 据统计，该公司 200 名员工中 90%的人使用微信，其中不经常使用微信的有 60 人，其余经常使用微信。若将员工年龄分成青年（年龄小于 40 岁）和中年（年龄不小于 40 岁）两个阶段，使用微信的中 75%是青年人 .经常使用微信的员工中，有 80 人是青年人 . （） 请完成如下 22? 联列表， 青年人 中年人 合计 经常使用微信 不经常使用微信 合计 （） 由列联表中所得数据，是否有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？ （ III） 现采用分层抽样的方法从“经常使用微信的人”中抽取 6 人，从 已抽取 的这 6 人 中任选 2 人，求“
10、选出的 2 人均为青年人”的概率 . 19（本小题满分 12 分） 已知 ? ?0 1, 2, 3ix i n? ，我们知 道 ? ?12 1211 4xx xx? ? ?成立 . （） 求证： ? ?1 2 3 1 2 31 1 1 9x x x x x x? ? ? ? ?； （） 同理我们也可以证明出 ? ?1 2 3 4 1 2 3 41 1 1 1 16x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?.由上述几个不等式，请你猜测一个与 12 nx x x? ? ? 和 ? ?*121 1 1 2,n n n Nx x x? ? ? ? ?有关的不等式，并用数学归纳法证明 .
11、5 20（本小题满分 12 分） 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50年的水文资料显示，水库年入流量 X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米）都在 40 以上，不足 80的年份有 10年，不低于 80且不超过 120的年份有 35年，超过 120的年份有 5 年，将年入流量在 以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立 （）求未来 3 年中，设 ? 表示流量超过 120的年数，求 ? 的分布列及期望； （）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电 机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系： 年入流量 X 40 80X? 8
12、0 120X? 120X? 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台年利润为 5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损 800万元，欲使水 电站年总 利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? ln 1,af x x a Rx? ? ? ?. （） 若函数 ?fx的最小值为 0 ，求 a 的值； （） 证明 : ? ?ln 1 sin 0xe x x? ? ?. 注意：请考生在 22、 23 题两题中任选一道题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 . 6 22（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C
13、的参数方程为 3cossinxy ? ?（ ? 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 co s 2 24?. （）求曲线 1C 的普通方程和直线 2C 的直角坐标方程 ； （） 设点 P 在 1C 上，点 Q 在 2C 上 ,求 PQ 的最小值及对应的点 P 的直角坐标 . 23（本小题满分 10 分） 设函数 ? ? 2 1 1f x x x? ? ? ? （）解不等式 ? ? 21f x x?； （）若存在 实数 x ，使得不等式 ? ? 2 32tf x t? ? ?成立，求 t 的取值范围 . 7 2016-2017 学年（下）高
14、二理科数学半期考试卷参考答案 一、 选择题：每小题 5 分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C D D C D B A C C A 二、 填空题：每小题 5 分，共 20 分 . 13.32 14.59 15.? ?,1? 16.92 三、解答题：第 17 题 10 分，第 18-22 题，每题 12 分 . 17.解： 解：（）若 z 是纯虚数，则 2 2 3 010mmm? ? ? ? ?，解得 1m? ； ? 4 分 （） ? ?2 1 2z z m? ? ? ?，所以 2m? ，所以 15zi? ； ? 8 分 （ III） 依题
15、意，点 P 的坐标为 ? ?,xy ， 则21 23xmy m m? ? ? ?消去 m 得 点 P 的轨迹方程为 2 4y x x?； ? 11 分 又因为 0m? ，所以 1x? ， 点 P 的轨迹方程为 2 4y x x?（ 1x? ） . ? 12 分 18.解： （） 青年人 中年人 合计 经常使用微信 80 40 120 不经常使用微信 55 5 60 合计 135 45 180 ? 4 分 （ ） 依题意： ? ? 21 8 0 8 0 5 5 5 4 0 1 3 . 3 3 31 2 0 6 0 1 3 5 4 5k ? ? ? ? ? ?， 由于 13.333 10.828?
16、 ，所以有 99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关” . ? 8 分 （ III） 从“经常使用微信”的人中抽取 6 人，其中青年人 4 人，中年人 2 人， 则从 已抽取的 这 6 人中任选 2 人，“选出的 2 人均为青年人”的概率为 2426 25CP C?. ? 12 分 8 19.解： （ ） 证法一 ： ? ? 331 2 3 1 2 31 2 3 1 2 31 1 1 1 1 13 3 9x x x x x xx x x x x x? ? ? ? ? ? ?； 证法二 ： ? ? 332 1 1 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 31 1 1 3 3 2 2 2 9xxx x x xx x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 分 （ ） 猜想 ? ? ? ?2*12 121 1 1 2,n nx x x n n n Nx x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 5 分 证明如下： 当 2n? 时，由
