1、 - 1 - 中山市普通高中 2016-2017学年下学期高二数学 4 月月考试题 03 选择题（共计 10 题，每题 5分） 1.“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”，此推理方法是（ ） A.类比推理 B.归纳推理 C.演绎推理 D.分析法 2. ? ? ? ? ? ? 等于则可导在设 x xxfxxf，xxf x 3lim 0000 ?（ ） A ? ?04 xf? B ? ?0xf? C ? ?02 xf? D ? ?03 xf? 3.用数学归纳法证明 “ ” 对于 0nn? 的正整数 均成立 ” 时，第一步证明中的起始值 0n 应取（ ） A. 1 B. 3 C. 6
2、 D. 10 4.曲线 3( ) 2f x x x= + -在 0p 处的切线平行于直线 41yx=-，则 0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0) 和 ( 1, 4)? D (2,8) 和 ( 1, 4)? 5 用数学归纳法证明等式 )(18(722222 410374? ? Nnnn?时，验证 1?n ，左边应取的项是 ( ) A 2 B 74 222 ? C 1074 2222 ? D 131074 22222 ? 6.已知 0a? ，函数 3 12()f x ax xa?，且 (1) 12f ? ，则 a? （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7.下列
3、结论 正确的个数是（ ） “ 由 221 3 2 1 3 5 3? ? ? ? ?， 猜想 21 3 5 (2 1)nn? ? ? ? ? ?” 是归纳推理 合情推理的结论一定正确 “ 由圆的性质类比出球的有关性质 ” 是类比推理 “ 三角形内角和是 180 ，四边形内角和是 360 ， 五边形内角和是 540 ，由此得出凸多边形的内角和是 (n 2)180 ” 是归纳推理 A 4 B 3 C 2 D 1 8.设 Nnxfxfxfxfxfxfxxf nn ? ? ),()(,),()(),()(,s i n)( 112010 ?，则 2013()fx（ ） A. xsin B. xsin? C
4、. xcos D. xcos? 9 函数 ( ) sin cos ( )f x x x x R? ? ?的图象 向左 平移 m()mR? 个单位 后，得到函数 ()y f x? 的图象，则 m 的 最小值为（ ） A. 4? B. 2? C. ? D. 6? - 2 - 10.在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组 成一个 “ 类 ” ，记为 ?k ， 即 ? ? ? ?5k n k n? ? ? Z， 0,1,2,3,4k? 给出如下四个结论： ? ?2013 3? ； ? ?22? ； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 3 4Z ? ； 整数 ,ab属于同
5、一 “ 类 ” 的 则有“ ? ?0ab? ” 其中，正确结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 一、 填空题 (共计 5题，每小题 5分 ) 11.设 32( ) 2 1f x x ax bx? ? ? ?的导函数为 ()fx? ,若 函数 ()y f x? 的图象关于直线 12x?对称，且 (1) 0f? ? ，则 实数 a ， b 的值 a = b = ; 12. 二维空间中，圆的一维测度（周长 ） l 2?r，二维测度（面积） S ?r2；三维空间中，球的二维测度（表面积） S 4?r2，三维测度（体积） V 43?r3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度 V
6、8?r3，则其四维测度 W . 13. 设函数 2( ) lnf x x x?，若曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 y ax b?，则ab? 。 14.右表给出一个 “ 三角形数阵 ”. 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第 i 行第 j 列的数为 ija （ *, Njiji ? ），则 53a 等于 ， _( 3)mnam?. 观察下列算式： 113? ， 5323 ? ， 119733 ? ， 191715134 3 ? ， ? ? ? ? 14 12 ， 14 34 ， 38 ， 316 ? - 3 - 若某
7、数 3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“ 2013”这个数，则 ?m _ 二、 解答题 16. （ 1） 已知xexy21? ， 求 y? （ 2） 已知 )3sin(2 ? xxy ， 求 y? （ 3） += (n 0 )mn nx nx xy x ? 17.用 反证法 证明： 在数列 ?na 中 ， 已知 2nan? ，求证：数列中任意不同的三项都不可能成等比数列。 18.已知曲线 baxxf ? 3)( 的 图象经过点 (0,1) ，且在 1x? 处的切线方程是13 ? xy ，（ 1）求 )(xfy? 的解析式； （ 2）求曲线过点 ? ?0,1? 的切线的方程 . 19.已知
8、数列 na 满足 ),(12121 *21 Nnnaaa nnn ?且 .31?a （ 1） 计算 432 , aaa 的值，由此猜想数列 na 的通项公式，并给出证明； - 4 - 20. 观察下列 三 个三角恒等式 （ 1） ta n 2 0 ta n 4 0 ta n 2 033ta n 4 0? ? ? ? ? ? （ 2） ta n 2 2 ta n 3 8 ta n 2 2 ta n 3 8? ? ? ? ? ? （ 3） t a n 6 7 t a n ( 7 t a n 6 7 t a n () 3 ) 37? ? ? ? ? ? ? 的特点，由此归纳出一个一般的等式，使得上述
9、三式为它的一个特例，并证明你的结论 21.设数列 na 的前 n项和为 nS ，并且满足 naS nn ? 22 ， 0?na （ n N*） . （）求 1a ， 2a ， 3a ； （）猜想 na 的通项公式，并用数学归纳法加以证明； （ ）设 0?x ， 0?y ，且 1?yx ，证明： 11 ? yaxa nn )2(2 ?n . - 5 - 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C C D C B C B C 9【解析】 ( ) s in c o s 2 c o s ( )4f x x x x ? ? ? ?， ()y f x? =c o s s in 2 c o
10、s ( )4x x x ? ? ?，所以项左平移 2? 10 错 11【答案】 3， -12【 答案】 ： 2?r4;【提示】面积求导是周长，体积求导是面积。 13【答案】 1 14【答案】 5,16 12nm?15解析 ： 45 某数 3m 按上述规律展开后 ,则等式右边为 m个连续奇数的和 ，且每行的最后一个数为， 21 1 0?， 25 2 1?， 211 3 2?， 219 4 3?，所以 3m 的最后一个数为2 ( 1)mm?，因为当 44m? 时， 2 ( 1) 1979mm? ? ? ，当 45m? 时， 2 ( 1) 2069mm? ? ? ，所以要使当等式右面含有“ 2013
11、”这个数，则 45m? 16.【答案】 （ 1） 2 21=xxxy e?； （ 2） 22 sin 3 3 co s 3y x x x x? ? ?。 （ 3） y? = 1 -2-2 -2 1(m -1 ) + ( -1) + ( -1 )mn nx n x xn 17.【证明】： - 6 - 18. 【解析】 baxxf ? 3)( 的图象经过点 (0,1) ，则 1b? ， 2( ) 3f x ax? ，在 1x?处的切线方程是 13 ? xy ，所以 33a? ， 1a? ， 3( ) 1f x x? （ 2） 3( ) 1f x x? 过 ? ?0,1? ，当这点为切点时， k=3
12、，切线方程为 33yx?，当该点不是切点时，设切点坐标为 300( , 1)xx? ，依题意有 3 2000 10 31x xx? ?，得 3 2 3 2 20 0 0 0 02 3 1 2 2 1 0x x x x x? ? ? ? ? ? ?，解得0 12x?，切点坐标19( , )28 ，斜 率为 34k? ，切线方程为 9 3 1()8 4 2yx? ? ? 即 33, 44yx?。 19.证明： 2 4a? ， 3 5a? ， 4 6a? ， 猜想： *2( )na n n?+N 当 1n? 时， 1 3a? ，结论成立； 假设当 *( 1, )n k k k?N 时，结论成立，即
13、2kak? + ， 则当 1nk? + 时， 221 1 1 1 11 = ( 2 ) ( + 2 ) + 1 = + 3 = ( + 1 ) + 22 2 2 2k k ka a k a k k k k k? ? ? ? ?+， 即当 1nk? + 时，结论也成立，由 得 ，数列 na 的通项公式为 *2( )na n n?+N （说明：本题依据你得到的等式的深刻性分层评分） 20【答案】以下给出两个层次解答供参考 等式一：若 60? ? ? ，且 , ( )2kk? ? ? ? ? Z，则 ta n 3 ta na t3t ann ? ? ? ? ? ? 证明如下： 因为 60? ? ?
14、，所以 )t tan 60an(? ? ? 即 ta nta n ta n 31 ta n? ?所以 ta n 3 (1ta n ta ta )n n? ? ? ? ? ? ? 即 ta n 3 3ta a n ta nnt? ? ? ? ? ? ? 移项得 ta n 3 ta na t3t ann ? ? ? ? ? ? 等式二：若 , , ( )2kk? ? ? ? ? ? ? ? Z，则 - 7 - t a n t a n ( )t t a n t a n tn a n )a (? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 证明如下： 因为 ta nta ta nn ( )1 tatn
15、 na? ? ?所以 ta n ta n ( + ) (1ta n ta n ta n )? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 t a n t a n ( + ) t a nt ( + ) t an a n nat? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 移项得 t a n t a n ( + ) t a n t a n t a n ( +t a n )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 21【答案】解：（）分别令 1?n ， 2， 3，得 ?3)(22)(212233212221211aaaaaaaaa 0?na ， 11?a ， 22?a ， 33?a . （）证法一：猜想： na
16、n? ，由 naS nn ? 22 可知，当 n 2时， )1(2 2 11 ? ? naS nn -，得 12 2 12 ? ?nnn aaa ，即 12 2 12 ? ?nnn aaa . 1）当 2?n 时， 112 2222 ? aa ， 02?a ， 22?a ； 2）假设当 kn? （ k 2）时， kak? . 那么当 1?kn 时， 12 212 1 ? ? kkk aaa 12 21 ? ? kak 0)1()1( 11 ? ? kaka kk ， 01?ka ， k 2， 0)1(1 ? kak ， 11 ? kak . 这就是说，当 1?kn 时也成立， nan? （ n
17、 2） . 显然 1?n 时，也适合 . 故对于 n N*，均有 nan? （ ）要证 11 ? nynx )2(2 ?n ， - 8 - 只要证 1)1)(1(21 ? nynynxnx )2(2 ?n ， 即 ? 2)( yxn 1)(2 2 ? yxnxyn )2(2 ?n ， 将 1?yx 代入，得 12 2 ?nxyn 2?n ， 即要证 )1(4 2 ?nxyn 2)2( ?n ，展开即 xy4 1. 0?x ， 0?y ，且 1?yx ， xy 212 ?yx , 即 xy 41 ，故 xy4 1 成立，所以原不等式成立 . -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教 学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
