1、 - 1 - 二次函数及其图象 【课前热身】【课前热身】 1.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax 2bx.若此炮弹 在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（ ） A 第 8 秒 B 第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒 2.在平面直角坐标系中， 将二次函数 2 2xy 的图象向上平移 2 个单位， 所得图象的解析式 为（ ） A22 2 xy B22 2 xy C 2 )2(2xy D 2 )2(2xy 3.抛物线3)2( 2 xy的顶点坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3） 4
2、.二次函数 2 (1)2yx的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 2 3 5.抛物线 y=2x 24x5 经过平移得到 y=2x2，平移方法是（ ） A向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 B向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 C向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 D向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 【参考答案】【参考答案】 1.1. B B 2.2. B B 3.3. A A 4.4. A A 5.5. D D 【考点聚焦】【考点聚焦】 - 2 - 知识点知识点二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 大纲要求大纲要求 1 理解二次函数的概念； 2
3、会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会 用描点法画二次函数的图象； 3 会平移二次函数 yax 2(a0)的图象得到二次函数 ya(axm)2k 的图象， 了解 特殊与一般相互联系和转化的思想； 4 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5 利用二次函数的图象， 了解二次函数的增减性， 会求二次函数的图象与 x 轴的交点 坐标和函数的最大值、 最小值， 了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系. 【备考兵法】【备考兵法】 考查重点与常见题型考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量 的二次函数 y(m
4、2)x 2m2m2 额图象经过原点，则 m 的值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象，习题的特点是在同一直角 坐标系内考查两个函数的图象，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 ykx b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数 ykx 2bx1 的图象大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式， 有关习题出现的频率很高， 习题类型有中 档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴 - 3 - y x O 为 x5 3 ，求这条抛物线的解析式. 4
5、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、 对称轴、 二次函数的极值， 有关试题为解答题， 如：已知抛物线 yax 2bxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是3 2 （1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的 开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题. 抛物线的平移抛物线的平移 抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将 y=ax 2沿着 y 轴（上“” ，下“” ）平移 k （k0）个单位得到函数 y=ax 2k，将 y=ax2沿着 x 轴（右“” ，左“” ）平移 h（h0） 个单位得到 y=a（xh） 2在平移之前先将
6、函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿 y轴 平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减） ，若沿 x 轴平移则直接在含 x 的括号 内进行加减（右减左加） 【考点链接考点链接】 1. 二次函数 2 ()ya xhk的图象和性质 a0 a0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x 时， y 有最 值 当x ， y有最 值 增 减 性 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 - 4 - 2. 二次函数cbxaxy 2 用配方法可化成khxay 2 的形式，其中 h ， k . 3. 二次函数 2 ()ya
7、 xhk的图象和 2 axy 图象的关系. 4. 二次函数cbxaxy 2 中cba,的符号的确定. 【典例精析典例精析】 例例 1 1 已知： 二次函数为 y=x 2x+m， （1） 写出它的图象的开口方向， 对称轴及顶点坐标； （2） m 为何值时，顶点在 x 轴上方， （3）若抛物线与 y 轴交于 A，过 A 作 ABx 轴交抛物线于另 一点 B，当 SAOB=4 时，求此二次函数的解析式 【分析】 （1）用配方法可以达到目的； （2）顶点在 x 轴的上方，即顶点的纵坐标为正； （3）ABx 轴，A，B 两点的纵坐标是相等的，从而可求出 m 的值 【解答】 （1）由已知 y=x 2x+m
8、 中，二次项系数 a=10，开口向上， 又y=x 2x+m=x2x+（1 2 ） 2 1 4 +m=（x 1 2 ） 2+4 1 4 m 对称轴是直线 x= 1 2 ，顶点坐标为（ 1 2 ， 41 4 m ） （2）顶点在 x 轴上方， 顶点的纵坐标大于 0，即 41 4 m 0 m 1 4 m 1 4 时，顶点在 x 轴上方 （3）令 x=0，则 y=m 即抛物线y=x 2x+m 与 y 轴交点的坐标是 A（0，m） ABx 轴 B 点的纵坐标为 m 当 x 2x+m=m 时，解得 x 1=0，x2=1 A（0，m） ，B（1，m） - 5 - 在 RtBAO 中，AB=1，OA=m SA
9、OB = 1 2 OAAB=4 1 2 m1=4，m=8 故所求二次函数的解析式为 y=x 2x+8 或 y=x2x8 【点评】正确理解并掌握二次函数中常数 a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是 解答本题的关键之处 会用待定系数法求二次函数解析式会用待定系数法求二次函数解析式 例例 2 2( (湖北武汉湖北武汉) )如图，抛物线 2 4yaxbxa经过( 10)A ，、(0 4)C，两点，与x轴交于另 一点B （1）求抛物线的解析式； （2）已知点(1)D mm，在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且45DBP，求
10、点P的坐 标 【分析】 （1）中用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）中考查象限，点关于直线的对称点 求法； （3）中主要是做出正确的辅助线求解，进而求出点的坐标. 【答案】解： （1）抛物线 2 4yaxbxa经过( 10)A ，(0 4)C，两点， 40 44. aba a ， 解得 1 3. a b ， 抛物线的解析式为 2 34yxx y x O A B C - 6 - （2）点(1)D mm，在抛物线上， 2 134mmm ， 即 2 230mm，1m或3m 点D在第一象限，点D的坐标为(3 4)， 由（1）知45OAOBCBA， 设点D关于直线BC的对称点为点E (0 4)C，C
11、DAB，且3CD， 45ECBDCB， E点在y轴上，且3CECD 1OE，(01)E， 即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1） （3）方法一：作PFAB于F，DEBC于E 由（1）有：445OBOCOBC， 45DBPCBDPBA ， (0 4)(3 4)CD，CDOB且3CD y x O A B C D E y x O A B C D E P F - 7 - 45DCECBO， 3 2 2 DECE 4OBOC，4 2BC， 5 2 2 BEBCCE， 3 tantan 5 DE PBFCBD BE 设3PFt，则5BFt，54OFt， ( 54 3 )Ptt ， P点在抛物线上，
12、2 3( 54)3( 54)4ttt ， 0t （舍去）或 22 25 t ， 2 66 5 25 P ， 方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DHx轴于H过Q点 作QGDH于G 45PBDQDDB， QDGBDH90， 又90DQGQDG，DQGBDH QDGDBH，4QGDH，1DGBH 由（2）知(3 4)D ，( 13)Q ， (4 0)B，直线BP的解析式为 312 55 yx y x O A B C D P Q G H - 8 - 解方程组 2 34 312 55 yxx yx ， ， 得 1 1 4 0 x y ， ； 2 2 2 5 66 . 25 x y ，
13、点P的坐标为 2 66 5 25 ， 【迎考精【迎考精练练】 一、选择题一、选择题 1.( (上海市上海市) )抛物线 2 2()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（ ） A()mn， B()mn ， C()mn， D()mn， 2.( (陕西省陕西省) )根据下表中的二次函数cbxaxy 2 的自变量x与函数y的对应值，可判断二 次函数的图像与 x 轴 （ ） x 1 0 1 2 y 1 4 7 2 4 7 A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧 C有两个交点，且它们均在 y 轴同侧 D无交点 3.（湖北荆门）（湖北荆门）函数y=ax1 与y=ax 2bx1（a0）的图象可
14、能是（ ） 4.4.（广东广东深圳深圳）二次函数cbxaxy 2 的图象如图 2 所示，若点 A（1，y1） 、B（2，y2）是 它图象上的两点，则 y1与 y2的大小关系是（ ） A 21 yy B 21 yy C C 21 yy D不能确定 A B C D 1 1 1 1 xo yy o x y o x x o y - 9 - 5. （湖北湖北孝感）孝感） 将函数 2 yxx的图象向右平移a(0)a 个单位， 得到函数 2 32yxx 的图象，则a的值为 A1 B2 C3 D4 6.（天津市）（天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2yxx关于x轴作轴对称变换，再 将所得的抛物线关于
15、y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 （ ） A 2 2yxx B 2 2yxx C. 2 2yxx D 2 2yxx 7.（四川四川遂宁）遂宁）把二次函数 3 4 1 2 xxy 用配方法化成khxay 2 的形式 A. 22 4 1 2 xy B. 42 4 1 2 xy C. 42 4 1 2 xy D. 3 2 1 2 1 2 xy 8.8.( (河北河北) )某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数 2 1 20 yx （x0） ，若该车某次的刹车距离为 5 m，则开始刹车时的速度为（ ） A40 m/s B20 m/s C10 m/
16、s D5 m/s 二、填空题二、填空题 1.（北京市）（北京市）若把代数式 2 23xx化为 2 xmk的形式，其中,m k为常数， 则mk= . 2.（安徽）（安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（ 1 2 ， 1 4 ） ，且图象与x轴的另一交点到原 点的距离为 1，则该二次函数的解析式为 3.（湖南湖南郴州）郴州）抛物线 2 3(1)5yx= -+的顶点坐标为_ - 10 - 4.4.（内蒙古包头）（内蒙古包头）已知二次函数 2 yaxbxc的图象与x轴交于点( 2 0) ，、 1 (0)x，且 1 12x，与y轴的正半轴的交点在(0 2)，的下方下列结论：420abc； 0ab；20a
17、c ；210ab 其中正确结论的个数是 个 5.（湖北湖北襄樊）襄樊）抛物线 2 yxbxc 的图象如图所示， 则此抛物线的解析式为 6.（湖北荆门）（湖北荆门）函数(2)(3)yxx取得最大值时，x_ 三、三、解答题解答题 1.（湖南湖南衡阳）衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，2），求这个二 次函数的关系式 2.（湖南湖南株洲株洲）已知ABC为直角三角形，90ACB，ACBC,点A、C在x轴上， 点B坐标为（3，m） （0m） ，线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛 物线过点B、D （1）求点A的坐标（用m表示） ； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q
18、为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结 BQ并延长交AC于点F，试证明：()FC ACEC为定值 y x Q PF E D C B A O y x O 3 x=1 5 题 - 11 - 3.（湖南湖南常德常德）已知二次函数过点A （0，2） ，B（1，0） ，C（ 5 9 4 8 ，） （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M（1， 1 2 ）是否在直线AC上？ （3）过点M（1， 1 2 ）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C 三点） ，请自已给出E点的坐标，并证明BEF是直角三角形 4.4. ( (陕西省陕西省) ) 如图，在平面直角
19、坐标系中，OBOA，且 OB2OA，点 A 的坐标是 (1，2) （1）求点 B 的坐标； （2）求过点 A、O、B 的抛物线的表达式； （3）连接 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使得 SABPSABO 第 3 题 - 12 - 5.5.( (湖北湖北黄冈黄冈) )新星电子科技公司积极应对世界金融危机， 及时调整投资方向， 瞄准光伏产业， 建成了太阳能光伏电池生产线 由于新产品开发初期成本高， 且市场占有率不高等因素的影 响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（ 公司对经营 的盈亏情况每月最后一天结算 1 次）公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）
20、 之间的函数关系式 （即前x个月的利润总和y与x之间的关系） 对应的点都在如图所示的图 象上该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部 分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且 点A，B，C的横坐标分别为 4，10，12 （1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式； （2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写 出计算过程）； （3）前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 6.（内蒙古（内蒙古包头包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定
21、试销期间销售单价不低于 成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一 次函数，且时，；时， （1）求一次函数的表达式； - 13 - （2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价的范围 7.7.（福建福建漳州）漳州）如图 1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交 于点C，经过B、C两点的直线是，连结 （1）B、C两点坐标分别为B（_，_）、C（_，_），抛物线的函数关系式 为_； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若内部能
22、否截出面积最大的矩形（顶点在各 边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由 抛物线的顶点坐标是 - 14 - 【参考答案】【参考答案】 选择题选择题 1.1. B B 2.2. B B 3.3. C C 【解析】本题考查函数图象与性质，当0a 时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上， D 是错的，函数y=ax1 与y=ax 2bx1（a0）的图象必过（0，1） ，所以 C 是正确的， 故选 C 4.4. C C 5.5. B B 6.6. C C 7.7. D D 8.8. C C 填空题填空题 1. -3 2. 2 yxx， 2 11 33 yx 3. （1 1，5 5）
23、 4. 4 【解析】【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形 结合能力.根据题意画大致图象如图所示，由 2 yaxbxc与 X 轴的交点坐标为(-2,0) 得 2 220abc ，即 420abc 所以正确； 由图象开口向下知0a，由 2 yaxbxc与 X 轴的另一个交点坐标为 1,0 x且 1 12x，则该抛物线的对称轴为 1 21 222 xb x a 由 aa,所以结论 正确； 由一元二次方程根与系数的关系知 12 .2 c x x a ，结合 a0 得20ac ，所以结论正 确； - 15 - 由420abc 得2 2 c ab ， 而 0c2,
24、， 10 2 c -12a-b0, 所以结论正确. 点拨点拨： 420abc 是否成立，也就是判断当2x时， 2 yaxbxc的函数值 是否为 0；判断 2 yaxbxc中 a 符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上 a0,开 口向下 a0;判断 a、b 的小关系时，可利用对称轴 2 b x a 的值的情况来判断；判断 a、c 的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系 12 . c x x a 的值的范围来判断；2a-b+1 的 值情况可用420abc 来判断. 5. 2 23yxx 【解析】本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是1x ，且过点（3， 0） ，所以 1 2
25、 930 b bc ，解得 2 3 b c ，所以抛物线的解析式为 2 23yxx ， 故填 2 23yxx 6. 5 2 【解析】本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当x为 何值时二次函数取得最大值，下面用配方法， 2 2 549 (2)(3)56 24 yxxxxx ，所以当 5 2 x 时，函数(2)(3)yxx取 得最大值，故填 5 2 解答题解答题 1.1. 解：设这个二次函数的关系式为得： 解得： 这个二次函数的关系式是，即 2.2. （1）由(3,)Bm可知3OC ，BCm，又ABC为等腰直角三角形， ACBCm，3OAm，所以点A的坐标是（3,0m
26、）. （2）45ODAOAD 3ODOAm，则点D的坐标是（0,3m）. 又抛物线顶点为(1,0)P，且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为： 2 (1)ya x，得： - 16 - 2 2 (3 1) (0 1)3 am am 解得 1 4 a m 抛物线的解析式为 2 21yxx （3）过点Q作QMAC于点M，过点Q作QNBC于点N，设点Q的坐标是 2 ( ,21)x xx，则 2 (1)QMCNx，3MCQNx. /QMCE PQMPEC QMPM ECPC 即 2 (1)1 2 xx EC ， 得2(1 )ECx /QNFC BQNBFC QNBN FCBC 即 2 34(1) 4 x
27、x FC ，得 4 1 FC x 又4AC 444 ()42(1)(22)2(1)8 111 FC ACECxxx xxx 即()FC ACEC为定值 8. 3. （1）设二次函数的解析式为cbxaxy 2 （0a） ， 把 A （0，2） ，B（1，0） ，C（ 5 9 4 8 ，）代入得 2 0 9255 8164 c abc abc 解得 a=2 ， b=0 ， c=2， 2 22yx （2）设直线AC的解析式为(0)ykxb k ， 把A （0，2） ，C（ 5 9 4 8 ，）代入得 2 95 84 b kb ， 解得 5 2 2 kb ， ， 5 2 2 yx 当x=1 时， 51
28、 12 22 y M（1， 1 2 ）在直线AC上 （3）设E点坐标为（ 13 22 ， ） ，则直线EM的解析式为 45 36 yx 由 2 45 36 22 yx yx 化简得 2 47 20 36 xx ，即 17 ()(2)0 23 xx ， 第 3 题 - 17 - F点的坐标为（ 7 13 6 18 ，） 过E点作EHx轴于H，则H的坐标为（ 1 0 2 ，） 31 22 EHBH， 222 3110 ( )( ) 224 BE ， 类似地可得 222 13131690845 ()() 186324162 BF ， 222 401025001250 ()() 186324162 E
29、F ， 222 108451250 4162162 BEBFEF ，BEF是直角三角形 4. 解：（1）过点 A 作 AFx 轴，垂足为点 F，过点 B 作 BEx 轴，垂足为点 E， 则 AF2，OF1 OAOB， AOF+BOE90 又 BOE+OBE90， AOFOBE RtAFORtOEB 2 OA OB AF OE OF BE BE2，OE4 B(4，2) （2）设过点 A(1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax 2+bx+c . 0 , 2416 , 2 c cba cba 解之，得 . 0 , 2 3 , 2 1 c b a 所求抛物线的表达式为xxy 2 3 2
30、 1 2 （3）由题意，知 ABx轴 设抛物线上符合条件的点 P 到 AB 的距离为d， - 18 - 则 SABPAFABdAB 2 1 2 1 d2 点 P 的纵坐标只能是 0 或 4 令y0，得0 2 3 2 1 2 xx，解之，得x0，或x3 符合条件的点 P1(0，0)，P2(3，0) 令y4，得4 2 3 2 1 2 xx，解之，得 2 413 x 符合条件的点 P3( 2 413 ，4)，P4( 2 413 ，4) 综上，符合题意的点有四个： P1(0，0)，P2(3，0)，P3( 2 413 ，4)，P4( 2 413 ，4) （评卷时，无 P1(0，0)不扣分） 5.解：（1
31、）当时，线段OA 的函数关系式为; 当时， 由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，40），设其解析式为 在中，令 x=10，得；B（10，320） B（10，320）在该抛物线上 解得 当时，= 综上可知， (2) 当时, 当时, 当时, - 19 - (3) 10 月份该公司所获得的利润最多,最多利润是 110 万元. 6. 解：（1）根据题意得解得 所求一次函数的表达式为 （2） ， 抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， 而， 当时， 当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元 （3）由，得， 整理得，解得， 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间，而 ，所以，销售单价的范围是 7. （1）（4，0）， （2）是直角三角形 证明：令，则 解法一： - 20 - 是直角三角形 解法二： ， ， 即 是直角三角形 （3）能当矩形两个顶点在上时，如图 1，交于 ， 解法一：设，则， = 当时，最大 - 21 - ， ， 解法二：设，则 当时，最大 ， ， 当矩形一个顶点在上时，与重合，如图 2， ， - 22 - 解法一：设， = 当时，最大 ， 解法二：设， ， ， = 当时，最大， - 23 - 综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）； 当矩形一个顶点在上时，坐标为
