1、 - 1 - 平行四边形 课前热身课前热身 1.如图，在ABCD中，已知AD8 ， AB6 ， DE平分ADC交BC边于点E，则BE等 于（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 2.如图，ABCD中，AC BD为对角线，BC6，BC边上的高为 4， 则阴影部分的面积为 （ ） A3 B6 C12 D24 3.下列命题中错误的是（ ） A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是矩形 C一组邻边相等的平行四边形是菱形 D一组对边平行的四边形是梯形 4.如图，ABCD中，E、F分别为BC、AD边上的点，要使BFDE，需添加一个条 件： 【参考答案】【参考答案】 1.1
2、. A A 2.2. C C 3.3. D D 4.4. ;BEDFBFDEAFCEBFDBEDAFBADE或；等 A B C E D F A D C B 第 2 题图 A B C D E - 2 - 考点聚焦考点聚焦 1掌握平行四边形的概念和面积的求法 2探索并掌握四边形是平行四边形的条件及平行四边形的边、角、对角线的性质 3理解平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分 4会在平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题 备考兵法备考兵法 1本节内容在考试中，传统的几何证明题所占的比例很小，大多数试题以探索题和开 放题的形式出现，其中拼接、折叠、旋转、平移等几何
3、变换在试题中频繁出现，也有很多涉 及面积的试题，要引起重视 2在以平行四边形为载体为证明线段（或角）相等的问题中，通常证明这些线段（或 角）所在的四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质来证明，而不要仅仅停留在证三角 形全等上 在复习时， 应熟练掌握平行四边形的性质及判别方法， 注意图形变换的一些特征， 善于从折叠、旋转等几何变换中寻求已知条件 考点链接考点链接 1平行四边形的性质平行四边形的性质 （1）平行四边形对边_，对角_；角平分线_；邻角_. （2） 平行四边形两个邻角的平分线互相_， 两个对角的平分线互相_ （填 “平行” 或“垂直” ） （3）平行四边形的面积公式_. 2 2平行四
4、边形的判定平行四边形的判定 （1）定义法：_. （2）边：_或_ （3）角：_ （4）对角线：_ 典例精析典例精析 例例 1 1（湖北湖北襄樊）襄樊）如图，在ABCD中，AEBC于E，AEEBECa ，且a是 一元二次方程 2 230 xx的根，则ABCD的周长为（ ） A42 2 B126 2 C22 2 D22126 2或 - 3 - 【答案】A 【解析】本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，a 是一元二次方程 2 230 xx的根，1a ，AEEBEC1，AB2，BC2，ABCD的周 长为4 2 2 ，故选 A 例例 2 2 （四川达州四川达州）如图，一个四边形花坛 ABCD，被两
5、 条线段 MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四 种花卉，种植面积依次是 S1，S2，S3，S4，若 MNABDC， EFDACB，则有（ ） AS1=S4 BS1+S4=S2+S3 CS1S4=S2S3 D都不对 【答案】 C 【解析】 由于平行线间的距离处处相等，则红、黄、紫、白的面积比便等于高的比，此时 红、紫的高相等，黄、白的高相等 拓展变式拓展变式 若例 1 中，MN 与 EF 的交点在 AC 上，则 S1，S2，S3，S4，还有何更进一步的 关系？_ 答案 S1=S3 S2=S4 例例 3 3 如图，E，F是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE=AF请你猜想
6、：BE与 DF 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明 解析 猜想：BEDF，BE=DF 证法一：如图 1，四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD，1=2 又CE=AF， BCEDAF A D C E B - 4 - BE=DF，3=4， BEDF 证法二：如图 2，连结 BD，交 AC 于点 O，连结 DE，BF 四边形 ABCD 是平行四边形， BO=OD，AO=CO 又AF=CE， AE=CF， EO=FO， 四边形 BEDF 是平行四边形， BE/DF 点评点评 从近几年的中考试题来看， 平行四边形这一节不会出现很复杂的证明题， 试题主 要考查平行四边形的特征和识别，
7、也有很多地方涉及全等和相似的知识， 传统的计算和证明 所占的比例较小，大多数以探索和开放题的形式出现 迎考精迎考精练练 一、选择题一、选择题 1.（山东山东威海）威海）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长 线于F点，ABBF添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形你认为下面四个条 件中可选择的是（ ） AADBC BCDBF CAC DFCDE 2.（甘肃甘肃白银）白银）如图，四边形ABCD中，ABBC，ABCCDA90，BEAD于点E，且 四边形ABCD的面积为 8，则BE（ ） A2 B3 C2 2 D2 3 E B A F C D - 5 - 3.（
8、山东山东日照）日照）如图，在ABCD中，已知AD8 ， AB6 ， DE平分ADC交BC边于 点E，则BE等于（ ） A2cm B4cm C6cm D8cm 二、填空题二、填空题 1.（广西钦州）（广西钦州）如图，在ABCD中，A120，则D_ _. A B CD 2( (辽宁辽宁本溪本溪) )如图所示，在ABCD中，对角线ACBD、相交于点O，过点O的直线分 别交ADBC、于点MN、，若CON的面积为 2，DOM的面积为 4，则AOB的 面积为 3.（黑龙江黑龙江哈尔滨）哈尔滨）如图，在ABCD 中，BD 为对角线，E、F 分别是 ADBD 的中点，连接 EF若 EF3，则 CD 的长为 4
9、.（山西省）（山西省）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，ABD 的周长为 16cm，则DOE的周长是 cm A B C D E O - 6 - 5.（湖南湖南郴州）郴州）如图，在四边形ABCD中，已知ABCD=，再添加一个条件_ （写出一个即可） ，则四边形ABCD是平行四边形(图形中不再添加辅助线) 三、解答题三、解答题 1. ( (湖北湖北黄黄冈冈) )如图，在ABC中，ACB90，点E为AB中点，连结CE，过点E作 EDBC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AFCE求证：四边形ACEF是平行四边形 2.（湖南长沙）（湖南长沙）如图，EF、是平行四边形ABCD
10、对角线AC上两点，BEDF，求证： AFCE 3.（贵州黔东南州）（贵州黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条 D C B A 5 题 D C A B E F A C D B E O - 7 - 平行直线间的距离为h，正方形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形 ABCD 的面 积是 25. （1）连结 EF，证明ABE、FBE、EDF、CDF 的面积相等. （2）求 h 的值. 4.（新疆新疆）如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AFCE DFBE DFBE， 求证： （1）AFDCEB （2）四边形ABCD是平行四边形 5.
11、（广东广东广州）广州）如图，在 ABC 中，D、E、F 分别为边 AB、BC、CA 的中点. 证明：四边形 DECF 是平行四边形. 6 6. .( (浙江浙江温州温州) )在所给的 99 方格中，每个小正方形的边长都是 1按要求画平行四边形， 使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上 A B D E F C - 8 - (1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数； (2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数(注：图甲、图乙在答题纸上) 7.( (福建福建宁德宁德) )如图：点ADBE在同一直线上，ADBE，ACDF，ACDF，请从图中找 出一个与E相等的角，并加以证明 （不
12、再添加其他的字母与线段） 【参考答案】【参考答案】 选择题选择题 1.1. D D 2.2. C C 3.3. B B 填空题填空题 1. 60 2. 6 3. 6 因为 EF 是ABD 的中位线，则 AB6，又 ABCD，所以 CD6. 4. 8 5. 180 180 ABCDADBC AD BC = ? ? 或 或 或等 解答题解答题 A F E D C B - 9 - 1. 证明：点E为 RtABC的斜边中点， ECEAEB EACECA AFCE，CEEA AFAE， AFEAEF ACBEDB90 FDBC AEFEAC EACECAAFEAEF EAF180AFEAEF180EAC
13、ECAAEC AFCE 又AFCE 四边形ACEF是平行四边形. 2. 证明：平行四边形ABCD中，ADBC，ADBC， ACBCAD 又BEDF， BECDFA， BECDFA ， CEAF 3. 解：连结 EF l1l2l3l4，且四边形 ABCD 是正方形 BEFD，BFED 四边形 EBFD 为平行四边形 BEFD 又l1、l2、l3和l4之间的距离为 h SABE 2 1 BEh，SFBE 2 1 BEh，SEDF 2 1 FDh，SCDF 2 1 FDh SABE SFBE SEDF SCDF （2） - 10 - 过 A 点作 AHBE 于 H 点。 方法一：SABE SFBE
14、SEDF SCDF 又 正方形 ABCD 的面积是 25 4 25 ABE S，且 ABAD5 又l1l2l3l4 E、F 分别是 AD 与 BC 的中点 AE 2 1 AD 2 5 在 RtABE 中， BE 2 55 22 AEAB 又ABAEBEAH 5 5 2 5 2 5 5 BE AEAB AH 方法二：不妨设 BEFDx (x0) 则 SABE SFBE SEDF SCDF 2 xh 又正方形 ABCD 的面积是 25， SABE 4 25 2 1 xh，且 AB5 则 2 25 xh 又在 RtABE 中：AE 2222 5xABBE 又BAE90 o，AHBE RtABERtH
15、AE BE AE AB AH ，即 x xh 22 5 5 - 11 - 变形得：)5(25)( 222 xhx 把两边平方后代入得：)5(25 4 25 22 2 x 解方程得 2 55 x （ 2 55 x舍去） 把 2 55 x代入得：5h 4. 证明： （1）DFBE，DFEBEF 180AFDDFE，180CEBBEF， AFDCEB 又AFCEDFBE， AFDCEB(SAS) （2）由（1）知AFDCEB，DACBCA ADBC， ADBC 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 5.证明： D、E、F 分别为 ABBCCA 的中点， DFBC，DEAC， 四边形 DECF 是平行四边形. 6. 解： （1） （2） - 12 - 7. 解法 1：图中CBAE 证明：ADBE ADDBBEDB即ABDE ACDF AFDE 又ACDF ABCDEF CBAE 解法 2：图中FCBE 证明：ACDF，ACDF 四边形ADFC是平行四边形 CFAD，CFAD ADBE CFBE，CFBE 四边形BEFC是平行四边形 FCBE A F E D C B
