1、 - 1 - 全等三角形 课前热身课前热身 1.已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ） A.72 B.60 C.58 D.50 2.一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，则它的周长为（ ） A7 B9 C12 D9 或 12 3.如图，已知AB AD， 那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ABCADC 的是（ ） ACB CD B BACDAC C BCADCA D 90BD 4.如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AC、BD 交于点 O，则图中 全等三角形共有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【参考答案】【参考答案】 1. D 2. C 分析：等腰三角形有两种情况：
2、 （1）2、2、5； （2）5、5、2； （1）不满足三角形三 边关系，所以只有 5、5、2；周长=12 3. C 4. B 考点聚焦考点聚焦 知识点知识点 全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定 大纲要求大纲要求 1.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念； 2.理解全等三角形的概念和性质。 掌握全等三角形的判定公理及其推论， 并能应用他们进行 简单的证明和计算。 A BC D O A B C D - 2 - 3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析， 综合，转化等数学思想。 考查重点与常见题型考查重点与常见题型 论证三角形全等，
3、线段的倍分，常见的多为解答题 备考兵法备考兵法 1证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等”全等三角形是证 明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构 造全等三角形证明在选用 ASA 或 SAS 时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖 掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等） ，若题目中出现线段的和差问题，往 往选择截长或补短法 2本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，而是在运动变化中（如平移、 旋转、折叠等）寻求全等对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时 往往把需要证明的全等三角形置于其他图形
4、（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相 结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等 的条件 考点链接考点链接 1全等三角形:_、_的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_、_、_、_.直角三角形全等的判定 除以上的方法还有_. 3. 全等三角形的性质：全等三角形_，_. 4. 全等三角形的面积_、周长_、对应高、_、_相等. 典例精析典例精析 例例 1 1 （山西太原）（山西太原） 如图， ACBACB ， BCB=30， 则A C A 的度数为 A20 B30 C35 D40 【解析】本题考查全等三角形的性质， ACBACB ， AC
5、B=ACB， ACA = BCB=30，故选 B 【答案】B 例例 2 2（河南）（河南）如图所示，BACABD,ACBD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点. C A B B A - 3 - 试判断OE和AB的位置关系,并给出证明. 【分析】首先进行判断：OEAB，由已知条件不难证明BACABD，得OBAOAB再 利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。解决此类问题，要熟练掌握三角形 全等的判定、等腰三角形的性质等知识。 答案：OEAB 证明：在BAC和ABD中， AC=BD， BAC=ABD， AB=BA BACABD OBAOAB, OAOB 又AEBE, OEAB (注：若
6、开始未给出判断“OEAB” ，但证明过程正确，不扣分) 例例 3 3（山东临沂山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 90AEF ，且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 AMEECF ，所以AE EF 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外） 的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF”
7、仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？ 如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变， 结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正 确，请说明理由 - 4 - 【分析】构造全等三角形解题 解： （1）正确 证明：在AB上取一点M，使AM EC ，连接ME BMBE 45BME，135AME CF是外角平分线， 45DCF， 135ECF AMEECF 90AEBBAE，90AEBCEF， BAECEF AMEBCF （ASA） AEEF （2）正确 证明：在B
8、A的延长线上取一点N 使AN CE ，连接NE BNBE A D F C G E B N A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 - 5 - 45NPCE 四边形ABCD是正方形， ADBE DAEBEA NAECEF ANEECF （ASA） AEEF 迎考精炼迎考精炼 一、选择题一、选择题 1.（江苏省）（江苏省）如图，给出下列四组条件： AB DEBCEFACDF， ； AB DEBEBCEF ， ； BEBCEFCF ， ； AB DEACDFBE ， 其中，能使 ABCDEF 的条件共有（ ） A1 组 B2 组 C
9、3 组 D4 组 2.（黑龙江牡丹江）（黑龙江牡丹江）尺规作图作 AOB 的平分线方法如下：以O为 圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、 D为圆心， 以大于 1 2 CD长为半径画弧， 两弧交于点P， 作射线OP， 由作法得 OCPODP 的根据是（ ） ASAS BASA CAAS DSSS 3.（广西钦州）（广西钦州）如图，ACAD，BCBD，则有（ ） AAB 垂直平分 CD BCD 垂直平分 AB CAB 与 CD 互相垂直平分 DCD 平分ACB O D P C A B A B C D - 6 - 4. ( (甘肃定西甘肃定西) )如图，四边形 ABCD 中，A
10、B=BC，ABC=CDA=90， BEAD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE=（ ） A2 B3 C2 2 D2 3 二、填空题二、填空题 1. （ 广 东 清 远广 东 清 远 ） 如 图 ， 若 111 ABCABC ， 且 1 1 04 0AB ， 则 1 C = 2.（湖南邵阳湖南邵阳）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上的 任意一点，连结 AE CE、 请找出图中一对全等三角形为 _ 3.（湖南怀化湖南怀化）如图，已知 ADAB ， DACBAE ，要使 ABC ADE ，可补充的条件是 （写出一个即可） 4.（福建龙岩福建龙岩）如图，点 B、E、F、C 在同一
11、直线上 已知A =D，B =C，要使 ABFDCE，需要补充的一个条件是 （写出一个即可） 5.（四川遂宁四川遂宁）已知ABC 中，AB=BCAC，作与ABC 只有一条公共边，且与ABC 全等的 三角形，这样的三角形一共能作出 个. 三、解答题三、解答题 A B C C1 A1 B1 A B C D E A C E B D A B E F C D - 7 - 1.（四川宜宾四川宜宾）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB=CB,AD=CD. 求证：C=A. 2. ( (四川南充四川南充) )如图， ABCD 是正方形， 点 G 是 BC 上的任意一点，DE AG 于 E，BF DE ， 交
12、AG 于 F 求证：AF BFEF 3.（浙江丽水浙江丽水）已知命题：如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，且 AD=BE，A=FDE， 则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是 假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明. 4. ( (上海市上海市) )已知线段AC与BD相交于点O， 联结AB DC、 ，E为OB的中点，F为OC 的中点，联结EF（如图所示） （1）添加条件A=D， OEFOFE ，求证：AB=DC （2）分别将“ AD ”记为， “ OEFOFE ”记为， “AB DC ”记为， O D C A B E F F EA B
13、 C D D C B A E F G - 8 - 添加条件、，以为结论构成命题 1，添加条件、，以为结论构成命题 2命题 1 是 命题，命题 2 是 命题（选择“真”或“假”填入空格） 5.（吉林省）（吉林省）如图，,ABAC ADBCD于点 ，ADAEABDAE，平分交 DEF于点，请你写出图中三对 全等三角形，并选取其中一对加以证明 6.（湖南省娄底市）（湖南省娄底市）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线 上取一点E，连结BE，CE. （1）求证：ABEACE （2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是 菱形？并说明理由. 【参考答案】【参考答
14、案】 一、选择题一、选择题 1. C 2. D 3. A 4. C 二、填空题二、填空题 1.30 0 2. ABDCDB （或 ADECDE 或 ABECBE ） 3. AEAC （或填 EC 或 DB ） 4.AB = DC（填 AF=DE 或 BF=CE 或 BE=CF 也对） （第 5 题） B D C F A E - 9 - 5.7 三、解答题三、解答题 1.连接 BD.在ABD 和CBD 中， AB=CB,AD=CD，BD=BD， ABDCBD.C=A. 2.证明： ABCD是正方形， 90ADABBAD， DEAG ， 90DEGAED 90ADEDAE 又 90BAFDAEBA
15、D， ADEBAF BFDE ， AFBDEGAED 在 ABF 与 DAE 中， AFBAED ADEBAF ADAB ， (AAS)ABFDAE BFAE AFAEEF ， AFBFEF 3.解：是假命题. 以下任一方法均可： 添加条件：AC=DF. 证明：AD=BE, AD+BD=BE+BD，即 AB=DE. - 10 - 在ABC 和DEF 中, AB=DE， A=FDE， AC=DF， ABCDEF(SAS). 添加条件：CBA=E. 证明：AD=BE, AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在ABC 和DEF 中， A=FDE， AB=DE， CBA=E ， ABCDEF(AS
16、A). 添加条件：C=F. 证明：AD=BE, AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在ABC 和DEF 中， A=FDE， C=F ， AB=DE， ABCDEF(AAS) 4.（1） OEFOFE OE=OF E为OB的中点，F为OC的中点， OB=OC 又A=D，AOB=DOC， AOBDOC AB=DC - 11 - （2）真，假 5. 解 ：（ 1 ）ADBADC、ABDABE、AFDAFE、 BFDBFE、ABEACD（写出其中的三对即可） （2）以ADBADC为例证明 证明：,90ADBCADBADC . 在 RtADB和 RtADC中， RtADBRtADC. 6.（1）证明：AB=AC 点D为BC的中点 BAE=CAE AE=AE ABEACE（SAS） （2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=1 2 AE）时，四边形ABEC是菱形 理由如下： AE=2AD，AD=DE 又点D为BC中点，BD=CD 四边形ABEC为平行四形边 AB=AC 四边形ABEC为菱形 ,ABAC ADAD
