1、像长方形、正方形、三角形、圆形等图形上都有封闭线路像长方形、正方形、三角形、圆形等图形上都有封闭线路上几节课我们探索并认识了不封闭的线路上上几节课我们探索并认识了不封闭的线路上植树，间隔排列中物体个数和间隔植树，间隔排列中物体个数和间隔 个数之间个数之间的关系。这节课，我们在探讨封闭线路上间的关系。这节课，我们在探讨封闭线路上间隔排列中的简单规律。隔排列中的简单规律。点数是（），点数是（），间隔数是（）。间隔数是（）。点数是（），点数是（），间隔数是（）。间隔数是（）。点数是（），点数是（），间隔数是（）。间隔数是（）。点数是（），点数是（），间隔数是（）。间隔数是（）。446688点数是（点
2、数是（8 8），），间隔数是（间隔数是（8 8）。）。我们发现的规律：我们发现的规律：（封闭图形封闭图形）点数点数 =间隔数间隔数创设情境创设情境张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？这种环形植树问题，应该怎样求呢？交流探究交流探究张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？先画图试试看。假设周长是40m10m10m10m10m可以栽4棵树。周长是50m、60m、70m时你发现了什么？交流探究5055606670778088种树方案种树方案路长（米）路长（米）每两棵树间每两棵树间的距离（米）的距离
3、（米）间隔数间隔数种树棵树种树棵树规律规律圆周圆周种种 规律探究表规律探究表10522015 5 3 5 4 4 2 3棵数棵数=间隔数间隔数如果我把圆拉直成线段，你有什么发现？我们将封闭图形“化曲为直”后，发现封闭图形和在不封闭图形“一头种”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数等于间隔数。交流探究（封闭图形）（封闭图形）棵数和间隔数棵数和间隔数之间有什么关系？之间有什么关系？棵数棵数=张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m 栽一棵，一共要栽多少棵树？1201012（棵）答：一共要栽12棵树。交流探究1.“植树问题”有几种类型？每种类型中棵数和间隔数什么关系？2.
4、你能把这几种清况分分类吗？说说你是 怎样想的。棵数棵数间隔数间隔数160米棵数棵数间隔数间隔数35米两头种两头种棵数棵数间隔数间隔数1100米棵数间隔数交流探究1.圆形滑冰场的一周全长是圆形滑冰场的一周全长是150m。如果沿着这一圈每隔如果沿着这一圈每隔15m安装一灯，安装一灯，一共需要装几盏灯？一共需要装几盏灯？问题：问题：1.用你喜欢的方法，解决这个问题。用你喜欢的方法，解决这个问题。2.你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。3.还有不同的想法吗？还有不同的想法吗？1501510（盏）（盏）答：一共需要装答：一共需要装10盏灯。盏灯。3.生活中还有
5、哪些事情也属于这种情况，你能举几个例子吗？生活中还有哪些事情也属于这种情况，你能举几个例子吗？60512（颗）（颗）答：这条项链上共有答：这条项链上共有12颗水晶。颗水晶。2.一条项链长一条项链长60cm，每隔，每隔5cm有一颗水晶。有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？这条项链上共有多少颗水晶？问题：问题：1.用你喜欢的方法，解决这个问题。用你喜欢的方法，解决这个问题。2.你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。你读懂他想表达什么意思了吗？请你说一说。在一个周长在一个周长30米的圆形熊猫馆外种植米的圆形熊猫馆外种植一圈小树，每隔一圈小树，每隔5米种一棵小树，能种多米种一棵小树，能种多少棵？少
6、棵？30305=65=6（棵）（棵）答：能种答：能种6 6棵小树。棵小树。圆形体育馆的一周全长是圆形体育馆的一周全长是15001500米，米，如果沿着这一圈每隔如果沿着这一圈每隔1515米安装一盏灯，米安装一盏灯，一共需要装几盏灯？一共需要装几盏灯？150015=100（盏）（盏）个小朋友围成一圈做个小朋友围成一圈做游戏，每两个人之间的游戏，每两个人之间的距离是米，这一圈的距离是米，这一圈的长度是多少？长度是多少？圆形花坛的一周全长50米，如果沿着这一圈每隔2米摆放一盆花，一共需要多少盆花？1921727250225（盆）答：一共需要25盆花。典型题封闭112.一个圆形的跑道400米，如果每隔
7、10米竖一块警示牌，共需要多少块警示牌？13.一个圆形水池周围每隔20米栽一棵柳树，共栽了40棵，水池的周长是多少？40010=40（块）4020=800（米）答：共需要40块警示牌。答：水池的周长是800米。十九乘十九，黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。（打一棋类名称）谜底：围棋谜底：围棋 猜谜语导入同学们，你们有会下象棋的吗？估计有的同学会下，可是，你会下围棋吗？可能有些同学不但不会下，连围棋是什么都不知道！今天就请同学们和老师一起来下一盘特殊的围棋！左边就是围棋的棋盘。它是由横竖各19条线段相交而成的正方形。一个方阵的最外层每边站了一个方阵的最外层每边站了5人。人。55这个方阵的这个方
8、阵的最外层最外层一共站了多少人？一共站了多少人？学习要求：学习要求：在学具纸上圈一圈在学具纸上圈一圈，要，要求能让人一眼就看出你是求能让人一眼就看出你是怎么想的。怎么想的。把你的想法用算式表示把你的想法用算式表示出来。出来。把你的想法和同桌交流把你的想法和同桌交流交流。再想想看还有没有交流。再想想看还有没有不同的算法。不同的算法。一个方阵最外层每边站一个方阵最外层每边站5人。人。最外层一共站多少人？最外层一共站多少人？54 4=16（人）（人）34+4=16（人）（人）52+32=16(人人)44=16（人）（人）一个方阵最外层每边站一个方阵最外层每边站8人。人。最外层一共站多少人？最外层一共
9、站多少人？74=28最外层每边摆最外层每边摆3个，最外层个，最外层一共可以摆多一共可以摆多少个棋子？少个棋子？8个24=8（个）（个）344=8（个）（个）最外层每边摆4个，4角都摆，最外层一共可以摆多少个棋子？34=12（个）（个）41=3（个）（个）最外层每边摆5个，4角都摆，最外层一共可以摆多少个棋子？51=4（个）44=16（个）最外层每边摆6个，4角都摆，最外层一共可以摆多少个棋子？61=5（个）45=20（个）每边放的个数每边间隔数间隔数与个数关系边数最外层总数总数与间隔数、边数关系345619我发现的规律：探究23-1=248（31）4834-1=3412(4-1)4=12451
10、8最外层的总数最外层的总数=每边的间隔数每边的间隔数边数边数每边的间隔数=每边的个数-1416（5-1）4=1642019-1=18472（19-1）4=726-1=5（6-1）4=205-1=4（每边棋子数（每边棋子数1）边数边数最外层的总数最外层的总数每边的棋子数每边的棋子数-1每边的间隔数每边的间隔数每边的间隔数每边的间隔数边数边数最外层的总数最外层的总数我的发现棋盘的最外层每边能放19个棋子。最外层一共可以摆放多少棋子？最外层一共可以摆放多少棋子？18472你还有其它方法吗？试试看！你还有其它方法吗？试试看！1919171719217272 194-4=72 分析分析:每边看作每边看作
11、17个个,有有4边边,再加上四个角的再加上四个角的4个个.1744=684=72（个）（个）1944=764=72（个）（个）方法一：方法一：黑色棋子白色棋子黑色棋子白色棋子=可以摆的棋子可以摆的棋子192 172=3834=72（个）（个）方法二：方法二：每边的个数每边的个数4边边=可以摆放多少个可以摆放多少个18 4=72（个）（个）方法三：方法三：每边能放个数每边能放个数4重复的重复的4个个=可以摆放的棋子可以摆放的棋子方法四方法四:分析分析:每边看作每边看作17个个,有有4边边,再加上四个角的再加上四个角的4个个.1744=684=72（个）（个）一个四边形，每个顶点都摆一个，1.如果
12、最外层每边能放100个，最外层一共可以摆放多少个棋子？2.如果最外层每边能放200个，最外层一共可以摆放多少个棋子？3.如果一个五边形，怎么算？一个三角形呢？我会运用规律我会运用规律（100-1）4=396（200-1）4=796 拓展思维如果是一个三角形，或者是如果是一个三角形，或者是五边形，你会怎么算？五边形，你会怎么算？下列空心队列，每边站下列空心队列，每边站6人，各顶点都人，各顶点都只站一人。一圈最少需要站多少人？只站一人。一圈最少需要站多少人？（61）3=15（61）10=50（61）6=30典型题封闭214.在一个正方形的池塘四边上种树，每边种10棵，四边共种多少棵？（101）4=
13、36（棵）答：四边共种36棵树。或：104436（棵）典型题封闭2 15.在一个正六边形的池塘周围种树，每边种10棵，共种多少棵？（101）6=54（棵）答：四边共种54棵树。或：106654（课）1、在一块正方形水泥地上玩游戏，水泥地四边插上彩旗、在一块正方形水泥地上玩游戏，水泥地四边插上彩旗（每个角都要插上），每边插（每个角都要插上），每边插11面，一共要多少面彩旗？面，一共要多少面彩旗？分析：分析：每边插每边插11面相当于有面相当于有11棵树，也就有棵树，也就有10个间隔，个间隔，封闭线路上有几个间隔就有几棵树。封闭线路上有几个间隔就有几棵树。所以：所以：104=40（面）（面）间隔数间
14、隔数4=棵数棵数间隔数间隔数4=面数面数1144=444=40（面）（面）11292=2218=40（面）（面）或：每边看作或：每边看作11面，有面，有4面重复面重复两边有两边有11面，两边有面，两边有9面面四边看作四边看作9面，再加上四个角的面，再加上四个角的4面面944=364=40（面）（面）为迎接六一，学校举行团体操为迎接六一，学校举行团体操表演。四年级学生排成方阵，最外表演。四年级学生排成方阵，最外层每边站层每边站9 9个人，最外层一共有多个人，最外层一共有多少名学生？少名学生？整个方阵一共有多少名学生？整个方阵一共有多少名学生？你来解决典型题方阵16.学校图书馆前摆了一个学校图书馆
15、前摆了一个方阵方阵花坛，花坛，这个花坛的最外层每边各摆放这个花坛的最外层每边各摆放12盆盆花，最外层摆了多少盆花？这个花花，最外层摆了多少盆花？这个花坛一共要多少盆花？坛一共要多少盆花？求最外层棵数等同于求封闭棵数棵数每边间隔数边数：（121）4棵数每边棵数边数边数：124 4求一共棵数每边棵数每边棵数：1212（1）15114（个）（个）14456（名）（名）（2）1515=225（名）（名）答：最外层一共有答：最外层一共有56名学生，整个方阵一共有名学生，整个方阵一共有225名学生。名学生。844=324=28（盆）（盆）（81）4=74=28（盆）（盆）（82）44=644=244=28
16、（盆）（盆）答答:最外一层一共摆最外一层一共摆28盆盆.沿正方形的池塘边植树，沿正方形的池塘边植树，要求每边都植要求每边都植4 4棵，一共棵，一共需要多少棵树苗？需要多少棵树苗？44=16（4-1）4=1242+32=14社区有一块正五边形水池，每社区有一块正五边形水池，每边都摆边都摆5 5盆花，五个角各摆一盆花，五个角各摆一盆，一共需要多少盆花？盆，一共需要多少盆花？只摆一个顶点只摆一个顶点方法三方法三：44+3=19（盆）（盆）五个顶点处要摆五个顶点处要摆方法二方法二：53=15（盆）（盆）五个顶点不摆五个顶点不摆方法一方法一：54=20（盆）（盆）最少需要最少需要15盆花盆花在正八边形在
17、正八边形花坛的每边花坛的每边摆摆3 3盆花。盆花。花坛一圈一花坛一圈一共可以摆多共可以摆多少盆花？少盆花？3 38=248=24（盆）（盆）？3 38-8=168-8=16（盆）（盆）（3-13-1）8=168=16（盆）（盆）答答:每边各有每边各有13名学生。名学生。方法方法：（484）4+2=13（名）（名）方法方法：484+1=13（名）（名）1212名学生在操场上名学生在操场上做游戏，大家围成一个做游戏，大家围成一个大正方形，每边人数相大正方形，每边人数相等。四个顶点都有人，等。四个顶点都有人，每边各有几名学生？每边各有几名学生？请你参加1、左下图四边共放、左下图四边共放16盆花，每边
18、盆花，每边5盆，使每边放盆，使每边放4盆，盆，应该怎样移动？请画在右下图中（一个圆点表示一盆花）应该怎样移动？请画在右下图中（一个圆点表示一盆花）我会思考：我会思考：四四班同学准备开联欢会。大家围坐在一起，如果每边班同学准备开联欢会。大家围坐在一起，如果每边做做14人，（如下图），这个班一共有多少个同学？每边人，（如下图），这个班一共有多少个同学？每边都有都有8张课桌，一共要多少张课桌？张课桌，一共要多少张课桌？两张并起来坐两张并起来坐,就坐就坐1个个6人人,1个个4人人.三张并起来坐三张并起来坐,就坐就坐1个个6人人,2个个4人人.642=68=14（人）（人）64=10（人）（人）10张并
19、起来坐张并起来坐,就是坐就是坐1个个6人人,9个个4人人.649=636=42（人）（人）或者是坐或者是坐10个个4,再加上再加上24102=402=42（人）（人）方法一:38人减去2人,每张坐4人.（382）4=364=9（张）方法二:一张坐6人,其他坐4人（386）41坐4人的张数1张坐6人=3241=81=9（张）50（502）4=484=12（张）（506）41=4441=12（张）请你欣赏学校为了改变校园环境，想在全校范围内征集校园花坛学校为了改变校园环境，想在全校范围内征集校园花坛设计方案。有以下三种，请每组同学选择一种你最喜欢设计方案。有以下三种，请每组同学选择一种你最喜欢的图
20、形，算一算如果每边放三盆花，一共可以摆放多少的图形，算一算如果每边放三盆花，一共可以摆放多少盆花？再动手画一画，展示在黑板上，看哪一组做得又盆花？再动手画一画，展示在黑板上，看哪一组做得又好又快！好又快！3214（封闭图形封闭图形）棵数棵数=间隔数间隔数总长总长=间隔数间隔数间距间距植树问题通常有两种情况：植树问题通常有两种情况：.路线是不封闭的：路线是不封闭的：（）两端都种树：间隔数棵数（）两端都种树：间隔数棵数（）一端种一端不种：间隔数棵数（）一端种一端不种：间隔数棵数（）两端都不种：间隔数棵数（）两端都不种：间隔数棵数段段段段段段段段段段段段段段段段段段.路线是封闭的：段数棵数路线是封闭的：段数棵数其他的相关等式如下：其他的相关等式如下：段数总线长段数总线长树距树距总线长树距总线长树距段数段数树距总线长树距总线长段数段数71写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
