1、 1 山东省青岛市黄岛区 2016-2017学年高二数学 3 月月考试题 满分 150分，考试时间 120 分钟 第卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.由 “ 1223? ， 2435? ， 2547? ”得出：“ 若 0ab?且 0m? ，则 b b ma a m? ? ”这个 推导过程使用的方法是 A 数学归纳法 B 演绎推理 C 类比推理 D 归纳推理 2. 用数学归纳法证明：“ 221 11 ( 1 )1 nn xx x x xx? ? ? ? ? ? ?”，在验证 1n? 时，左端的项为 A.
2、231 x x x? ? ? B. 21 xx? C.1x? D.1 3.下列求导运算正确的是 A. 211( ) 1x xx? ? ?B 2(log )x? 2ln1x C (3)x? = 33logx e D 2( cos )xx? = 2 sinxx? 4.函数 ()fx与 ()gx是定义在 R 上的可导函数，若 ()fx、 ()gx满足 ( ) ( )f x g x? ，则 A. ( ) ( )f x g x? B. ( ) ( )f x g x? 为常数函数 C. ( ) ( ) 0f x g x? D. ( ) ( )f x g x? 为常数函数 5.设 28 lny x x?，
3、则此函数在区间 1(0, )4 和 1( ,1)2 内分别为 A.单调递增，单调递减 B.单调递增，单调递增 C.单调递减，单调递增 D.单调递减，单调递减 6. 若 1 2 1 2 1 2,z z C z z z z? ? ? ?是 A纯虚数 B实数 C虚数 D以上都有可能 2 7. 已知函数 () xf x e? ， 则 42 ()f xdx?A. 422ee? B. 42ee? C. 422ee? D. 422ee? 8.设 a 为正实数， i 为虚数单位， 2aii? ?，则 a 的值为 A 2 B 3 C 2 D 1 9.对于 R 上可导的任意函数 ()fx，若满足 ( 1) ( )
4、 0x f x?，则必有 A (0) (2) 2 (1)f f f? B. (0) (2) 2 (1)f f f? C. (0) (2) 2 (1)f f f? D. (0) (2) 2 (1)f f f? 10.已知函数 321() 3f x x ax bx? ? ?在 1x? 时取得极大值 53 ，则 ab? A. 15? B. 15 C. 3? D. 3 11.观察下列事实： 1xy?的不同整数解 (, )xy 的个数为 4 ， 2xy?的不同整数解 (, )xy 的个数为 8 ， 3xy?的不同整数解 (, )xy 的个数为 12， ，则 100xy? 的不同整数 解 (, )xy 的
5、个数为 A.400 B.420 C.440 D.480 12.设 函数 ()fx在 R 上可导，其导函数为 ()fx? ，函数 )()1( xfxy ? 的图象如图所示，则 下列结论中一定成立的是 A.函 数 ()fx有极大值 (2)f 和极小值 (1)f B.函数 ()fx有极大值 ( 2)f ? 和极小值 (1)f C.函数 ()fx有极大值 (2)f 和极小值 ( 2)f ? D.函数 ()fx有极大值 ( 2)f ? 和极小值 (2)f 二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分 . x y 2? 1 2 O 3 13.用反证法证明“如果 ab? ，那么 33ab? ”
6、，则假设的内容应是 _. 14.已知 函数 sin() sin cosxfx xx? ? ，则 ()2f ? ? _. 15.复数 3 2 3 22 3 2 3ii? . 16. 已知等差数列 na 中，有 1 1 1 2 2 0 1 2 3 01 0 3 0a a a a a a? ? ? ? ? ?成立 .类似地，在等比 数列 nb 中，有 成立 . 三、解答题：本大题共 6个小 题，共 74分。请把解答题答在答题纸限定的区域内，解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12分）请按要求完成下列两题 . （）求由直线 3x ? ， 3x ? ， 0y? 与曲线 cosy
7、x? 所围 成的封闭图形的面积 . （）求由直线 4yx?，曲线 2yx? 及 x 轴 所围成的封闭图形的面积 . 18 （本题满分 12分） 请按要求完成下列两题 （）已知 a 、 b 、 c 都为正实数， x 、 y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项，且 2acxy?， 求证： a 、 b 、 c 成等比数列 . （）数列 na 中， 1 1a? ， nS 表示前 n 项和，且 nS ， 1nS? ， 12S 成等差数列 . （ ） 计算 1 2 3,S S S 的值； （ ） 根据以上计 算结果猜测 nS 的表达 式，并用数学归纳法证明你的猜想 . 19（本 题满分 12
8、分） 某电视生产企业有 ,AB两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业 投放 ,AB两种型号电视机的价值分别为 ,ab万元，则农民购买电视机获得的补贴分别 为 1 , ln( 1)10 a m b? 万元 ( 0m? 且为常数 ).已知该企业投放总价值为 10万元的 ,AB两种型号 4 的电视机，且 ,AB两种型号的投放金额都不低于 1万元 . （）以投放 B型号电视机金额 为 自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数， 并求其定义域； （） 求当投放 B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？ 20（本小题 满分 12 分）已知函数 32( ) 4 5f x x ax
9、bx? ? ? ?. （）若函数 ()fx不存在极值点，求 a ， b 的关系式； （）已知函数 ()fx在 32x? 与 1x? 时有极值 . 若函数 ()fx在 (0, )m 上不是单调函数，求实数 m 的取值范围； 当 2,2x? 时，求函数 ()fx的最值 . 21.(本小题满分 12分）已知函数 2( ) l n (1 ) ( 0 )2kf x x x x k? ? ? ? ?. （）当 0k? 时，求曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （）当 1k? 时，求函数 ()fx的单调区间； （）当 0k? 时，若 1x? ，证明： 1ln( 1) 1 1x x
10、? ? ? ? 22（本小题满分 10分）已知 Rm? ，复数 2(1 ) ( 8 5 ) 1 5 1 4z i m i m i? ? ? ? ? ?. （）若复数 z 为纯虚数，求实数 m 的值； （）若在复平面内复数 z 表示的点在第四象限，求实数 m 的范围 . 5 高二数学 2017.3.23 一 、选择题： DBBBC BABCD AD 二、填空题： 13. 33ab? 14. 1 15. 2i 16. 1 0 3 01 1 1 2 1 3 2 0 1 2 3 3 0. .b b b b b b b b? 17.解 （） 3- 33c o s sin3xdx x? ? ? 3分 s
11、in s in ( ) 333? ? ? ? 5分 （） 由 42yxyx?得 ， 24xx?， 即 22 ( 4)xx? ， 得 4x? ， 2x? （ 舍 ） 所以两曲线的交点坐标为 (8,4) ，直线 4yx?与 x 轴的交点为 (4,0) ? 7分 所以 48042 2 ( 4 ) S x d x x x? ? ? ?， 33 2224 8 82 2 2 2 1 ( 4 )0 4 43 3 2x x x? ? ? ? 10 分 403? ? 12 分 18.解 （） 由已知得 2abx ? ， 2bcy ? ? 1分 因为 2acxy?，所以 222aca b b c?，化简得 ( )
12、 ( ) ( ) ( )a b c c a b a b b c? ? ? ? ? ?， 则 2b ac? ，所以 a 、 b 、 c 成等比数列 . ? 4分 （） （ 1） 111Sa?， 由已知有 2 1 122S S S?， 得2 32S?,又 3 2 122S S S?， 得3 74S? 6分 （ 2）由以上结果猜测：1212nn nS ? ? 7分 用数学归纳法证明如下： （）当 1n? 时 ，11 112112S ?，猜想成立 ? 8分（）假设当 nk? 时猜想成立，则有1212kk kS ? 当 1nk?时，因为 1122kkS S S? ? 6 所以 11 112 1 2 12
13、222kkkS? ? ? ?所以 11 ( 1) 1212kk kS? ? 所以 1nk?时猜想成立所以对任意正整数 n ，猜想都成立 ? 12分19（本题 13分） 解： （） 设投放 B 型电视机的金额为 x 万元，则投放 A 型电视机的金额为 (10 )x?万元， 所以 19x? 2 分总补贴 1( ) ( 1 0 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) 11 0 1 0xf x x m x m x? ? ? ? ? ? ? ? 4分（） 1 (1 0 1 ) ()1 1 0 1 0 ( 1 )m x mfx xx? ? ? ? ?令 0y? ，得 10 1xm? 7分若 10 1
14、1m? 即 10 5m?，则 ()fx在 1,9 为减函数，当 1x? 时， ()fx有最大值； 若 1 10 1 9m? ? ? 即 1 15 m?，则 ()fx在 1,10 1)m? 是增函数，在 (10 1,9m? 是减函数， 当 10 1xm?时， ()fx有最大值； 若 10 1 9m? 即 1m? ，则 ()fx在 1,9 是增函数，当 9x? 时， ()fx有最大值 . 因此，当 10 5m?时，投放 B 型电视机 1万元，农民得到的总补贴最大 . 当 1 15 m?时，投放 B 型电视机 10 1m? 万元，农民得到的总补贴最大； 当 1m? 时，投放 B 型电视机 9 万元，
15、农民得到的总补贴最大 . ? 12 分20.解 （）由已知2( ) 1 2 2f x x ax b? ? ? ? 2分 因为 函数 ()fx不存在极值点，所以 2( ) 1 2 2 0f x x ax b? ? ? ? ?无解 则 24 48 0ab? ? ? ?，所以 2 12ab? ? 4分 （） 2( ) 1 2 2f x x ax b? ? ? ?，所以 39( ) 1 2 3 024f a b? ? ? ? ? ? 且 ( 1) 1 2 2 0f a b? ? ? ? ? ?，解得 3, 18ab? ? ? 6分 所以 2( ) 1 2 6 1 8 6 ( 2 3 ) ( 1 )f
16、x x x x x? ? ? ? ? ? ? 7 ( , 1)? 3( 1, )2? 3( , )2? ()fx? + - + ()fx 增 减 增 所以 ()fx在 ( , 1)? 和 3( , )2? 上增，在 3( 1, )2? 上减 ? 8分 若函数 ()fx在 (0, )m 上不是单调函数，则 32m? ? 9分 由知， 则当 31,2x? 时取极大、极小值 因为 32( ) 4 3 1 8 5f x x x x? ? ? ?，所以 3 6 1( 1 ) 1 6 , ( ) , ( 2 ) 3 , ( 2 ) 1 124f f f f? ? ? ? ? ? ? ? 所以 函数 ()f
17、x的最大、最小值分别为 6116, 4? ? 12 分 21.解 （）当 0k? 时， ( ) ln(1 )f x x x? ? ?，则 (1) ln2 1f ? 所以 1( ) 11fx x? ? ，则 1(1) 2f? ? ? 2分 所以 (1) (1)( 1)y f f x? ? ?，即 2 2 ln 2 1 0xy? ? ? ? 4分 （） 由已知 1x? ， 1( ) 11f x kxx? ? ? ? ，即 ( 1)( ) 1x kx kfx x? ?， 当 0k? 时， 1( ) 111xfx xx? ? ? ? ?，因为 1x? 所以在 ( 1,0)? 上增，在 (0, )? 上减? 5分 当 01k?时，由 ( 1)( ) 01x kx kfx x? ，得 1 0x? ，2 1 0kx k?所以在 ( 1,0)? 和 1( , )kk? ? 上 ( ) 0fx? ；在 1(0, )kk? 上 ( ) 0fx? 故 ()fx在 ( 1,0)? 和 1( , )kk? ? 单调递增，在 1(0, )kk? 单调递减? 7分 当 1k? 时， ( 1)( ) 01x kx kfx x? ，得1 1 ( 1, 0)kx k? ? ?， 2 0x? . 所以在 1( 1, )kk? 和 (0, )? 上 ( ) 0fx? ；在 1( ,0)kk? 上 ( ) 0
