1、 - 1 - 2017-2018 学年度下学期高二期 初考 试 高二 数学（理科 ） 第 卷（共 60 分） 一 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1） 若集合 A=x|x2+5x+4 0，集合 B=x|x 2，则 A （ ?RB）等于（ ） A（ 2， 1） B 2， 4） C 2， 1） D ? （ 2） 抛物线 22xy ? 的焦点坐标是 A. 10,4? B. 10,8? C. 10,8?D. 10,4?（ 3） 已知向量 )21,8( xa? ， )1,(xb? ， 0?x ，若 ba 2? 与
2、ba?2 共线，则 x 的值为（ ） A.4 B.8 C.0 D.2 （ 4） 已知平面 平面 =m ，直线 l? ，则 “l m” 是 “l ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 （ 5） 已知函数 )1,0(2)3(lo g)( ? aaxxg a 的图象经过定点 M ，若幂函数 ?xxf ?)( 的图象过点 M ，则 ? 的值等于 A. 1? B.21 C. 2 D. 3 （ 6） 几何体的三视图如图，则该几何体的体积是 A 34? B 322 ? C 35? D 324 ? （ 7） 设数列 ?na 的前 n 项和 12?nSn , ? 1
3、531 aaa ? A. 124 B. 120 C. 128 D. 121 （ 8） 双曲线 )0,(12222 ? babyax 离心率为 3 ，左右焦点分别为 PFF , 21 为双曲线右支上一点， 21PFF? 的平分线为 l ，点 1F 关于 l 的对称点为 Q , 22 ?QF ，则双曲线方程为（ ） A. 12 22 ?yx B. 1322 ? yx C. 1222 ? yx D. 13 22 ?yx （ 9） 已知 3tan2 4? ， (0, )4? ，则 2sin cos2sin( )4?的值为（） A.9520 B. 253 C. 103D. 1010 （ 10） 在 AB
4、C? 中， 4?B ， BC 边上的高等于 13BC,则 cosA= （ ） A. 10103 B. 1010 C. 1010?D. 10103? （ 11） 已知在矩形 ABCD 中， 7,5 ? BCAB ，在其中任取一点 P ，满 足 90APB ?的概率为 （ ） A 556?B 556 C 12 D不确定 - 2 - （ 12） 设椭圆 )0(12222 ? babyax 与直线 xy? 相交于 ， 两点，若在椭圆上存在点 ，使得直线 ， 斜率之积为 94? ，则椭圆离心率为（ ） A 32 B 35 C 36 D 322 二 填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
5、 （ 13） 函数 )2,0,0)(s in ()( ? ? AxAxf 的部分图象如图所示，则将 )(xf 的图象向右平移 6? 个单位后，得到的图象对应的函数解析式 为 _ _. （ 14） 已知 0,0 ? ba ，并且 ba 1,21,1 成等差数列，则 ba 9? 的最小值为 _ _. （ 15） 已知三棱锥 ABCD? 中， 1?BCAB ， 2?AD ， 5?BD ， 2?AC ， ADBC? ，则三棱锥的外接球的表面积为 _ （ 16） 函数 ，且 ， ，则 ba baz 32 ? 的取值范围是 _ 三 解答题 （本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤 .） （ 17） （本小题满分 10 分） 已知函数 ? ? ? ? 13 s i n c o s . c o s 2f x x x x? ? ? ? ?（其中 0? ），若 ?fx的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 4? （ I）求 ? ?y f x? 的单调递增区间； （ II）在 ABC? 中角 A、 B、 C的对边分别是 a b c、 、 满足 ? ? ? ?2 c o s c o sb a C c A f B? ? ? ， 且恰是 ?fx的最大值，试判断 ABC? 的形状 . （ 18） （本小题满分 12 分） 某高中 有高一新生 500 名，分成水平相同的 BA, 两类
7、教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从 BA, 两类学生中分别抽取了 40人， 60 人进行测试 （ 1）求该学校高一新生 BA, 两类学生各多少人？ （ 2）经过测试，得到以下三个数据图表： 图 1： 75分以上 BA, 两类参加测试学生成绩的茎叶图 图 2： 100名测试学生成绩的频率分布直方图 - 3 - 下图表格： 100名学生成绩分布表： 先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图 2）补充完整； 该学校拟定从参加考试的 79分以上（含 79分）的 类学生中随机抽取 2人代表学校参 加市比赛，求抽到的 2人分数都在 80 分以上的概率 （ 19） （本小题满分 1
8、2 分） 已知数列 ?na 的各项均为正数的等比数列，且 32,2 4321 ? aaaa （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设数列 ?nb 满足 3121. 11 3 5 2 1n nbbbb an ? ? ? ? ? ?（ n N*），求设数列 ?nb 的前 n 项和nT . （ 20） （本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，正方形 ABEF 所在的平面与正三角形 ABC 所在的平面互相垂直，BECD/ ，且 CDBE 2? ， M 是 ED 的中点 （ 1）求证： AD 平面 BFM ； （ 2）求二面角 FBME ? 的余弦值 - 4 - （ 21） （本小题满分
9、 12 分） 已知圆 C 的圆心在坐标原点，且与直线 022:1 ? yxl 相切 . （ 1）求直 线 0534:2 ? yxl 被圆 C所截得的弦 AB 的长； （ 2）过点 )3,1(G 作两条与圆 C 相切的直线，切点分别为 NM, ，求直线 MN 的方程； （ 3）若与直线 1l 垂直的直线 l 不过点 )1,1( ?R ，且 与圆 C交于不同的两点 QP, .若 PRQ? 为钝角，求直线 l 的 纵截距的取值范围 （ 22）（本小题满分 12 分）已知抛物线 C： 2 2 ( 0)y px p?的焦点为 F，直线 4y? 与 y轴的交点为 P，与 C的交点为 Q，且 54QF PQ
10、? . （ 1）求 C的方程； （ 2）过 F的直线 l 与 C 相交于 A， B两点，若 AB 的垂直平分线 l? 与 C相较于 M， N两点，且 A，M， B， N四点在同一圆上，求 l 的方程 . - 5 - 答案 选择题： 1C 2B 3A 4B 5B 6C 7D 8C 9A 10C 11A 12B 填空题： 13 )62sin( ? xy 14 16 15 16 解答题： 17解： () 因为221 3 1( ) 3 s i n c o s c o s s i n 2 ( 2 c o s 1 )2 2 2f x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?31s in
11、 2 c o s 2 s in ( 2 )2 2 6x x x ? ? ? ? ? ? ()fx的对称轴离最近的对称中心的距离为 4? 所以 T ? ，所以 22? ? ，所以 1? ( ) sin(2 )6f x x ? 3分 解 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ? ?得： 63k x k? ? ? ? ? 所以函数 ()fx单调增区间为 , ( )63k k k Z? ? ? ? 5分 () 因为 (2 ) cos cosb a C c A? ? ?，由正弦定理， 得 ( 2 s in s in ) c o s s in c o sB A C C A? ? ? 2 s
12、 i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n ( )B C A C C A A C? ? ? ? 因为 s in ( ) s in ( ) s in 0A C B B? ? ? ? ? 2 sin cos sinB C B? ，所以 sin (2 cos 1) 0BC? 所以 1cos 2C? 0 C ?，所以 3C ? ? 8分 所以 20 3B ? 402 3B ? 726 6 6B? ? ? ? ? ? 根据正弦函数的图象可以看出， ()fB无最小值 ,有最大值 max 1y ? ， 此时 2 62B ? ，即 3B? , 所以 3A? 所以 ABC?
13、 为 等 边 三 角形 ? 10 分 18 解：（ 1）由题意知 A类学生有 （人）则 B类学生有 500 200=300（人） . ?2分 （ 2） 表一 - 6 - ?5 分 图二 组号 分组 频数 频率 1 5 0.05 2 20 0.20 3 25 0.25 4 35 0.35 5 10 0.10 6 5 0.05 合计 100 1.00 ?8 分 79 分以上的 B类学生共 4人，记 80 分以上的三人分别是 ， 79 分的学生为 . 从中抽取 2人，有（ 12）、（ 13）、（ 1a） 、（ 23）、（ 2a）、（ 3a）共 6种抽法； 抽出 2人均在 80 分以上有：（ 12）、
14、（ 13）、（ 23）共 3种抽法 则抽到 2人均在 80分以上的概率为 ?12 分 19（ 1）设等比数列 ?na 的公比为 q ，由已知得?32252121qaqa 2分 又 0,01 ? qa ，解得? ?211qa 3分 12nna -= ； 5分 （ 2）由题意可得 121231 21 ? nnnbbb ? )2(123231 1121 ? ? nnbbb nn? 相减得 1212 ? nnnb ， 12)12( ? nn nb ，（ 2?n ） 7分 当 1?n 时， 11?b ，符合上式， 12)12( ? nn nb 8分 - 7 - 设 121 2)12(25231 ? nn
15、 nT ? 则 nnn nnT 2)12(2)32(2523212 132 ? ?， 两式相减得： nnn nT 2)12()222(21 12 ? ? ( )2 3 2 3nnTn= - + 12分 20 证明：（ 1）连接 AE交 BF 于点 N，连接 MN 因为 ABEF是正方形，所以 N是 AE的中点， 又 M是 ED的中点，所以 MNAD 因为 AD?平面 BFM， MN? 平面 BFM， 所以 AD 平面 BFM ?6 分 （ 2）因为 ABEF是正方形，所以 BEAB ， 因为平面 ABEF 平面 ABC，平面 ABEF 平面 ABC=AB， 所以 BE 平面 ABC，因为 CD
16、BE ，所以取 BC的中点 O， 连接 OM，则 OM 平面 ABC，因为 ABC 是正三角形，所以 OABC ， 所以以 O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系： 设 CD=1，则 B（ 0， 1， 0）， E（ 0， 1， 2）， D（ 0， 1， 1）， ， 设平面 BMF的一个法向量为 ， 则 ，所以 ， 令 ，则 z= 6， y= 9，所以 又因为 是平面 BME的法向量， 所以 所以二面角 E BM F的余弦值为 ?12 分 21 试题解析：（ 1）由题意得：圆心 )0,0( 到直线 022:1 ? yxl 的距离为圆的半径22 2200 ?r ， 所以圆 C 的标准方程为： 4
17、22 ?yx 所以圆心到直线 2l 的距离 d=1 ? 222 2 1 2 3AB ? ? ?4 分 （ 2）因为点 )3,1(G ,所以 1031 22 ?OG , 622 ? OMOGGM 所以以 G 点为圆心，线段 GM 长为半径的圆 G 方程： 6)3()1( 22 ? yx （ 1） 又圆 C 方程为： 422 ?yx （ 2 ）， 由 )2()1( ? 得直线 MN 方 程 ：043 ? yx ? ?8 分 （ 3）设直线 l 的方程为： bxy ? 联立 422 ?yx 得： 0422 22 ? bbxx ， - 8 - 设直线 l 与圆的交点 ),(),( 2211 yxQyxP ， 由 0)4(8)2( 22 ? bb ，得 82?b ， 2 4,22121 ? bxxbxx （ 3） 因为 PRQ? 为钝角，所以 0RP RQ?, 即满足 1 2 1 2( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 ) 0x x y y? ? ? ? ? ?，且 RP 与 RQ 不是反向共线， 又 bxybxy ? 2211 , ， 所以 21 2 1 2 1 2 1
