1、 一次函数与一元一次不等式一次函数与一元一次不等式 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次不等式要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为axb0 或axb0 或axb0 或 axb0（a、b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数 yaxb的值大于 0（或小于 0 或大于等于 0 或小于等于 0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：要点诠释：求关于x的一元一次不等式axb0（a0）的解集，从“数”的角度看， 就是x为何值时，函数yaxb的值大于 0？从“形”的角度看，确定直线yaxb在x轴 （即直线y0）上方部分的所有点的
2、横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解 集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系要点三、如何确定两个不等式的大小关系 ax bcxd （ac，且0ac ）的解集 yaxb 的函数值大于ycxd的函 数值时的自变量x取值范围直线yaxb在直线ycxd的上方对应的点的横坐标范 围 【典型例题】【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次不等式类型一、一次函数与一元一次不等式 例 1、如图，直线ykxb交坐标轴于 A（
3、3，0） 、B（0，5）两点，则不等式kxb0 的解集为（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O 【答案】【答案】A； 【解析】【解析】观察图象可知，当x3 时，直线ykxb落在x轴的上方， 即不等式kx b0 的解集为x3， kxb0 kx b0， kxb0 解集为x3 举一反三：举一反三： 【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为 A（2， 0） 和 B （0， 3） ， 则不等式30 的解集是 （ ） A0 B0 C2 D2 【答案】【答案】A； 提示：从图象上知，直线的函数值y随的增大而增大，与y轴的交点为 B（0，3） ，即当0 时
4、，y3，所以当0 时，函数值3 例 2、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x的不等式的解为（ ） A B C D无法确定 【答案】【答案】B； ykxb kxb xxxx ykxbx xxkxb bxkyl 11: xkyl 22: xkbxk 21 1x1x2x 举一反三：举一反三： 【变式】 直线 1 l： 1 yk xb与直线 2 l： 2 yk xc在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 则关于x的不等式 1 k xb 2 k xc的解集为（ ） Ax1 Bx1 Cx2 Dx2 【答案】【答案】B； 提示： 1 yk xb与直线 2 l： 2 yk xc在同一平面
5、直角坐标系中的交点是 （1， 2） ， 根据图象得到x1 时不等式 1 k xb 2 k xc成立 例 3、画出函数21yx的图象，并利用图象求： (1)方程 2x10 的解； (2)不等式 2x10 的解集； (3)当y3 时，x的取值范围； (4)当3y3 时，x的取值范围 【答案与解析】【答案与解析】 解：列表： 0 x 1 2 1 0 在坐标系内描点(0，1)和，并过这两点画直线，即得函数21yx的图象如 图所示 (1)由图象可知：直线21yx与 x 轴交点， 方程 210 的解为； (2)由图象可知：直线21yx被轴在点分成两部分，在点右侧， 图象在轴的上方故不等式 210 的解集为
6、； (3)过点(0，3)作平行于轴的直线交直线21yx于点 M，过 M 点作轴的垂线，垂足 为 N则 N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值3，则当 3 时，自变量的取值范围是1； (4)过(0，3)作轴的平行线交直线21yx于点 P，过 P 作轴的垂线，垂足为 H， 则点 H 的坐标为(2，0)观察图象，在(2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值 33 当33 时，自变量的取值范围是21 y 1 ,0 2 1 ,0 2 x 1 2 x x 1 ,0 2 1 ,0 2 xx 1 2 x xx y yxx xx yyx 举一反三：举一反三： 【变式】如图，直线 是
7、一次函数ykxb的图象，点 A、B 在直线 上根据图象回答下列 问题： （1）写出方程kx b0 的解； （2）写出不等式kx b1 的解集； （3）若直线 上的点 P（a，b）在线段 AB 上移动，则a、b应如 何取值 【答案】【答案】 解：函数与x轴的交点 A 坐标为（2，0） ，与y轴的交点的坐标为（0，1） ，且y随x的增大 而增大 （1）函数经过点（2，0） ，则方程kx b0 的根是x2； （2）函数经过点（0，1） ，因而x0 时，有kx b1， 即不等式kx b1 的解集是x0； （3）线段 AB 的自变量的取值范围是：2x2， 因而2a2， 函数值y的范围是 0y2 因而 0
8、b2 类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题 例 4、 （1）如图，是函数ykxb的图象，它与x轴的交点坐标是（3，0） ，则方程kx b 0 的解是_；不等式kx b0 的解集是_. （2）如图：OC，AB 分别表示甲、乙两人在一次赛跑中各自的路程 S（米）和时间 t（秒）的 函数图象，根据图象写出一个正确的结论_. ll l 【答案】【答案】 （1）； （2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x9 秒时，两个人跑的路程相 等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快 【解析】【解析】 （1）从图象上得到函数的增减性
9、及与x轴的交点的横坐标，即能求得方程kx b0 的解和不 等式kx b0 的解集 （2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x9 秒时，两个人跑的路程相 等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快 例5、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与 轴交于点（2，0），则关于的不等式0的解集为（ ） A1 B1 C1 D1 【答案】【答案】A； 【解析】【解析】一次函数的图象过第一、二、四象限，0，0， 把（2，0）代入解析式得：02， 解得：2，0， ， 3x3x yaxbx x1a xb xxxx yaxbba yaxbab b a 1a xb 1a xb 1， 1
10、。 例 6、函数与（）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在轴 上，那么使，的值都大于零的的取值范围是_ 【答案答案】12； 【解析】【解析】由，可知与轴的交点坐标为（1，0） ，使，的值都大于零的图象 在轴的上方，这部分图象的自变量的取值范围是12. 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，函数和的图象相交于（1，1） ， （2，2）两点当 12 yy 时，x的取值范围是（ ） A1 B12 C2 D 1 或2 y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O b a y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O 1 1yx 2 yaxb0ay 1 y 2 yx y=k2x -1 -
11、2 y x y=k1x+b O 1 1yx 1 yx 1 y 2 y xx xy 1 3 4 3 1 2 xy y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O （1，1） （2，2） x y O 【答案】【答案】D； 提示：反映在图象上，是的图象在的上方，这部分图象自变量的取值 范围有两部分，是1 或2. 例 7、作出函数24yx的图象，并根据图象回答下列问题： （1）当2x4 时，求
12、函数y的取值范围； （2）当x取什么值时，y0，y0，y0； （3）当x取何值时，4y2 【答案与解析】【答案与解析】 解：当x0 时，y4， 当y0 时，x2，即24yx过点（0，4）和点（2，0） ，过这两点作直线即为 24yx的图象，从图象得出函数值随x的增大而增大； （1）当x2 时，y8，当x4，y4，当2x4 时，函数y的取值范围 为：8y4； （2）由于当y0 时，x2，当x2 时，y0，当x2 时，y0，当x2 时， y0； （3）当y4 时，x0；当y2 时，x3，当x的取值范围为：0 x3 时， 有4y2 21 yy 1 y 2 y y=k2x -1 -2 y x y=k1
13、x+b O y=k2x -1 -2 y x y=k1x+b O 例 8、某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴 15 元月租费，然 后通话每分钟再付话费 0.3 元，乙种使用者不缴月租费，通话每分钟付费 0.6 元，若 一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种业务的费用分别为 1 y和 2 y元 (1)试分别写出 1 y、 2 y与x之间的函数关系式； (2)画出 1 y、 2 y的图象； (3)利用图象回答，根据一个月的通话时间，你认为选哪种通信业务更优惠? 【答案与解析】【答案与解析】 解：(1)根据题意可得： 1 0.315yx(x0)， 2 0.6yx(x0) (2)利用两点可画 1 0.315yx(x0)和 2 0.6yx(x0)的图象，如下图所示 (3)由图象可知：两个函数的图象交于点(50，30)，这表示当x50 时，两个函数的值都 等于 30因此一个月内，通话时间为 50 分钟选哪一种通话业务都行，因为付费都是 30 元， 当一个月内通话时间低于 50 分钟时， 选乙种业务更优惠， 当一个月内通话时间大于 50 分钟时， 选甲种业务更优惠
