1、7.1.1数系的扩充和复数的概念(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第七章)一、教学目标1. 了解引入复数的必要性；2. 理解复数的有关概念； 3. 掌握复数集与其他数集（实数集等）之间的集合关系； 4. 了解从实数系扩充到复数系的过程，培养类比、转化、特殊到一般等思想方法，提升数学抽象、逻辑推理素养. 二、教学重难点1. 教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念. 2. 教学难点：复数概念引入的必要性,复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.三、教学过程1.情境导入【数学活动】回顾数的发展过程结论：数的发展与生产生活、方程求解密切相关. 【设计意图】通过回顾数的发展过程
2、，使学生体会到现实生产生活对数学发展的推动作用，体会方程与数的发展的联系，激发学生对数系扩充的兴趣. 2. 探究交流问题1：能否求出方程x2+2x+2=0的解？【预设答案】方程判别式小于0，没有实数解. 追问1：我们知道，像x2 +1=0 这些方程在实数集中是无解的，那能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程有解？ 【预设答案】为了让x2=-1有解，引入一个“新数i”，使得i2=-1,如此一来，x=i就是方程x2+1=0的解. 【设计意图】让学生类比从自然数集到实数集的扩充过程，自然地引导学生从解方程的角度出发探究数系的扩充，使“新数i”的添加变得水到
3、渠成,积累研究数学问题的经验. 【数学史介绍】（1）在1777年，欧拉在微分公式一文中首创了用“imaginary”（想象的、假想的）的首字母i作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2=-1. （2）莱昂哈德欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，有一个以他名字命名的公式被誉为“上帝创造的公式”，那就是欧拉恒等式：. 物理世界发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为“史上最伟大的公式”. 物理大师费曼也盛赞这个公式为“数学最非凡的公式”. 【设计意图】介绍与虚数单位i有关的历史，强化学生对i的认识. 问题2：添加“新数”后，原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数
4、集中仍然成立，那么，把“新数i”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？ 追问2：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？ 【预设答案】a+bi(a,bR)【设计意图】引导学生根据运算法则和运算律，抽象出复数的代数形式，培养学生数学抽象和逻辑推理等核心素养. 3. 构建数学 教师讲授：(1)复数的定义形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i2 =-1 . (2)复数集全体复数所构成的集合Cabi|a，bR叫做复数集 (3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部问题3：复数z=a+bi（a，bR）是实数的充要
5、条件是什么？z=a+bi=0的充要条件是什么？【预设答案】b=0；a=0,b=0. 教师讲授：(4)复数相等的充要条件 规定：在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，abi与cdi相等当且仅当a=c且b=d复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小. 【设计意图】由特殊到一般，帮助学生理解复数相等的含义. 问题4：进一步地，你能对复数z=a+bi（a,bR）进行分类吗？【预设答案】【设计意图】通过对复数进行分类，深化学生对于复数的认识. 问题5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集N，Z，Q，R，C之间
6、的关系？【设计意图】通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构. 4. 应用拓展问题6：当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 【预设答案】（1）m=1;（2）m1；（3）m=-1. 问题7：已知(x-y)+(y-2)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x，y的值.【预设答案】x=12，y=-3【设计意图】根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理，设置问题，帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解，强化对复数相等含义的理解，起到及时反馈的作用. 5. 课堂总结问题8：本节课学了哪些知识和思想方法？【设计意图】通过对本节课涉及的知识和思想方法的总结，使学生进一步熟悉复数的概念以及相关知识，深化对新知的理解，体会其中蕴含的数学思想方法和核心素养. 四、 课外作业教科书7.1.1的练习第1，2，3题.
