1、(第一课时)(第一课时)3.3.13.3.1抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 如果动点 到定点 的距离与 到定直线(不过点 )的距离之比为 当 时,点 的轨迹为椭圆;当 时,点 的轨迹为双曲线;当 时,即动点 到定点 的距离与它到定直线 的距离相等时,点 的轨迹会是什么形状?探究1 如图,是定点,是不经过点 的定直线,是直线 上任意一点,过点 作 ,线段 的垂直平分线 交 于点 .拖动点 ,点 随之运动,它的轨迹是什么形状?你能发现点 满足的几何条件吗?抛物线的定义:我们把平面内与一个定点 和一条定直线(不经过点 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 叫做抛物线的焦点,直线 叫做抛物线的准
2、线.思考1 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可能使所求抛物线的方程形式简单?思考1 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可能使所求抛物线的方程形式简单?解析:根据抛物线的几何特征,如图,我们取经过点 且垂直于直线 的直线为 轴,垂足为 并使原点与线段 的中点重合,建立平面直角坐标系 设 那么焦点 的坐标为 准线 的方程为 思考1 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可能使所求抛物线的方程形式简单?解析:设 是抛物线上任意一点,点 到准线 的距离为 由抛物线的定义,抛物线是点的集合因为 所以将上式两边平方,得化简,得 思考1
3、比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你认为如何建立坐标系,可能使所求抛物线的方程形式简单?解析:从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标 都是方程的解,以方程的解为坐标的点 与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的距离相等,即以方程的解为坐标的点都在抛物线上.我们把方程叫做抛物线的标准方程.它表示:焦点在 轴的正半轴上,焦点是 ,准线是 的抛物线.探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式?图图1图图2 探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式
4、?设点 ,将其绕原点逆时针旋转至点 ,设 ,则点 的坐标为 ,故则点 的坐标为 .于是,设 是图2中抛物线上一点,则将其绕原点顺时针旋转,得到点 ,则 ,因为其满足方程 ,故得图2中抛物线的方程为 .探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式?探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式?探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式?思考2 你能说明二次函数 的图象为什么是
5、抛物线吗?指出它的焦点坐标、准线方程.它的焦点坐标为 ,准线方程为 .解析:因为 所以二次函数 的右边配方,可以变形为 .将其沿向量 平移,可得到平移后的函数解析式为 ,即 .故可得其图象是抛物线.当 时,表示开口向上的抛物线;当 时,表示开口向下的抛物线.例1 (1)已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程;(2)已知抛物线的焦点是 求它的标准方程.解:(1)因为 抛物线的焦点在 轴正半轴上,所以它的焦点坐标是 准线方程是 (2)因为抛物线的焦点在 轴负半轴上,且 所以抛物线的标准方程是 例2 (1)抛物线 上一点 与焦点的距离是 则点 到准线的距离是 ,点 的横坐标是 ;(2)抛物
6、线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .例2 (1)抛物线 上一点 与焦点的距离是 则点 到准线的距离是 ,点 的横坐标是 ;解:(1)不妨设点 在第一象限,过点 作准线的垂线,交 轴于点 交准线于点 根据抛物线的定义,点 到焦点的距离与到准线的距离相等,即 所以点 到准线的距离为 由上可知,又因为 所以 设与焦点的距离等于9的点为 则由(1)可知,将 代入抛物线方程可得 所以 于是点 的坐标为 或 例2 (1)抛物线 上一点 与焦点的距离是 则点 到准线的距离是 ,点 的横坐标是 ;(2)抛物线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .解:(2)因为 抛物线的焦点在 轴正半轴上,所以它的焦点坐标
7、是 ,准线方程是 设 是抛物线上一点,点 是抛物线的焦点,则有:例3 一种卫星接收天线如下图左所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,如下图(1),已知接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为1 m.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.解:如图(2),在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,焦点在 轴上.例3 一种卫星接收天线如下图左所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,如下图(1),已知接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为1 m.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.设抛物线的标准方程是 由已知条件得,点 的坐标是 代入方程,得 即所以,所求抛物线的标准方程是 焦点坐标是小结 我们把平面内与一个定点 和一条定直线(不经过点 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 叫做抛物线的焦点,直线 叫做抛物线的准线.课后作业:教科书第138页习题3.3第1、2(1)题.