1、（第一课时）（第一课时）3.3.13.3.1抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 如果动点 到定点 的距离与 到定直线（不过点 ）的距离之比为 当 时，点 的轨迹为椭圆；当 时，点 的轨迹为双曲线；当 时，即动点 到定点 的距离与它到定直线 的距离相等时，点 的轨迹会是什么形状？探究1 如图，是定点，是不经过点 的定直线，是直线 上任意一点，过点 作 ，线段 的垂直平分线 交 于点 .拖动点 ，点 随之运动，它的轨迹是什么形状？你能发现点 满足的几何条件吗？抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 和一条定直线（不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准
2、线.思考1 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？思考1 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？解析：根据抛物线的几何特征，如图，我们取经过点 且垂直于直线 的直线为 轴，垂足为 并使原点与线段 的中点重合，建立平面直角坐标系 设 那么焦点 的坐标为 准线 的方程为 思考1 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？解析：设 是抛物线上任意一点，点 到准线 的距离为 由抛物线的定义，抛物线是点的集合因为 所以将上式两边平方，得化简，得 思考1
3、比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？解析：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标 都是方程的解，以方程的解为坐标的点 与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上.我们把方程叫做抛物线的标准方程.它表示：焦点在 轴的正半轴上，焦点是 ，准线是 的抛物线.探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？图图1图图2 探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式
4、？设点 ,将其绕原点逆时针旋转至点 ，设 ，则点 的坐标为 ，故则点 的坐标为 .于是，设 是图2中抛物线上一点，则将其绕原点顺时针旋转，得到点 ，则 ，因为其满足方程 ，故得图2中抛物线的方程为 .探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？探究2 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？思考2 你能说明二次函数 的图象为什么是
5、抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.它的焦点坐标为 ,准线方程为 .解析：因为 所以二次函数 的右边配方,可以变形为 .将其沿向量 平移，可得到平移后的函数解析式为 ，即 .故可得其图象是抛物线.当 时，表示开口向上的抛物线；当 时，表示开口向下的抛物线.例1 （1）已知抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点是 求它的标准方程.解：（1）因为 抛物线的焦点在 轴正半轴上，所以它的焦点坐标是 准线方程是 （2）因为抛物线的焦点在 轴负半轴上，且 所以抛物线的标准方程是 例2 （1）抛物线 上一点 与焦点的距离是 则点 到准线的距离是 ，点 的横坐标是 ；（2）抛物
6、线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .例2 （1）抛物线 上一点 与焦点的距离是 则点 到准线的距离是 ，点 的横坐标是 ；解：（1）不妨设点 在第一象限，过点 作准线的垂线，交 轴于点 交准线于点 根据抛物线的定义，点 到焦点的距离与到准线的距离相等，即 所以点 到准线的距离为 由上可知，又因为 所以 设与焦点的距离等于9的点为 则由（1）可知，将 代入抛物线方程可得 所以 于是点 的坐标为 或 例2 （1）抛物线 上一点 与焦点的距离是 则点 到准线的距离是 ，点 的横坐标是 ；（2）抛物线 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .解：（2）因为 抛物线的焦点在 轴正半轴上，所以它的焦点坐标
7、是 ，准线方程是 设 是抛物线上一点，点 是抛物线的焦点，则有：例3 一种卫星接收天线如下图左所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如下图（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.解：如图（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在 轴上.例3 一种卫星接收天线如下图左所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如下图（1），已知接收天线的口径（直径）为4.8 m，深度为1 m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.设抛物线的标准方程是 由已知条件得，点 的坐标是 代入方程，得 即所以，所求抛物线的标准方程是 焦点坐标是小结 我们把平面内与一个定点 和一条定直线（不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线.课后作业：教科书第138页习题3.3第1、2（1）题.
