新人教A版高中数学选择性必修三《6.3.2二项式系数的性质》教案及课件.zip

6.3.2 二项式系数的性质一、内容与内容解析一、内容与内容解析1.内容：二项式系数性质的研究，包括对称性，增减性与最大值，以及利用赋值法求二项式系数的和.2.内容解析：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，这一性质可以借助组合数运算帮助理解，即mn mnnCC，复习巩固组合数运算的过程，也加深了二项式定理与组合知识之间的联系，明确了组合运算通常是具有现实意义的，体现了数学的实际价值.也可以从函数()rnf rC这个角度进行研究，直线2nr 将函数的图象分成对称的两部分，类比于数列作为特殊的函数的研究方式，重温函数研究性质的过程，体会化归思想.（2）增减性与最大值：从组合运算的角度来看，由于11kknnnkCCk，所以当11nkk，即12nk时，knC随k的增加而增大；再结合对称性可以知道当12nk时，knC随k的增加而减小.除此之外还可以结合()rnf rC这个函数来研究增减变化特征以及何时可以取得最值，数形结合，并且让学生体会用函数来研究二项式系数性质的好处，积累研究的经验，并在此处还需学生注意观察，分类讨论，最大值的情况需把n分奇偶，再进行判断.（3）利用赋值法求二项式系数的和：这是解决组合数运算的过程中很重要的一种方法，在()nab的展开式中，,a b既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的，我们可以根据具体问题的需要灵活选择。3.教学重点：二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）二、目标与目标解析二、目标与目标解析1.目标：（1）借助二项式系数表和函数()rnf rC来探寻二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.（2）会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.2.目标解析：达成上述目标的标志是：（1）分析得到二项式系数的性质：1.对称性；2.增减性与最大值；（2）能够运用组合的意义和函数性质来解释二项式系数的对称性和增减性及最大值；（3）利用赋值法求二项展开式各类系数的和.三、教学问题诊断解析三、教学问题诊断解析1.问题诊断（1）通过二项式系数的表格，让学生从特殊到一般，归纳总结得到二项式系数的对称性，并能够用组合的知识来解释对称性.（2）从函数()rnf rC入手，当6,7,8n 时，让学生观察函数图象的变化情况，因为这里不同于以外常见的二次函数，是不连续的点构成的函数图象，可以类比数列，分析对称性和单调性，并对n以奇偶数进行分类讨论，何时才能取得最大值，是否有不同.（3）体会赋值法求和的好处，对二项展开式中各类系数可以借助赋值实现巧妙的求和.2.教学难点从组合数和函数两个角度分析探索二项式系数的性质.四、教学支持条件分析四、教学支持条件分析让学生学会探索二项式系数的方法是本节课的重点，所以需要借助 ppt、ggb、几何画板等软件，展示二项式系数表和函数图象，便于学生能更直观的感受，分析，提炼出二项式系数的性质.五、教学过程设计1.复习回顾，新课导入1.复习回顾，新课导入复习二项式定理：011(=)nnnnnC aCbabakn kknC abnnnC b，*nN.其中()nab的展开式的二项式系数012CCCCCknnnnnnLL，有很多有趣的性质.2.合作探究，观察分析2.合作探究，观察分析探究二项式系数的关系，学生分享问题 1 问题 1 填写表格观察二项式系数的变化，是否能发现什么规律？生：通过填写观察()nab的展开式的二项式系数表格可以发现，每一行的系数具有对称性.问题 2 问题 2 对于()nab的展开式的二项式系数012CCCCCknnnnnnLL，我们还可以从函数的角度分析它们，Cnr可以看成是以r为自变量的函数()f r，其定义域是0 1 2nL，.对于确定的n，我们还可以画出它的图象.能否画出6n 时，函数()Cnrf r(0 1r，2 3 4 5 6)，的图象？追问 1：观察函数6()Crf r(0 1r，2 3 4 5 6)，图象，当6n 时，你发现二项式系数什么规律？追问 2：能否画出7,8,9n 时函数()Cnrf r 的图象，比较它们的异同，你又发现了什么规律？3.性质归纳，学生分享3.性质归纳，学生分享学生分析性质，说明理由.1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由CCmn mnn得到.追问 1：你能用组合的意义来解释一下这个“组合等式”吗？追问 2：是否能从函数的角度来说明二项式系数具有对称性呢？直线2nr 将函数()Crnf r 的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.2.增减性与最大值：因为1(1)(2)(1)1CC(1)!kknnn nnknknkkkkL，即1C1Cknknnkk，所以，当11nkk时，即12nk时，Ckn随k的增加而增大；由对称性知，当12nk时，Ckn随k的增加而减小.当n是偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值；当n是奇数时，中间的两项12Cnn和12Cnn相等，且同时取得最大值.3.各项式系数的和：已知0122(1)CCCCnnnnnnnxxxxL，令1x，得0122CCCCnnnnnnL.这就是说，()nab的展开式的各二项式系数的和等于2n.4.例题分析，学以致用4.例题分析，学以致用例 1 求证：在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.教师分析：奇数项的二项式系数的和为024CCCnnnL，偶数项的二项式系数的和为135CCCnnnL.由于011222()CCCCnnnnnnnnnnabaababbL中的a b，可以取任意实数，因此我们可以通过对a b，适当赋值来得到上述两个系数和.证明：在展开式011222()CCCCnnnnnnnnnnabaababbL中，令1a，1b ，则得012(1 1)CCC(1)C(1)Cnkknnnnnnn LL.即 250413CCCCCC0nnnnnnLL.因此024135CCCCCCnnnnnnLL，即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.课堂训练 1课堂训练 11.填空题（1）135111111CCC1111=C ；（2）01201211111nnnnnnnnnnCCCCCCCC .课堂训练 2 课堂训练 2 2.在10(23)xy展开式中求（1）二项式系数的最大值；（2）二项式系数的和；（3）各项系数的和；（4）奇数项的系数和.（1）二项式系数最大值为510C，（2）二项式系数的和为102，（3）100101911010(23)(2)(2)(3)xyCxCxy101010(3)Cy，所以各项系数的和需借助赋值法，令1x，1y，则各项系数和为10(23)=1.（4）10010191282101010(23)(2)(2)(3)(2)(3)xyCxCxyCxy101010(3)Cy，令1x，1y，100101911010(23)(2)(2)(3)CC101010(3)=1C，得式令1x，1y ，100101911010(2+3)(2)(2)(3)CC10101010(3)5C，得式.所以奇数项的系数和为0102821010(2)(2)(3)CC1010101015(3)=2C.6.3.26.3.2二项式系数的性质二项式系数的性质二项式定理:二项式系数:通 项:一、温故知新1.计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表:通过计算填表,你发现了什么?n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 61 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二、探究新知1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 上表写成如下形式:1 7 21 35 35 21 7 1 (a+b)n 展开式的二项式系数依次是：从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：例如：当n=6时,其图象是7个孤立点f（r）r63O615201102.二项式系数的性质1).对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等这一性质可直接由公式 得到3.二项式系数的性质1).对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等图象的对称轴：3.二项式系数的性质f（r）r63O615201102).增减性与最大值 3.二项式系数的性质可知，当 时，2).增减性与最大值 所以 相对于 的增减情况由 决定 由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值3.二项式系数的性质因为f（r）rnOOnf（r）n为奇数n为偶数当n是偶数时，中间的一项 取得最大值.当n是奇数时，中间的两项 和 相等,且同时取得最大值3).各二项式系数的和 3.二项式系数的性质1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)n2481632643).各二项式系数的和 3.二项式系数的性质赋值法例3.证明:在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.在展开式证明:得即：赋值法中三、应用新知=2n-1即：结合二项式系数和为2n课堂训练1课堂训练21.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好;2.注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项;3.理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.四、总结