1、6.3.1 二项式定理一、学习目标1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；2.会应用二项式定理求解二项展开式；3.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力；4.感受二项式定理体现出的数学的内在和谐、对称美，了解相关数学史内容.二、重点与难点重点： 应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式三、学习过程引例1、复习回顾（1） 复述组合的概念： （2） 组合数公式： 引例2、新知铺垫：序号为1、2、3、4、5的暗
2、合中分别放置了1个白色和一个黑色小球，现在要每个暗盒中取出一个小球，则取出结果为1个白球4个黑球的结果总共有几种？（一）问题探究问题1：我们知道： a+b2=a2+2ab+b2,（1） 观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2） 根据你发现的规律，你能写出a+b3、a+b4的展开式吗？（3）进一步地，你能写出a+bn的展开式吗（二项式定理）？（二）知识要点1二项式定理(ab)n_CanCan1bCan2b2CankbkCbn (nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有 n1 项(3)二项式系数：各项的
3、系数 C (k0,1,2，n)叫做二项式系数2二项展开式的通项公式(ab)n展开式的第_k1 _项叫做二项展开式的通项，记作Tk1_Cankbk_.（三）知识运用例1.求x+1x6的展开式.跟踪训练1 (1)求3x+1x4的展开式;(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知
4、多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.例2.（1）求1+2x7的展开式的第4项的系数；（2）求2x-1x6的展开式中x2的系数.跟踪训练2. (1)求二项式2x-1x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求x-1x9的展开式中x3的系数.二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数Cnk(k0,1,2,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为Cnk.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C7317-3(2x)3,其二项式系
5、数是C73=35,而第4项的系数是C7323=280.四、课堂小结： 课后作业1.(a+b)2n的展开式的项数是()A.2nB.2n+1 C.2n-1D.2(n+1)2.(2a+b)5的展开式的第3项是()A.23C52B.23C52a3b2C.23C53D.23C53a2b33.二项式(x+1x)6的展开式中有理项共有项.4.如果(3x2+1x)n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n=.5.已知m,nN*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.6.已知在3x-123xn的展开式中,第6项为常数项.(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.
