1、6.2.4 组合数一、内容与内容解析1.内容：组合数的定义和表示，推导组合数公式及性质；利用组合数公式求具体问题的组合数；2.内容解析：（1）在组合基础上给出组合数的概念：给出组合数公式的主要目的是为了更加便捷地求出不同组合的个数。有了组合数的定义和符号表示，为导出组合数公式奠定了基础。在组合数概念教学中，要注意引导学生区分组合数和组合两个概念。（2）组合数公式的推导：推导组合数公式的关键在于引导学生探究组合和排列的关系，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组内元素全排列”两个步骤。为了让学生充分经历“发现”的过程，教材从具体问题“从4个不同元素中取出3个元素的排列数与组合数的关系”出发，为学
2、生设置认知台阶，并将具体结果推广为一般形式，得到组合数公式。（3）组合数公式的理解和性质：引导学生把握组合数公式的特点，掌握组合数公式的连乘形式与阶乘形式，并通过例题发现在mn2时，选择连乘形式计算更为简单，当mn2时，选择阶乘形式计算更为简单；通过计算简单的组合数，发现组合数的简单性质，从组合数的意义和组合数的计算公式两个方面进行证明。（4）组合数公式的应用：能够利用组合的知识，解决一些简单的组合问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法，即“先分类，后分步”的解题策略。3.教学重点：理解组合数的概念、推导组合数的公式及性质二、目标与目标解析1.目标（1）理解组合和组合数的概念，能
3、够区分组合数和组合；（2）通过探索排列和组合的关系，利用计数原理推导组合数公式；（3）通过组合数的计算，体会“数学运算”，通过探索排列和组合的关系，体会“逻辑推理”2.目标解析达成以上目标的标志是： （1）能在组合基础上给出组合数的定义和表示，并能区别组合和组合数；（2）通过利用计数原理分析和解决具体的组合问题，由组合数与排列数的关系得到所求组合数，再将具体结果归纳为一般形式，从而得到组合数公式，并能利用公式求具体问题的组合数；（3）通过组合数的计算和推导，提高分析和解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养三、教学问题诊断解析1. 问题诊断（1）推导组合数的公式是第
4、一个教学问题，也是本节课的难点。与推导排列数公式不同，推导组合数公式不仅需要将具体情况归纳为一般情况，还要研究组合与排列的关系，通过建立有关排列数与组合数的等量关系式得到组合数公式，学生对此的理解会有一定困难。教学中应该紧扣实际案例，引导学生利用分步乘法计算原理分析具体问题，发现排列可以分为“先取元素分组，再对组内元素全排列”两个步骤，从而得到Anm=CnmAmm，并认识到等式两边是对同一个问题作出的两个等价解释。（2）利用组合数公式解决具体问题是第二个教学问题，也是本节课的难点。在解决问题时，需要正确选择计数原理，辨别排列问题和组合问题，正确运用排列数公式和组合数公式，这对学生来说有一定难度
5、。其次，对于综合问题，要同时使用分类加法和分步乘法两种计数原理。2. 教学难点：推导和应用组合数公式四、教学支持条件分析当n和m较小时，可以通过手算得出Cnm。当n和m较大时，可以利用计算工具计算组合数。一般的计算工具可以直接求阶乘，利用阶乘形式的组合数公式可以计算。有的信息技术工具含有计算组合数的构造函数，可以直接求得组合数。本节课使用Excel内置函数作为教学支持条件。五、教学过程设计1.温故知新问题1 从集合a,b,c,d中取出3个元素组成三元子集，共有哪些不同的子集？引导语 在问题1中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这种方法越来越繁琐了。能否像排列一
6、样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷得求出组合个数？定义：类比排列数，我们引进组合数的概念从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示。辨析：组合与组合数的区别。设计意图结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念做对比，引入组合数公式。2.新知探究 问题2 前面已经提到，组合与排列有关系，能否利用这种关系，由排列数Anm来求组合Cnm呢？追问（1） 求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数A43和组合数C43.师生活动：列举从4个不同的元素中取出3个元素的排列和组合，以“元素相同”作为
7、标准将排列分为4组，每组中元素的全排列有A33=6种，得出A43=C43A33.分析等式两边的实际意义，可以发现“从4个不同元素中任取3个的排列”可以分为两步完成：第1步，从4个元素中任取3个作为组合；第2步，将取出的3个元素作全排列。所以，C43=A43A33.追问（2） 将求C43的方法推广为一般形式，如何求组合数Cnm？师生活动：求“从n个不同元素中任取m个元素的排列数Anm”，可以由以下两步得到：第1步：从n个不同元素中任取m个元素作为一组，共有Cnm种不同的取法；第2步：将取出的m个元素作全排列，共有Amm种不同的排法。根据分布乘法计数原理，有Anm=CnmAmm，因此Cnm=Anm
8、Amm追问（3）：由Anm的公式，你能得到Cnm的公式吗？师生活动：Anm=nn-1n-2n-m+1=n!(n-m)!Cnm=AnmAmm=nn-1n-2(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!规定：Cn0=1设计意图从一个具体问题出发，利用排列数求出组合数，由具体推广到到一般，用同样的方法得到组合数的公式，发展逻辑推理的核心素养。3.学以致用例1 计算：（1）C103 （2）C107 （3）C1010 （4）C100追问：观察（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？师生活动：可以发现C103=C107，C1010=C100.这两组组合数的共同特征是：两个组合数的下标相同，且
9、上标之和等于下标，由此可以猜想：Cnm=Cnn-m.证明：Cnm=n!m!(n-m)!，Cnn-m=n!n-m!n-n-m!=n!n-m!m!，所以Cnm=Cnn-m.从组合数的含义也可以解释上述等式：当确定取出哪些m个元素时，剩余的n-m个元素也确定下来，所以取m个元素的每一个组合，与选出剩余nm个元素的每一个组合是一一对应的。所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cnm，与从n个不同元素中取出nm个元素的组合数Cnn-m是相等的。设计意图通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解。通过追问深入思考，发现组合数的对称性，提出猜想，并从组合数的计算和意义两个角度进行证明,提升数
10、学运算、逻辑推理等核心素养。例2 一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取出5个球：（1）共有多少种不同的取法？（2）如果必须取红球，共有多少种不同的取法？（3）如果不取红球，共有多少种不同的取法？解：（1）是一个组合问题，有C85=C83=876321=56种取法。（2）因为红球只有1个，所以只需从剩余的7个白球中取出4个白球即可，有C74=C73=765321=35种取法。（3）方法1：问题转化为“从7个不同白球中取出5个白球”，故有C75=C72=7621=21种取法。方法2（间接法）：不取红球，可以理解为从“任意取出5个球”中，去掉“必须取红球”即可。结合前2问的结论可以得到：C8
11、5-C74=56-35=21种取法从问题（3）的直接法和间接法中，我们又发现一个有趣的结论：C75=C85-C74，即C85=C75+C74追问： 你能解释 C85=C75+C74 的意义吗？师生活动：从分类加法计数原理解释上述公式，猜想组合数的性质2:Cn+1m=Cnm+Cnm-1，从组合数的意义进行证明，从组合数的计算公式证明留给学生作课后作业。设计意图应用巩固组合数公式，学会解决简单的组合问题。追问给学生留下探索的空间，引导学生利用组合的定义和两个计数原理进行证明。例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品。从这100件产品中任意抽出3件。（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件
12、中恰好有1件次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？解：（1）这是个从100个元素中取3个的组合问题，所以抽法的种数为C1003=1009998321=161700（2）从2件次品中抽出1件有C21种抽法，从98件合格品中抽出2件的抽法有C982种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为C21C982=298972!=9506（3）方法1（直接法）：3件产品中至少1件为次品，包括有1件次品和2件次品两种情况，根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为C21C982+C22C981=9506+98=9604方法2（间接法）：抽出的3件中至少有1件
13、次品的抽法种数，就是从100件产品种抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即C1003-C983=161700-9897963!=9604追问 你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？师生活动：引导学生梳理解决组合问题的一般思路先分类，后分步；对于含有“至少”、“至多”等关键词的问题，可以使用直接法或间接法，通过分析两种方法的计算复杂度进行选择。演示：当n和m较小时，可以通过手算得出Cnm。当n和m较大时，可以利用Excel等计算工具计算组合数。设计意图通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法，提升数学建模和数学运算的核心素养，学会用计算工具来计算组合数。
14、4.课堂小结1.组合数的公式 Cnm=AnmAmm=nn-1n-2(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!2.组合数的性质Cnm=Cnn-m, Cn+1m=Cnm+Cnm-1 3.解决组合问题“先分类，后分步” 直接法 间接法4.发展能力 提高分析问题、解决问题的能力， 发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养设计意图回顾本堂课的主要内容，明确组合数的概念、回顾组合数公式的推导和性质，总结解决组合问题的一般方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养。六.板书设计6.2.4组合数1.定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n
15、个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cnm2.组合数的公式Cnm=AnmAmm =nn-1n-2n-m+1m!=n!m!(n-m)!性质：（1）Cnm=Cnn-m （2）Cnm+1+Cnm=Cn+1m+13.组合问题：思路：先分类，后分步方法：直接法、间接法例3：解：（1）C1003=1009998321=161700（2）C21C982=298972!=9506（3）方法1（直接分类法）C21C982+C22C981=9506+98=9604方法2（间接法）C1003-C983=161700-9897963!=9604七、目标检测设计1.计算（1）C62 （2）C97 （3）C73-C62 （4）3C83-2C522.求证（1）Cnm+1+Cnm=Cn+1m+1 （2）Cnm=m+1n+1Cn+1m+1设计意图选择合适的组合数公式进行运算和证明，检测学生对于组合数公式的掌握情况，促进学生记住公式，并掌握公式的使用。3.从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验（1） 抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？（2） 抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？（3） 抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？（4） 抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？设计意图通过应用进一步熟悉解决组合问题的一般方法，提高分析和解决问题的能力。
