新人教A版高中数学选择性必修三《7.4.2超几何分布》教案及课件.zip

7.4.2 超几何分布超几何分布一、教材分析：本节课选自2019 人教 A 版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列，本节课的主要学习内容是超几何分布。超几何分布是一类应用广泛的概率模型，常常与二项分布问题综合运用，而本节课学习内容是基于学生已经学习了随机事件、等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关知识，以及学习了二项分布。它是对前面所学知识的应用巩固，也是综合应用能力的提升。本节课是从实际出发，通过具体实例和抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，从而应用于实际。二、教学目标与学科素养：教学目标：1.理解超几何分布概念,能够判定随机变量是否服从超几何分布;2.会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率;3.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值.学科素养：1.数学抽象：通过案例进行数学抽象，形成超几何分布的概念2.逻辑推理：理解超几何分布与二项分布的联系与区别3.数学运算：会进行超几何分布的概率和期望的计算 4.数学建模：让学生会将复杂问题通过数学建模思想转化为简单问题。三、教学重难点：重点：超几何分布的概率求法及应用 难点：区分超几何分布与二项分布四、教学准备：制作多媒体课件，印好学生课堂练习。五、教学过程（一）引导语：前面我们学习了排列组合、离散型随机变量的有关知识，本节课将利用这些知识继续研究第二个重要的概率模型-超几何分布。（二）情境引入，形成概念：问题 1：已知 100 件产品中有 8 件次品，现从中采用有放回方式随机抽取 4 件设抽取的 4 件产品中次品数为 X，求随机变量 X 的分布列.（1）采用有放回抽样，随机变量 X 服从二项分布吗？因为采用的是有放回抽样，所以每次抽到次品的概率均为 0.08，且各次抽样的结果是相互独立的，因此随机变量 X 服从二项分布，即 XB(4，0.08)。（2）如果采用不放回抽样，请问抽取的 4 件产品中次品数 X 还服从二项分布吗？若不服从，那么 X 的分布列是什么？学生回答：不服从，需要根据古典概型来求 X 的分布列。解：从 100 件产品中任取 4 件有 4100 种不同的取法，从 100 件产品中任取 4 件，次品数 X 可能取 0,1,2,3,4。恰有 k 件次品的取法有8492种。由古典概型的知识，得随机变量 X 的分布列为X01234P048924100C CC138924100C CC228924100C CC318924100C CC408924100C CC（3）观察上述分布列中的概率求解方法，与二项分布的有什么不同？从中得出什么规律？一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回），用 X表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为P(Xk）Ck M Cnk NMCn N，km，m1，m2，r.其中 n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M，则称随机变量 X 服从超几何分布【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生积极思考，也就是利用已学知识来观察这个问题，通过参与互动，说出自己见解。从而引出超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。（4）部析超几何分布的概念：1.公式 C C()Ckn kMN MnNP Xk-=中个字母的含义N总体中的个体总数；M总体中的特殊个体总数(如次品总数)n样本容量；k样本中的特殊个体数(如次品数)2.上述概率分布列计算公式是直接利用组合数的意义列式计算的，所以不要机械记忆这个概率分布列。3.“任取 n 件，恰有 k 件次品”是可以理解为一次性抽取，也可以理解为逐个不放回抽取。（5）概念巩固：下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是(）A将一枚硬币连抛 3 次，正面向上的次数 XB从 7 名男生与 3 名女生共 10 名学生干部中选出 5 名优秀学生干部，选出女生的人数 XC某射手射击的命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中目标的次数为 XD盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数解析：由超几何分布的定义可知 B 正确答案：B【设计意图】通过概念辨析，引导学生更好的认识超几何分布列，通过问题加以巩固，学以致用。（三）典例解析、巩固提高例 1：从 50 名学生中随机选出 5 名学生代表,求甲被选中的概率.解:设 X 表示选出的 5 名学生中含甲的人数（只能取 0 或 1),则 X 服从超几何分布,且 N=50，M=1,n=5.因此，甲被选中的概率为141495501(1)10C CP XC例 2：一批零件共有 30 个，其中有 3 个不合格，随机抽取 10 个零件进行检测，求至少有 1 件不合格的概率.解:设抽取的 10 个零件中不合格品数为,则服从超几何分布,且=30,=3,=10,的分布列为(=)=310271030,=0,1,2,3至少有 1 件不合格的概率为(1)=(=1)+(=2)+(=3)=139271030+238271030+337271030=95203+45203+6203=146203 0.7192另解:(1)=1(=0)=1 0310271030=1 57203 0.7192归纳总结：（1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；（2）在超几何分布中，只要知道参数 N，M，n 就可以根据概率计算公式求出 X 取不同值时的概率。【设计意图】通过两个例题，让学生更加充分的认识超几何分布的概率计算方法，提高他们的数学运算能力。也通过数学抽象和数学建模来达到问题归类，方法统一。（四）深入探究、掌握新知探究探究 1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么：服从超几何分布的随机变量的均值是什么?设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数.令 p=，则 p 是 N 件产品的次品率，而 是抽取的 n 件产品的次品率，我们猜想我们猜想 E(X)=np.学校要从 10 名候选人中选 5 名同学组成学生会，已知有 4 名候选人来自高二（1）班假设每名候选人都有相同的机会被选到，若用 X 表示高二（1）班同学被选到的人数，求 X 的分布列及期望解析：由题意知 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，则P(X0)C5 6C5 10142，P(X1)C4 6 C1 4C5 10521，P(X2)C3 6 C2 4C5 101021，P(X3)C2 6 C3 4C5 10521，P(X4)C1 6 C4 4C5 10142.因此 X 的分布列为X01234P1425211021521142所以 E(X)=0142+1521+21021+3521+4142=2通过例题计算可知：E(X)=np 是成立的。是成立的。超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件次品的 N 件产品中，不放回地随机抽取 n 件产品中的次品数令 pMN，则 E(X）np【设计意图】通过一个例题的计算，知道结果是满足猜想 E(X)=np，接下来将引导学生深知数学结论能否直接使用，必将进行严格的证明，此时鼓励同学们课后去完成。因为课堂上如果去完成这个证明，将会使得课堂教学脱离教学重点，正好也鼓励同学们进行课后思考和同时提升同学们的自学能力。例 6.一袋中有 100 个大小相同的小球,其中有 40 个黄球，60 个白球，从中随机摸出 20 个球作为样本.用X 表示样本中黄球的个数.(1).分别就有放回和不放回摸球，求 X 的分布列;(2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过 0.1 的概率.解:(1)对于有放回摸球,由题意知(20,0.4),的分布列为:20120()0.40.6,0,1,2,20.kkkkPP XkCk对于不放回摸球,由题意知服从超几何分布，的分布列为:204060220100(),0,1,2,20.kkkC CPP XkkC（2）利用软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到 0.00001），如下表所示：样本中黄球的比例2020Xf 是一个随机变量有放回摸球：P(|20 0.4|0.1)=P（6X10）0.7469；不放回摸球：P(|20 0.4|0.1)=P（6X10）0.7988.因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些。两种摸球方式下，随机变量 X 服从二项分布和超几何分布，这两种分布的均值相等都等于 8。但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.当 n 远远小于 N 时，每次抽取一次,对 N 的影响很小.此时，超几何分布可以用二项分布近似.二项分布与超几何分布区别和联系1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样；而二项分布的模型是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样。2.联系：当总体的数量充分大，且抽取的数量相对较小时，即便是不放回抽样，也可以用二项分布来近似研究。【设计意图】通过对二项分布和超几何分布的问题对比分析和研究，以逻辑推理、直观想象的教学方式，让学生充分掌握超几何分布的概念及其特点。通过问题的探究和对比，进一步了解了这两个分布的区别和联系。（五）课堂巩固、达标检测1.一袋中装 5 个球，编号为 1，2，3，4，5，从袋中同时取出 3 个，以 表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量 的分布列为(）解析：随机变量 的可能值为 1，2，3，P(1)C2 4C3 535，P(2)C2 3C3 5310，P(3)C2 2C3 5110.故选 C.答案：C2.已知 100 件产品中有 10 件次品，从中任取 3 件，则任意取出的 3 件产品中次品数的数学期望为_解析：次品数服从超几何分布，则 E(X)3101000.3.答案：0.33.在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 5 个红球和 10 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 3 个球，至少摸到 2 个红球就中奖，求中奖的概率解析：由题意知，摸到红球个数 X 为离散型随机变量，X 服从超几何分布，则至少摸到 2 个红球的概率为 P(X2)P(X2)P(X3)C2 5 C1 10C3 15C3 5 C0 10C3 152291.故中奖的概率为2291.4.在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求：(1）不放回抽样时，抽取次品数 的均值；(2）放回抽样时，抽取次品数 的均值解析：(1)方法一P(0)C3 8C3 10715；P(1)C1 2 C2 8C3 10715；P(2)C2 2 C1 8C3 10115，随机变量 的分布列为012P715715115E()07151715211535.方法二由题意知 P(k)Ck 2 C3k 8C3 10(k0，1，2)，随机变量 服从超几何分布，n3，M2，N10，E()nMN3 21035.(2)由题意，知每次取到次品的概率为21015，B(3，15)，E()31535.【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。（6）课堂小结、提炼升华1.超几何分布(),1,2,.kn kMN MnNC CP Xkkm mmrC2.超几何分布的均值()nME XnpN【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。（7）课外作业、学习延伸三维设计课时跟踪检测课时练六、教学反思课后通过对教学过程的反思与研究,才能不断完善教学设计中的不足,才能提升教材分析的能力和课堂教学的实效。1.多元展示,多方评价，在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标。2.创造性的使用教材.有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳,这样更贴近学生的认知水平，学生课后反馈，效果较为理想。7.4.27.4.2超几何分布超几何分布学科知识的学习目标1.理解超几何分布概念,能够判定随机变量是否服从超几何分布;2.会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率；3.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题,会求服从超几何分布的随机变量的均值.1.数学抽象：通过案例进行数学抽象，形成超几何分布的概念2.逻辑推理：理解超几何分布与二项分布的联系与区别3.数学运算：会进行超几何分布的概率和期望的计算 4.数学建模：让学生会将复杂问题通过数学建模思想转化为简单问题。学科素养的能力目标前面我们学习了排列组合、离散型随机变量等有关知识，本节课将利用这些知识继续研究第二个重要的概率模型-超几何分布。问题导学问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.（1）：采用有放回抽样，随机变量X服从什么分布呢？采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即XB(4，0.08).（2）：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X还服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？不服从，那我们根据古典概型来求X的分布列.问题导学问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.（2）：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X还服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？这个分布列明显与二项分布概率计算公式不一样！问题导学问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.（2）：如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X还服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？概率计算方法是按照某个分类进行不放回选取什么要素能决定变量值的取值范围呢？形成概念1.公式 中个字母的含义N总体中的个体总数M总体中的特殊个体总数(如次品总数)n样本容量k样本中的特殊个体数(如次品数)2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.4.各对应的概率和必须为1.概念解析概念辨析例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.解:设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1),则X服从超几何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被选中的概率为典例解析例2.一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.典例解析归纳总结问题1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么?探究新知学校要从10名候选人中选5名同学组成学生会，已知有4名候选人来自高二（1）班假设每名候选人都有相同的机会被选到，若用X表示高二（1）班同学被选到的人数，求X的分布列及期望设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则p是N件产品的次品率，而 是抽取的n件产品的次品率，因此我们猜想E(X)=np.类比二项分布的期望猜想超几何分布的期望形成结论典例解析 例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.解:(1)对于有放回摸球,由题意知 (20,0.4),的分布列为对于不放回摸球,由题意知 服从超几何分布，的分布列为|2040100|0.1解得：6 10利用信息技术来对比两个分布列的概率，可以得出结论：两种摸球方式下,随机变量X服从二项分布和超几何分布.这两种分布的均值相等的，都是等于8.我们再看看它们的概率分布图：从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小，超几何分布可以用二项分布来近似估计.我们利用信息技术来对比两个分布列的概率分布，结合二项分布列的概率计算相对方便一些，我们可以得出以下结论：二项分布与超几何分布区别和联系二项分布与超几何分布区别和联系1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”是不放回抽样,而二项分布的模型是“独立重复试验”对于抽样,则是有放回抽样.2.联系：当总体的数量充分大,且抽取的数量相对较小时,即便是不放回抽样,也可以将其视为二项分布,再利用二项分布列的概率计算公式来近似估计解决实际问题.归纳总结达标检测2.超几何分布的均值1.超几何分布课堂小结课堂小结