1、7.4.2超几何分布一、教材分析：本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册第七章随机变量及其分布列，本节课的主要学习内容是超几何分布。超几何分布是一类应用广泛的概率模型，常常与二项分布问题综合运用，而本节课学习内容是基于学生已经学习了随机事件、等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率和相互独立事件概率的求法、也学习了分布列的有关知识，以及学习了二项分布。它是对前面所学知识的应用巩固，也是综合应用能力的提升。本节课是从实际出发，通过具体实例和抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，从而应用于实际。二、教学目标与学科素养：教学目标：1. 理解超几何分布概念, 能够判定随机变量是否服从超几
2、何分布;2. 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率;3. 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题, 会求服从超几何分布的随机变量的均值.学科素养：1. 数学抽象：通过案例进行数学抽象，形成超几何分布的概念2. 逻辑推理：理解超几何分布与二项分布的联系与区别3. 数学运算：会进行超几何分布的概率和期望的计算 4. 数学建模：让学生会将复杂问题通过数学建模思想转化为简单问题。三、教学重难点：重点：超几何分布的概率求法及应用 难点：区分超几何分布与二项分布四、教学准备：制作多媒体课件，印好学生课堂练习。五、教学过程（一）引导语：前面我们学习了排列组合、离散型随机变量的有关知识
3、，本节课将利用这些知识继续研究第二个重要的概率模型-超几何分布。（二）情境引入，形成概念：问题1：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回方式随机抽取4件设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.（1）采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？因为采用的是有放回抽样，所以每次抽到次品的概率均为0.08，且各次抽样的结果是相互独立的，因此随机变量X服从二项分布，即XB(4，0.08)。（2）如果采用不放回抽样，请问抽取的4件产品中次品数X还服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？学生回答：不服从，需要根据古典概型来求X的分布列。解：从100件产品中任取4件有 C1004
4、种不同的取法，从100件产品中任取4件，次品数X可能取0,1,2,3,4。恰有k件次品的取法有C8kC924-k种。由古典概型的知识，得随机变量X的分布列为X01234P（3）观察上述分布列中的概率求解方法，与二项分布的有什么不同？从中得出什么规律？一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk），km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M，则称随机变量X服从超几何分布【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生积极思考，也就是利用已学知识来观察这个问题，通过参与
5、互动，说出自己见解。从而引出超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。（4）部析超几何分布的概念：1.公式 中个字母的含义N总体中的个体总数；M总体中的特殊个体总数(如次品总数)n样本容量；k样本中的特殊个体数(如次品数)2.上述概率分布列计算公式是直接利用组合数的意义列式计算的，所以不要机械记忆这个概率分布列。3. “任取n件，恰有k件次品”是可以理解为一次性抽取，也可以理解为逐个不放回抽取。（5）概念巩固：下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(）A将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出
6、女生的人数XC某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数解析：由超几何分布的定义可知B正确答案：B【设计意图】通过概念辨析，引导学生更好的认识超几何分布列，通过问题加以巩固，学以致用。（三）典例解析、巩固提高例1：从50名学生中随机选出5名学生代表,求甲被选中的概率.解: 设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1),则X服从超几何分布,且N=50，M=1,n=5.因此，甲被选中的概率为例2： 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率
7、.解:设抽取的10个零件中不合格品数为𝑋,则𝑋服从超几何分布,且𝑁=30,𝑀=3,𝑛=10,𝑋的分布列为P(X=k)=C3kC2710-kC3010, k=0,1,2,3至少有1件不合格的概率为𝑃(𝑋1)=𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=2)+𝑃(𝑋=3)=C31C279C3010+C32C278C3010+C33C277C3010=95203+45203+6203=1462030.
8、7192另解:(𝑋1)=1𝑃(𝑋=0) =1-C30C2710C3010 =1-572030.7192归纳总结：（1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量(如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；（2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据概率计算公式求出X取不同值时的概率。【设计意图】通过两个例题，让学生更加充分的认识超几何分布的概率计算方法，提高他们的数学运算能力。也通过数学抽象和数学建模来达到问题归类，方法统一。（四）深入探究、掌握新知探究1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么?设随机变量X服从超几何分布，则X
9、可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN，则p是N件产品的次品率，而 Xn 是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E(X)=np.学校要从10名候选人中选5名同学组成学生会，已知有4名候选人来自高二（1）班假设每名候选人都有相同的机会被选到，若用X表示高二（1）班同学被选到的人数，求X的分布列及期望解析：由题意知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).因此X的分布列为X01234P所以E(X)=0+1+2+3+4=2通过例题计算可知：E(X)=np是成立的。超几何分布的均值：设随机变量X服从超几
10、何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数令p，则E(X）np【设计意图】通过一个例题的计算，知道结果是满足猜想E(X)=np，接下来将引导学生深知数学结论能否直接使用，必将进行严格的证明，此时鼓励同学们课后去完成。因为课堂上如果去完成这个证明，将会使得课堂教学脱离教学重点，正好也鼓励同学们进行课后思考和同时提升同学们的自学能力。例6.一袋中有100个大小相同的小球,其中有40个黄球，60个白球，从中随机摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1).分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列; (2).分别就有放回和不放回摸球，用样本中黄球的比例
11、估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.解:(1)对于有放回摸球,由题意知𝑋𝐵(20,0.4),𝑋的分布列为:对于不放回摸球,由题意知𝑋服从超几何分布，𝑋的分布列为:（2）利用软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.00001），如下表所示：样本中黄球的比例 是一个随机变量有放回摸球：P(|f20-0.4|0.1)=P（6X10）0.7469；不放回摸球：P(|f20-0.4|0.1)=P（6X10）0.7988.因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些。两种摸球方式下，随机变量X
12、服从二项分布和超几何分布，这两种分布的均值相等都等于8。但从两种分布的概率分布图看,超几何分布更集中在均值附近.当n远远小于N时，每次抽取一次,对N的影响很小.此时，超几何分布可以用二项分布近似.二项分布与超几何分布区别和联系1.区别：一般地,超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样；而二项分布的模型是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样。2.联系：当总体的数量充分大，且抽取的数量相对较小时，即便是不放回抽样，也可以用二项分布来近似研究。【设计意图】通过对二项分布和超几何分布的问题对比分析和研究，以逻辑推理、直观想象的教学方式，让学生充分掌握超几何分布的概念及其特点。通过问题的探究和对
13、比，进一步了解了这两个分布的区别和联系。（五）课堂巩固、达标检测1.一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量的分布列为(）解析：随机变量的可能值为1，2，3，P(1)，P(2)，P(3).故选C.答案：C2.已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为_解析：次品数服从超几何分布，则E(X)30.3.答案：0.33. 在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率解析：由题意知，
14、摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为P(X2)P(X2)P(X3).故中奖的概率为.4.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：(1）不放回抽样时，抽取次品数的均值；(2）放回抽样时，抽取次品数的均值解析：(1)方法一P(0)；P(1)；P(2)，随机变量的分布列为012PE()012.方法二由题意知P(k)(k0，1，2)，随机变量服从超几何分布，n3，M2，N10，E().(2)由题意，知每次取到次品的概率为，B，E()3.【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养
15、。（6）课堂小结、提炼升华1.超几何分布2.超几何分布的均值【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。（7）课外作业、学习延伸三维设计课时跟踪检测课时练六、教学反思课后通过对教学过程的反思与研究, 才能不断完善教学设计中的不足, 才能提升教材分析的能力和课堂教学的实效。1. 多元展示, 多方评价，在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标。2. 创造性的使用教材. 有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳, 这样更贴近学生的认知水平， 学生课后反馈，效果较为理想。
