1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（B） 第第 9 单元单元 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小
2、题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1下列说法正确的是（ ） A有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 B两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱 C棱锥的侧面可以是四边形 D棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 2已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A若mn，m，则n B若mn，m，n ，则n C若mn，m，n ，则 D若m， ，则m或m 3设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A12 B8 C4 D2 4如图，在正方体 111
3、1 ABCDABC D中，M，N分别为AC， 1 AB的中点，则下列说法错误的 是（ ） AMN平面 11 ADD A BMNAB C直线MN与平面ABCD所成角为45 D异面直线MN与 1 DD所成角为60 5设，是两个不同的平面，m是直线且m “m”是“ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE PC垂 足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（ ） ABC 平面PAC BAEEF CACPB D平面AEF 平面PBC 7 边长为2的正方形ABCD沿对角
4、线AC折叠使得 ACD垂直于底面ABC， 则点C到平面ABD 的距离为（ ） A 2 6 3 B 2 3 3 C 2 2 3 D 6 3 8已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 2AB ， 1 2 2CC ，E为 1 CC的中点，则直线 1 AC与 平面BED的距离为（ ） A2 B3 C 2 D1 9 如图， 空间四边形ABCD中，ABBCCDDAACBD， 则AB所在直线与平面BCD 所成角的余弦值为（ ） A 3 3 B 1 3 C 6 3 D1 10第41届世界博览会于2010年5月1日至10月31日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆 “东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之
5、冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念， 代表中国文化的精神与气质，其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱，它有四根高33.3米的方柱，托起 斗状的主体建筑， 总高度为60.3米， 上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台， 上底面边长是139.4米， 下底面边长是69.9米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ） A20 B28 C38 D48 11 在正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 4AA ， 2ABBC， 动点P，Q分别在线段 1 C D，AC 上，则线段PQ长度的最小值是（ ） A 2 2 3 B 2 3 3 C 4 3 D 2 5 3 12正方体 1111 ABCDABC
6、 D的棱长为1，动点M在线段 1 CC上，动点P在平面 1111 DCBA上， 且AP 平面 1 MBD，线段AP长度的取值范围为（ ） A1, 2 B1, 3 C 3 ,2 2 D 6 , 2 2 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13在长方体 1111 ABCDABC D中，22ABBC，直线 1 DC与平面ABCD所成的角为45， 则异面直线 1 AD与 1 DC所成角的余弦值为 14已知ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且 2 2 cos 3 A ，1BC ，3AC ，三棱 锥OABC的体积为 14 6 ，则球O的表面积为_
7、 15如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD 底面ABCD，PD AD，则PA与BD所 成角的度数为_ 16已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体著名数学家欧拉研究并证 明了多面体的顶点数（V） 、棱数（E） 、面数（F）之间存在如下关系：2VFE利用这 个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体） 、正八面体、正十 二面体和正二十面体， 若棱长相等的正六面体和正八面体 （如图） 的外接球的表面积分别为 1 S， 2 S， 则 1 2 S S 的值为_ 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写
8、出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC的侧棱与底面垂直， 90BAC，M，N分别是 11 AB，BC的中点 （1）证明： 1 ABAC； （2）判断直线MN和平面 11 ACC A的位置关系，并加以证明 18 （12 分） 如图， 组合体由棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D和四棱锥S ABCD组成，SD 平面ABCD，2SD，E是 1 DD中点，F是SB中点 （1）求证：SB平面 11 EAC； （2）求证： 11 ACEF； （3）求S到平面 11 EAC的距离 19 （12 分）如图，在正三
9、棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，E，F分别为AB， 11 BC的中 点 （1）求证： 1 B E平面ACF； （2）求三棱锥 1 BACF的体积 20 （12 分）如图，在空间几何体ABCDE中，平面ACD平面ACB，ACD与ACB都是 边长为2的等边三角形，2BE ，点E在平面ABC上的射影在ABC的平分线上，已知BE和平 面ACB所成角为60 （1）求证：DE平面ABC； （2）求二面角EBCA的余弦值 21 （12 分）已知直三棱柱 111 ABCABC中，ABC为正三角形， 1 4ABAA，F为BC的中 点点E在棱 1 CC上，且 1 3C EEC （1）求证：直线 1
10、 B F 平面AEF； （2）求二面角 1 BAEF的余弦值 22 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ADAB，ABDC， 2ADDCAP，1AB ，点E为棱PC的中点 （1）证明：BEDC； （2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； （3）若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值 高三数学卷（B） 第第 9 单元单元 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 答答 案案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目
11、要求的合题目要求的 1 【答案】B 【解析】对于 A，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体，所有侧棱不一定交于同 一点，所以该六面体不一定是棱台，故 A 错误； 对于 B，由棱柱的概念可得两底面平行，并且各侧棱也互相平行的多面体是棱柱，故 B 正确； 对于 C，棱锥的侧面一定是三角形，故 C 错误； 对于 D，在正六棱柱中，存在互相平行的侧面，故 D 错误 2 【答案】A 【解析】对于 A：若mn，m，则n或n，故 A 错误；B，C，D 正确 3 【答案】C 【解析】还原该立体图形，如图，则其体积为 111 (4 3) 24 332 VSh 4 【答案】D 【解析】如图，连结BD，
12、 1 AD， 由M，N分别为AC， 1 AB的中点，知 1 MNAD， 对 A，由 1 MNAD，从而/MN平面 11 ADD A，A 正确； 对 B，由AB 面 11 ADD A，可得 1 ABAD，又 1 MNAD，得MNAB，B 正确； 对 C，由 1 MNAD，直线MN与平面ABCD所成角为 1 45ADA，C 正确； 对 D，由 1 MNAD，直线MN与 1 DD所成角为 11 45ADD，D 错误 5 【答案】B 【解析】m，m得不到， 因为，可能相交，只要m和，的交线平行即可得到m，m， m和没有公共点，m，即能得到m， “m”是“ ”的必要不充分条件 6 【答案】C 【解析】对
13、于 A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而BC底面圆面，则PABC， 又由圆的性质可知ACBC，且PAACA，则BC 平面PAC，所以 A 正确； 对于 B，由 A 可知BCAE，由题意可知AEPC，且BCPCC，所以AE 平面PCB， 而EF 平面PCB，所以AEEF，所以 B 正确； 对于 C，由 B 可知AE平面PCB，因而AC与平面PCB不垂直，所以ACPB不成立， 所以 C 错误； 对于 D，由 A、B 可知，BC平面PAC，BC 平面PCB， 由面面垂直的性质可得平面AEF 平面PBC，所以 D 正确， 综上可知，C 为错误选项 7 【答案】A 【解析】取AC的中点O，连接DO
14、和BO，则DOAC，BOAC， 由于四边形ABCD是边长为2的正方形， 2ADCDABBC， 则 22 222 2AC ， 22 2( 2)2DOBO ， 由题知，平面ACD平面ABC，且交线为AC，而DO平面ACD， 则DO 平面ABC， 又BO平面ABC，所以DOBO， 在BODRt中， 22 ( 2)( 2)2BD ， ABD是等边三角形，则 1 2 2 sin603 2 ABD S ， 则在ABCRt中， 1 2 22 2 ABC S ， 设点C到平面ABD的距离为d，则 C ABDD ABC VV ，即 11 33 ABDABC SdSDO ， 即 11 322 33 d ，解得 2
15、 6 3 d ，即点C到平面ABD的距离为 2 6 3 8 【答案】D 【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法， 1 AC平面BDE， 1 AC到平面BDE的距离等于A到平面BDE的距离， 由题计算得 1 11112 2 2 22 32323 E ABDABD VSCC ， 在BDE中， 22 2( 2)6BEDE ， 2 2BD ， BD边上的高 22 6)(2(2) ，所以 1 2 222 2 2 BDE S ， 所以 11 2 2 33 A BDEBDE VShh ， 利用等体积法 A BDEE ABD VV ，得 12 2 2 2 33 h，解得1h
16、9 【答案】A 【解析】因为空间四边形ABCD中，ABBCCDDAACBD， 所以四面体ABCD为正四面体， 所以点A在平面BCD上的投影为正三角形BCD的中心O，连接AO，BO， 则ABO为AB所在直线与平面BCD所成角， 令ABBCCDDAACBDa，则 233 323 BOaa， 在ABORt中， 3 3 3 cos 3 a BO ABO ABa 10 【答案】C 【解析】依题意得“斗冠”的高为60.3 33.327米， 如图，27PE ， 11 () 22 MEMNEF 139 (139.469.9) 4 ， PME为“斗冠”的侧面与上底面的夹角， 27108 tan0.78 139
17、139 4 PE PME ME ， 而 3 tan300.58 3 ，tan451，且 tanyx 在(0, ) 2 上单调递增， 因为0.580.78 1，所以3045PME 11 【答案】C 【解析】 建立如图所示空间直角坐标系， 则(2,0,0)A，(0,2,0)C， 1(0,2,4) C，(0, ,2 )Ptt，0,2t， (2,0)Qm m ，0,2m， 22 91016 5()() 5599 m PQtm， 当且仅当 10 5 9 tm时，PQ取最小值 4 3 12 【答案】D 【解析】以DA，DC， 1 DD分别为x，y，z建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)A，(1,1,0)
18、B，(0,1, )Mt，(0,0,1)D，( , ,1)P x y， (1, ,1)APxy， 1 ( 1, 1,1)BD ，( 1,0, )BMt ， 0,1t， 由AP 平面 1 MBD，则 0BMAP 且 1 0BD AP， 所以10 xt 且110 xy ，得1xt ，1yt ， 所以 222 13 |(1)12() 22 APxyt ， 当 1 2 t 时， min 6 | 2 AP ；当0t 或1t 时， max |2AP， 所以 6 |2 2 AP 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 10 5 【解析】以D为
19、原点，AD为x轴，DC为y轴， 1 DD为z轴，建立空间直角坐标系， 在长方体 1111 ABCDABC D中，22ABBC， 直线 1 DC与平面ABCD所成的角为45， 1 45C DC， 1 2DCCC， (1,0,0)A， 1 0,(0,2)D ，(0,0,0)D， 1(0,2,2) C， 1 ( 1,0,2)AD ， 1 (0,2,2)DC ， 设异面直线 1 AD与 1 DC所成角为， 则 11 11 11 |410 cos|cos,| 5| |58 ADDC AD DC ADDC ， 异面直线 1 AD与 1 DC所成角的余弦值为 10 5 14 【答案】16 【解析】 2 2
20、cos 3 A ， 2 1 sin1 cos 3 AA， 在三角形ABC中，由正弦定理得 sinsin BCAC AB ，sin1B， 因此90B，斜边AC的中点就是ABC的外接圆的圆心， 由于三棱锥的体积为 14 6 ， 22 2 2ABACBC ， 1 114 3 26 AB BC h， 7 2 h ， 因此 22 73 ()( )2 22 R ，表面积 2 416SR 15 【答案】60 【解析】如图所示，以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DP所在 的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 因为点P在正方形ABCD所在平面外，PD 平面ABCD，PDAD， 令1PDA
21、D，所以(1,0,0)A，(0,0,1)P，(1,1,0)B，(0,0,0)D， 所以(1,0, 1)PA ，( 1, 1,0)BD ， 所以 11 cos 2|2 | 2 | | PA BD PABD ，所以60， 即异面直线PA与BD所成的角为60 16 【答案】 3 2 【解析】设棱长为a，正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半， 所以 1 3 2 Ra ，对于正八面体，易得ACBDEF， 故其外接球的球心为AC中点，所以 2 2 2 Ra，所以 2 2 11 2 2 22 3 43 4 2 42 4 a SR SR a 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大
22、题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）证明见解析； （2）MN平面 11 ACC A，证明见解析 【解析】 （1）因为 1 CC 平面ABC， 又AB平面ABC，所以 1 CCAB， 因为90BAC，所以ACAB，且 1 ACCCC， 所以AB 平面 11 ACC A， 又 1 AC 平面 11 ACC A，所以 1 ABAC （2）MN平面 11 ACC A， 证明如下：如图所示：设AC的中点为D，连接DN， 1 AD 因为D，N分别是AC，BC的中点，所以DNAB， 1 2 DNAB， 又 111 1
23、 2 AMAB=，而 11 ABAB， 11 ABAB， 所以 1 AMDN， 1 AMDN， 所以四边形 1 ADNM是平行四边形，所以 1 ADMN， 因为 1 AD 平面 11 ACC A，MN 平面 11 ACC A， 所以MN平面 11 ACC A 18 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）6 【解析】 （1）连结 1 DB，连结 11 D B交 11 AC于O，连接EO， 则 11 DOOB， 1 DEED， 1 EODB， 又 1 SDBB， 1 SDBB，因此四边形 1 SDB B是平行四边形， 1 SBDB，故SBEO， 又SB面 11 EAC，EO面 1
24、1 EAC，因此SB平面 11 EAC （2）四边形 1111 DCBA是正方形， 1111 ACBD， 又 1 DD 平面 1111 DCBA， 11 AC 平面 1111 DCBA， 111 ACSD， 又 1111 SDDBD， 11 AC 面 11 SD B B， 又EF 面 11 SD B B，因此， 11 ACEF （3）设S到平面 11 EAC的距离d， 111 1 ASECS EAC VV ，即 1 11 12 3 3 2 22 2 3 23 22 d ，S到平面 11 EAC的距离 6 19 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 3 【解析】 （1）证明：取AC的中点M，
25、连结EM，FM， 在ABC中，因为E，M分别为AB，AC的中点， 所以EMBC且 1 2 EMBC， 又F为 11 BC的点， 11 BCBC，所以 1 B FBC且 1 1 2 B FBC， 即 1 EMB F且 1 EMBF， 故四边形 1 EMFB为平行四边形，所以 1 B EFM 又MF平面ACF内， 1 B E在平面ACF外，所以 1 B E平面ACF （2）设O为BC的中点， 因棱柱底面是正三角形，所以有3AO ，且AOBC， 因为正三棱柱 111 ABCABC， 所以 1 BB 平面ABC，AO在平面ABC内，所以 1 BBAO， 因为 1 BBBCB， 1 BB，BC在平面 1
26、1 BCC B内， 所以AO 平面 11 BCC B， 于是 111 1113 23 3323 BACFA B CFB CF VVSAO 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 13 13 【解析】 （1）证明：由题意知，ABC与ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O， 连接BO，DO，则BOAC，DOAC， 又平面ACD 平面ABC，DO 平面ABC，作EF 平面ABC， 那么EFDO，根据题意，点F落在BO上， BE和平面ABC所成角为60，60EBF， 2BE ，3EFDO， 四边形DEFO是平行四边形，DEOF，DE 平面ABC，OF 平面ABC， DE平面ABC （2）由已
27、知，OA，OB，OD两两互相垂直，故以OA，OB，OD为x轴，y轴，z轴建立如 图所示的空间直角坐标系Oxyz， 得 (0, 3,0)B ，( 1,0,0)C ，(0, 31, 3)E， ( 1,3,0)BC ，(0, 1, 3)BE ， 设平面BCE的一个法向量为 2 , ,()x y zn， 2 2 0 0 BC BE n n ， 30 30 xy yz ，令1z ，取 2 ( 3, 3,1) n， 又平面ABC的一个法向量 1 (0,0,1)n， 12 12 12 13 cos, |13| n n n n nn ， 又由图知，所求二面角的平面角为锐角，二面角EBCA的余弦值为 13 13
28、 21 【答案】 （1）证明见解析； （2） 15 10 【解析】 （1）取 11 BC中点D，连接DF， 4AB ， 以F为坐标原点，FA，FB，FD的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 1(0,2,4) B，(0,0,0)F， (2 3,0,0)A， (0, 2,1)E ， 1 (0, 2, 4)BF ，(2 3,0,0)FA，(0, 2,1)FE ， 设平面AEF的法向量为 111 ( ,)x y zm， 0FAm ， 0FEm ， 1 11 2 30 20 x yz ， 得 1 0 x ，令 1 2y ，则 1 2z ，(0,1,2)m， 1 2BF m， 1 BFm， 1
29、 BFm， 直线 1 B F 平面AEF （2）( 2 3, 2,1)AE ，(0, 4, 3)BE ， 设平面 1 B AE的法向量为 222 (,)xy zn， 0AEn ， 0BEn ， 222 22 2 320 430 xyz yz ， 令 2 5x ，则 2 3 3y ， 2 4 3z ，( 5,3 3, 4 3) n， 设二面角 1 BAEF的平面角为， 22222 1 3 3+2 ( 4 3)15 cos, | |10 12( 5)(3 3) +(4 3) m n m n mn ， 由图示可知二面角 1 BAEF是锐角， 所以二面角 1 BAEF的余弦值为 15 10 22 【答
30、案】 （1）证明见解析； （2） 3 3 ； （3） 3 10 10 【解析】依题意，以点E为原点建立空间直角坐标系（如图） ， 可得(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P， 由点E为棱PC的中点，得(1,1,1)E， （1）向量(0,1,1)BE ，(2,0,0)DC ，故 0BE DC ，BECD （2）向量( 1,2,0)BD ，(1,0, 2)PB ， 设( , , )x y zn为平面PBD的法向量，则 0 0 BD PB n n ，即 20 20 xy xz ， 不妨令1z ，可得(2,1,1)n为平面PBD的一个法向量， 于是有 23 cos, 3
31、|62 BE BE BE n n n ， 直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 3 3 （3）( 2, 2,2)CP ，(2,2,0)AC ，(1,0,0)AB ， 由点F在棱PC上，故(1 2 ,22 ,2 )BFBCCFBClCPlll， 由BFAC，得+22(12 )(22 =0)ll，解得 3 4 l ，即 1 1 3 (, ) 2 2 2 BF ， 设 1 ( , , )x y zn为平面ABF的法向量，则 1 1 0 0 AB BF n n ，即 0 113 0 222 x xyz ， 不妨令1z ，可得 1 (0, 3,1)n为平面ABF的一个法向量， 取平面PAB的法向量 2 (0,1,0)n，则 12 12 12 33 10 cos, | |1010 n n n n nn ， 易知，二面角FABP是锐角，其余弦值为 3 10 10
