1、 - 1 - 湖南省嘉禾县、临武县 2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题 文 一选择题（共 12题，每题 5 分，共计 60分） 1已知存在性命题 012,: ? xRxp ，则命题 p 的否定是（ ） A 012, ? xRx B对 012, ? xRx C 012, ? xRx D对 012, ? xRx 2. 中 ,?60?B, ,则 Csin( ) A12B32?C32D 2?3.设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 6726aa? ，则 9S 的值为 ( ) A 27 B 36 C 45 D 54 4.“ 20， b0） 的离心率为52 ，则椭圆x2a2y2b2
2、 1的离心率为（ ） A 12 B 33 C 32 D 22 11.有下列四个命题 “若 b 3，则 b2 9”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若 c 1，则 x2 2x c 0有实根”； “若 A B A，则 A?B”的逆否命题 其中真命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 12 若点 O和点 F分别为椭圆 x24y23 1的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意 一点，则 OP FP 的最大值为（ ） A 6 B 3 C 2 D 8 二 填空题（共 4题，每题 5分，共计 20分） 13抛物线 y 4x2的焦点到准线的距离是 _ 14 若变量 x， y满足约束条
3、件? 3x y 0，x 3y 5 0， 则 z x y的最大值为 _ 15 在 ABC中，已知 CBAcba s ins ins in,2 2 ? 则 ABC 的形状为 _. 16. 已知数列 na 满足 *1 1 , lo g ( 1 )( 2 , )nna a n n n N? ? ? ? ?，定义：使乘积 12 ka a a? ? ? 为正整数的 *()k k N? 叫做“简易数”，则在 1,2017 内所有的“简易数”的和为 _ 三、解答题（第 17题 10分，其余每道各题 12分，共 70分） 17、 (本小题满分 10分 ) 已知在 ABC 中，内角 A B C， ，所对边的边长分
4、别是 a b c， ，若 a b c， ，满足- 3 - 2 2 2 3a c b ac? ? ? （ 1）求角 B； http:/ 2）若 2b?， 23c?，求 ABC 的面积。 18（ 12分）已知，命题 p ： 2, 2 0x x ax? ? ? ? ?R ，命题 q 21 3 , , 1 02x x a x? ? ? ? ? ? ? （ 1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （ 2）若命题 q 为真命题，求实数 a 的取值范围； （ 3）若命题“ qp? ”为真命题，且命题“ qp? ”为假命题，求实数 a 的取值范围 19.（ 12 分 )已知双曲线 22: 1( 0
5、, 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 3，实轴长为 2 （ 1）求双曲线 C的方程； （ 2）若直线 y=x+m被双曲线 C截得的弦长为 ,求实数 m的值 . 20.(12分 )某工厂某种产品的年固定成本为 250万元，每生产 x千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时， C(x) 13x2 10x(万元 )当年产量不小于 80 千件时， C(x) 51x10 000x 1 450(万元 )每件商品售价为 0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 写出年利润 L(x)(万元 )关于年产量 x(千件 )的函数解析式； 当年产量为多少千件时，该厂在这一商
6、品的生产中所获利润最大？ 21.(12分 )已知数列 an的前 n项和 Sn 4n，数列 bn满足 b1 3， bn 1 bn (2n 3)(n N*) (1)求数列 an的通项公式； (2)求数列 bn的通项公式； (3)若 cnan bnn ，求数列 cn的前 n项和 Tn. 22. (12分 ) 已知椭圆 C： 22 1 ( 0)xy abab? ? ? ?的离心率为 63，短轴的一个端点到右焦点的| | 4 2AB?- 4 - 距离为 3 (1) 求椭圆 C的方程； (2) 设直线 l与椭圆 C交于 A、 B两点，坐标原点 O到直线 l的距离为 32，求 AOB面积的最大值，并求此时直
7、线 l的方程 - 5 - 期中考试答案 一 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A D B B D C B C C A B 二填空题 13： 2 14： 25 15： 等边三角形 16： 4082 三解答题 17由题目可知 2 2 2 3co s 22a c bB ac? -2分， 故 6B?-3分 （ 2） 2b?， 23c? 2 12 4 3 2 3aa? ? ? ?，即 2 6 8 0aa? ? ?，解得 24aa?或-6分 当 a=2时， S=23 当 a=4时 , S=23 18（ 1） 2 2,2 2? （ 2） 10 , 23?（ 3） 10 , 2
8、 2 ) ( 2 , 2 2 3? ? ? 19 (1)由题意，解得， 2 2 2 2b c a? ? ? 所求双曲线 C的方程为22 12yx ?. ? 5分 (2)? ? ? 022122222 mmxxyx mxy 由弦长公式得 1)2(44224 22 ? mmm ? 12 分 20.解 当 0 x 80 时， L(x) 1 000x 0.05 (13x2 10x) 250 13x2 40x 250. 当 x 80时， L(x) 1 000x 0.05 (51x 10 000x 1 450) 250 1 200 (x 10 000x ) - 6 - L(x)? 13x2 40x 250
9、?0 x 80?，1 200 ?x 10 000x ?x 80?.当 0 x 80时， L(x) 13x2 40x 250. 对称轴为 x 60，即当 x 60时， L(x)最大 950(万元 ) 当 x 80时， L(x) 1 200 (x 10 000x ) 1 200 2 10 000 1 000(万元 )， 当且仅当 x 100时， L(x)最大 1 000(万元 )，综上所述，当 x 100时，年获利最大 21解： (1) Sn 4n， Sn 1 4n 1(n 2)， an Sn Sn 1 4n 4n 1 3 4n 1(n 2) 当 n 1时， 3 41 1 3 S1 a1 4， 当
10、 n 1时 an 4， 当 n 2时， an 3 4n-1. (2) bn 1 bn (2n 3)， b2 b1 -1， b3 b2 1， b4 b3 3，?， bn bn 1 2n 5(n 2) 以上各式相加得 bn b1 -1+1 3 5? (2n 5)（ n-1） (n-3)(n 2) b1 3， bn n2 4n(n 2) 又上式对于 n 1也成立， bn n2 4n(n N*) (3)由题意得当 n=1时， cn -12， 当 n 2时， cn 3(n 4) 4n-1. 当 n=1时 , Tn -12 当 n 2 时， Tn 12 3（ -2） 41 3（ -1） 42 3 1 43
11、? 3(2n 3) 4n 1， 4Tn 48 3（ -2） 42 3（ -1） 43 3 1 44? 3(2n 3) 4n. 相减得 3Tn 12 3 42 3 43? 3 4n 1 3(2n 3) 4n. Tn (n-4) 4n (4 42 43? 4n 1) 4+(3n-13) 4n /3 又上式对于 n 1也成立， 综上 Tn 4+(3n-13) 4n /3 - 7 - 22解： (1) 由题意得 633caa? ? 32ac? ? 221b a c? ? ? 椭圆 C的方程为 2 2 13x y? 3分 (2) 当 AB x 轴时， | | 3AB? ， 当 AB与 x轴不垂直时，设直
12、线 l的方程为 y kx m? O到 l的距离为 32 2| | 321mk ? 22 3( 1)4km ? 4分 联立2233y kx mxy?，消去 y得 2 2 2(3 1) 6 3 ( 1) 0k x km x m? ? ? ? ? 5分 直线 l与椭圆相交 2 2 2 23 6 1 2 (3 1)( 1) 0k m k m? ? ? ? ? ? 即 223 1 0km? ? ? 6分 设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），则 21 2 1 2226 3 ( 1 )3 1 3 1k m mx x x xkk ? ? ? ?， 7分 22 2 21 2 1 2 1 2 226
13、 1 2 ( 1 )( ) ( ) 4 ( )3 1 3 1k m mx x x x x x kk ? ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2 21 2 (3 1) 2 7 3(3 1) (3 1)k m kkk? ? ? 8分 2 2 22 2 2 212 2 2 2 22 7 3 3 ( 9 1 0 1 )| | (1 ) ( ) (1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 )k k kA B k x x k kk? ? ? ? ? ? ? ? 9分 2 2 2 22 2 2 2 223 ( 3 1 ) 4 1 2 1 23 3 ( 0 )1( 3 1 ) ( 3 1 )96k k k kkkk k? ? ? ? ? ?2 2123412 9 6k k? ? ? 10分 当且仅当 2m a x2139 | | 23k k A Bk? ? ? ?， 即 时 ，当 k = 0 时，求得 | | 3AB? 综上可知， max| | 2AB ? ，此时 AOB的面积最大，为m ax 1 3 322 2 2S ? ? ? ?， 直线 l的方程为 3 13y? ?. 12
