1、 1 2016-2017 学年第二学期期中考试 B 卷 高二数学（理） 一选择题（ 5分 12=60 分）在每小题给出的四个选项只有一个正确。 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 选项 A,(x+)=1 ? ，故错误； 选项 B,(log2x)= ，故正确； 选项 C,( )=3 xln3，故错误； 选项 D,(x2cosx)=2 xcosx?x2sinx，故错误。 故选： B 2. 曲线 在点（ 1， 3）处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：由题： ，求导： 点处的（ 1， 3）切线斜率为；则切线方程为：
2、 考点：曲线上某点处切线方程的算法 . 3. 由 “ 若 ，则 ” 推理到 “ 若 ，则 ” 是（ ） A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D. 不是推理 【答案】 B 【解析】 根据归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理， 由 “ 若 ab，则 a+cb+c” 推理到 “ 若 ab，则 acbc” 是由特殊到特 殊的推理， 所以它是类比推理。 2 故选： B. 4. 已知三棱锥 ，点 分别为 的中点，且 ，用 ， ， 表示 ，则 等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ，故选 D. 5. 若 ，则 （ ）
3、 A. ?3 B. ?6 C. ?9 D. ?12 【答案】 D 【解析】试题分析： 。故选 D。 考点：导数的概念 点评：本题结合导数的公式： 求解。 6. 若 ，则实数 等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：解：因为 ，所以 ，所以， 故选 A. 考点：定积分 . 7. 曲线的极坐标方程 化为直角坐标方程为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】 B 【解析】此题考查极坐标方程的知识 答案 B 点评：通过极坐标的公式就可以直接转化 8. 如图，函数 的图象在点 P处的切线方程是 ，则 ( ) A. B. C. 2 D. 0 【答案】 C 【解析】试题分
4、析：函数 的图象在点 P处的切线方程是 ，所以，在 P处的导数值为切线的斜率， 2，故选 C。 考点：本题主要考查导数的几何意义。 点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值。 9. 函数 的极大值为 ，那么 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析： 函数 f（ x） =2x3-3x2+a，导数 f （ x） =6x2-6x，令 f （ x） =0，可得 x=“0“ 或 x=1，导数在 x=“0“ 的左侧大于 0，右侧小于 0，故 f（ 0）为极大值 f（ 0）=a=6导数在 x=“1“ 的左侧小于 0，右侧大于 0，故 f（ 1）为极小值故选： C 考点：
5、函数在某点取得极值的条件 10. 函数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】 A 【解析】 令 y= = =0， x=e， 当 xe时， y0 ， y极大值 =f(e)=1e， 在定义域内只有一个极值， 所以 ymax=， 故答案选 A. 11. 若 ，则 等于 （ ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】 B 【解析】试题分析： ，当 时， ，解得 ，所以 ，那么 ，故选 B. 考点：导数 12. 由曲线 ，直线 及 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】 A 【解析】 试题分析： 试题解析： 5 联立方程 得到两曲线的交点
6、(4,2)， 因此曲线 ，直线 y=x?2及 y轴所围成的图形的面积为： S= = = .故选 C. 点睛：将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来 ,定积分的上下限就是曲线的端点 .用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积 ! 二填空题。（ 5分 4=20 分） 13. 若 ，且 与 互相垂直，则 的值是 _。 【答案】 【解析】 由已知，据向量坐标的线性运算可得 ， ，两向量互相垂直，则数量积为 则有 ，解得 故本题填 14. 若曲线： 在点 处的切线与直线 垂直，则=_ 【答案】 【解析】试题分析： 的导数为 ，即又曲线在点 处的切线斜率为 ，由于切线与直线 垂直，则 考点：利
7、用导数研究曲线上某点切线方程 15. 若 在 不是 单调函数，则 的范围是 _. 【答案】 【解析】试题分析： ，由于函数 在 不是单调函数，因此 ，解得 或 . 考点：函数单调性的应用 . 16. 已知 ，观察下列不等式： ， ， ? ，则第 个不等式为 _. 【答案】 6 【解析】试题分析： ， ， 猜想第 n个不等式为考点：本题考查了归纳推理 点评：掌握归纳推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题 三解答题。 17. 已知 的图象经过点 ，且在 处的切线方程是 . （ 1）求 的解析式；（ 2）求 的单调递增区间 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 和 . 【解析】 试题分析：（ 1）
8、的图象经过点 ，得 c=1，由导数的几何意义得 f （ 1） =3a+2b=1，易求切点（ 1， 1），代入函数解析式可得 a+b+1=1，联立可解； （ 2）解不等式 f （ x） 0可得增区间，注意写成区间形式； 试题解析： （ 1） ，由已知得 ，解得 ， . （ 2） ，令 可解得 或 . 所以函数 的单调递增区间为 和 . 18. 已知函数 . （ 1）求函数 的单调递增区间； （ 2）求函数 在 的最大值和最小值 . 【答案】 (1) 和 ； (2) 当 或 时，函数 取得最小值 . 当 或 时，函数 取得最大值 . 【解析】本试题主要是考查了导数来判定函数的单调区间，并能求解函数
9、给定闭区间的最值问题。基本题型，需要熟练掌握。 7 解： (1) . 令 , 解此不等式，得 . 因此，函数 的单调增区间为 . (2) 令 ,得 或 . 当 变化时， ， 变化状态如下表： -2 -1 1 2 + 0 - 0 + -1 11 -1 11 从表中可以看出，当 时，函数 取得最小值 . 当 时，函数 取得最大值 11. 19. 证明不等式： 。 【答案】 见解析 【解析】 试题分析：构造新函数 y ，研究单调性及最值，判断与零的关系 . 试题解析： 证明：设函数 当 时， ， ，故 在 递增； 当 时， ， ，故 在 递减； ,又 ， ，即 ，故 。 20. 如图，四棱锥 的底面
10、为矩形， 是四棱锥的高， 与 所成角为 ， 是的中点， 是 上的动点 . （ ）证明： ； 8 （ ）若 ，求直线 与平面 所成角的大小 . 【答案】 （ ）见解析；（ ） . 【解析】试 题分析：（ 1）证明直线 可证明 ，即证明 ；（ 2）首先求解平面 的法向量和直线 的方向向量，通过 求解线面角 试题解析：（ 1） 建立如图所示空间直角坐标系 设 ， 则 ， ， 于是， ， ，则 ， 所以 （也可不用坐标系，证明 AF 垂直平面 PBC即可）。 （ 2）若 ，则 ， ， 设平面 的法向量为 ，由 ，得： ，令 ，则 ，于是 ，而 设 与平面 所成角为 ，所以 ，所以 与平面 所成角 为
11、考点：直线垂直的判定；直线与平面所成角 9 21. 已知曲线 在点 处的切线的斜率为 1 （ 1）若函 数 f（ x）的图象在 上为减函数，求 的取值范围； （ 2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围 【答案】 （ 1） ；（ 2） 【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，对 求导，根据函数的单调性将函数 f（ x）的图象在 上为减函数，转化为在 上恒成立，转化为 的最大值小于等于 0成立即可；第二问，当 时，不等式 恒成立，转化为构造 在 上恒有 ，再利用分类讨论的方
12、法，利用 最大值问题求解 即可 试题解析：（ 1）因为 ，由题可知 ， （ 2）令 当 ，即 ， ， 在 上递减，则 符合 当 时， 在 递增， ，矛盾， 当 时， 且 ，矛盾， 综上 a的取值范围是 考点：利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性 请考生在第 22、 23题中任选一题做答 ,如果多做 ,则按所做的第一题记分 .做答时请写清题号 . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 . （ 1）求曲线 的直角坐标方程； （ 2）若直线的参数方程为 （为参数），设点 ，直线与曲线 相交
13、于 两点，10 求 的值 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2） 联立直线线 l的参数方程与曲线 C方程，巧解韦达定理表示 ，解得其值 . 试题解析： （ 1）由曲线 C的原极坐标方程可得 ， 化成直角方程为 （ 2）联立直线线 l的参数方程与曲线 C方程可得 ， 整理得 ， ，于是点 P在 AB之间， 点睛： 过定点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线参数方程的标准形式为 (t为参数 )， t的几何意义是直 线上的点 P到点 P0(x0， y0)的数量，即 t |PP0|时为距离使用该式时直线上任意两点 P1， P2对应的参数分别为 t1， t2，则 |P1P2| |t1 t2|， P1P2的中点对应的参数为 (t1 t2) 23. 选修 4-5：不等式选讲 设函数 . （ 1）求不等式 的解集； （ 2）若 存在实数解，求实数 的取值范围 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）分段去绝对值解不等式； （ 2） 存在实数解转化为 ，只需 . 试题解析： （ 1） 即 ， 可化为 ，或 ， 或 ，
