1、 1 2020 年中考数学试题分类汇编之十 相似三角形 一、选择题 9 （2020 成都） （3 分）如图，直线 123 / / /lll，直线AC和DF被 1 l， 2 l， 3 l所截，5AB ， 6BC ，4EF ，则DE的长为( ) A2 B3 C4 D10 3 解：直线 123 / / /lll， ABDE BCEF ， 5AB ，6BC ，4EF ， 5 64 DE ， 10 3 DE， 选：D 10 （2020 哈尔滨） （3 分）如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边 上，过点E作/ /EFBC，交AD于点F，过点E作/ /EGAB，交BC于点G，则下列式子
2、一定正确的是( ) A AEEF ECCD B EFEG CDAB C AFBG FDGC D CGAF BCAD 解：/ /EFBC， AFAE FDEC ， / /EGAB， AEBG ECGC ， AFBG FDGC ， 故选：C 2 8. （2020 河北） 在如图所示的网格中， 以点O为位似中心， 四边形ABCD的位似图形是 （ ） A. 四边形NPMQ B. 四边形 NPMR C. 四边形NHMQ D. 四边形 NHMR 解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ 故选：A 12. （2020 四川绵阳） 如图， 在四边形 ABCD 中， ADBC,ABC=90， AB
3、=2 7,AD=2,将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转后得A B C, 当A B恰好过点 D 时，B CD为等腰三角形，若BB=2,则 AA=（ ） A. 11 B.2 3 C.13 D.14 【解析】A. 解：过点 D 作 DEBC 于点 E.则 BE=AD=2,DE=AB=2 7, 设 BC=BC=x，CE=x-2. B CD为等腰三角形， BC=BD=x,DBC=90 DC=2x 3 在 RTDCE 中，由勾股定理得： 222 DCDECE, 即： 222 2 )(2 7)(2)xx（，解得： 1 4x ， 2 -8x （舍去） 。 在 RTABC 中，AC= 22 ABBC= 22 (
4、2 7)4=2 11 由旋转得：BC=BC,AC=A C,A CAB CB A CAB CB AABB ACBC ,即： 2 42 11 AA 11AA .故选 A. 10.（2020 无锡）如图，等边ABC的边长为 3，点D在边AC上， 1 2 AD ，线段PQ在 边BA上运动， 1 2 PQ ，有下列结论： CP与QD可能相等；AQD与BCP可能相似；四边形PCDQ面积的最大值为 31 3 16 ；四边形PCDQ周长的最小值为 37 3 2 其中，正确结论的序号为（ ） A. B. C. D. 解：线段PQ在边BA上运动， 1 2 PQ ， QDPAPC, CP与QD不可能相等，则错误；
5、设AQ x ， 1 2 PQ ，3AB ， 1 3-=2.5 2 AQ0，即2.5x0， 假设AQD与BCP相似， A=B=60 ， 4 ADAQ BPBC ，即 1 2 1 3 3 2 x x ， 从而得到 2 2530 xx，解得1x 或1.5x （经检验是原方程的根） ， 又2.5x0， 解得的1x 或1.5x 符合题意， 即AQD与BCP可能相似，则正确； 如图，过 P 作 PEBC 于 E，过 F 作 DFAB 于 F， 设AQx， 由 1 2 PQ ，3AB ，得 1 3-=2.5 2 AQ0，即2.5x0， 1 3 2 PBx， B=60 ， 31 3 22 PxE ， 1 2
6、AD ，A =60 ， 1 2 33 24 DF , 则 11313 35 33 222242 PBC SBCPExx ， 1133 2248 DAQ SAQDFxx ， 四边形PCDQ面积为： 13 33 3533 35 3 3+ 2242888 ABCPBCDAQ SSSxxx , 又 2.5x0， 当2.5x时，四边形PCDQ面积最大，最大值为： 3 35 331 3 +2.5= 8816 ， 即四边形PCDQ面积最大值为 31 3 16 ， 5 则正确； 如图，作点 D 关于直线AB的对称点 D1，连接 D D1，与AB相交于点 Q，再将 D1Q 沿着 AB向 B 端平移PQ个单位长度
7、，即平移 1 2 个单位长度，得到 D2P，与AB相交于点 P，连 接 PC， D1Q=DQ=D2P， 112 1 2 ADD DAD，且AD1D2=120 ， 此时四边形PCDQ的周长为： 2 CPDQCDPQCDCDPQ，其值最小， D1AD2=30 ，D2A D=90 ， 2 3 2 AD ， 根据股股定理可得， 2 22 2 22 339 =3= 22 CDACAD ， 四边形PCDQ的周长为： 2 391139 33 2222 CPDQCDPQCDCDPQ , 则错误，所以可得正确，故选：D 8. （2020 重庆 A 卷） 如图， 在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是(1,2
8、)A，(1,1) B ， (3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形， 且相似比为 2：1，则线段 DF 的长度为（ ） 6 O F E D C B A A. 5 B. 2 C. 4 D. 2 5 解：以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF 与ABC 成位似图形，且相 似比为 2：1， 而 A（1，2） ，C（3，1） ， D（2，4） ，F（6，2） ， DF 22 2642 =2 5， 故选：D 6.（2020 重庆 B 卷）如图，ABC 与DEF 位似，点 O 为位似中心.已知 OAOD=12， 则ABC 与DEF 的面积比为（ ） A.
9、 12 B. 13 C. 14 D.15 .答案 C. 6.(2020 甘肃定西）生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部 以下a与全身b的高度比值接近 0.618， 可以增加视觉美感.若图中b为 2 米， 则a约为 （ ） A.1.24 米 B.1.38 米 C.1.42 米 D.1.62 米 答案：A 7 （2020 四川遂宁） （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC 的平分线交 AC 于点 E， 交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，若 AF2FD，则 的值为（ ） A1 2 B1 3 C2 3 D3 4 解：由 AF2DF，可以假设 DFk
10、，则 AF2k，AD3k， 7 四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD，ABCD， AFBFBCDFG，ABFG， BE 平分ABC，ABFCBG， ABFAFBDFGG， ABCD2k，DFDGk，CGCD+DG3k， ABDG，ABECGE， = = 2 3 = 2 3， 故选：C 9 （2020 广西南宁） （3 分）如图，在ABC 中，BC120，高 AD60，正方形 EFGH 一 边在 BC 上，点 E，F 分别在 AB，AC 上，AD 交 EF 于点 N，则 AN 的长为（ ） A15 B20 C25 D30 解：设正方形 EFGH 的边长 EFEHx， 四边 EFGH
11、 是正方形，HEFEHG90，EFBC， AEFABC， AD 是ABC 的高，HDN90， 四边形 EHDN 是矩形，DNEHx， AEFABC，（相似三角形对应边上的高的比等于相似比） ， BC120，AD60，AN60 x， ，解得：x40， AN60 x604020 故选：B 11（2020广西玉林）（3分）（2020玉林） 一个三角形木架三边长分别是75cm， 100cm， 120cm， 现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为 60cm 和 120cm 的两根木条要求以 其中一根为一边， 从另一根截下两段作为另两边 （允许有余料） ， 则不同的截法有 （ ） A一种 B两种 C
12、三种 D四种 解：长 120cm 的木条与三角形木架的最长边相等，则长 120cm 的木条不能作为一边， 8 设从 120cm 的木条上截下两段长分别为 xcm，ycm（x+y120） ， 由于长 60cm 的木条不能与 75cm 的一边对应，否则 x、y 有大于 120cm， 当长 60cm 的木条与 100cm 的一边对应，则 75 = 120 = 60 100， 解得：x45，y72； 当长 60cm 的木条与 120cm 的一边对应，则 75 = 100 = 60 120， 解得：x37.5，y50 答：有两种不同的截法：把 120cm 的木条截成 45cm、72cm 两段或把 120
13、cm 的木条截成 37.5cm、50cm 两段 故选：B 11 （2020 贵州遵义） （4 分）如图，ABO 的顶点 A 在函数 y= （x0）的图象上，ABO 90， 过 AO 边的三等分点 M、 N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P、 Q 若四边形 MNQP 的面积为 3，则 k 的值为（ ） A9 B12 C15 D18 解：NQMPOB，ANQAMPAOB， M、N 是 OA 的三等分点， = 1 2， = 1 3， = 1 4， 四边形 MNQP 的面积为 3， 3: = 1 4， SANQ1， 1 =（ ） 2=1 9， SAOB9， k2SAOB18， 故选：D 6 （
14、3 分） （2020荆门）ABC 中，ABAC，BAC120，BC23，D 为 BC 的中点， 9 AE= 1 4AB，则EBD 的面积为（ ） A33 4 B33 8 C 3 4 D 3 8 解：连接 AD，作 EFBC 于 F， ABAC，BAC120，D 为 BC 的中点， ADBC，AD 平分BAC，BC30 在 RtABD 中，BD= 1 2BC= 3，B30， AB= 30 = 3 3 2 =2，AD= 1 2 =1， AE= 1 4AB， = 3 4， EFBC，ADBC，EFAD， BEFBAD， = ， 1 = 3 4EF= 3 4， SBDE= 1 2 = 1 2 3 3
15、4 = 33 8 ， 选：B 5 （2020 山西） （3 分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命 题的证明泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算 出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ） A图形的平移 B图形的旋转 C图形的轴对称 D图形的相似 选：D 10 （2020 浙江温州） （4 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，以其三边为边向外作 10 正方形， 过点 C 作 CRFG 于点 R， 再过点 C 作 PQCR 分别交边 DE， BH 于点 P， Q 若 QH2PE，PQ15，则 CR 的长为（ ） A14 B15
16、C83 D65 解：如图，连接 EC，CH设 AB 交 CR 于 J 四边形 ACDE，四边形 BCJHD 都是正方形， ACEBCH45， ACB90，BCI90， ACE+ACB+BCH180，ACB+BCI90 B，C，H 共线，A，C，I 共线， DEAIBH，CEPCHQ， ECPQCH，ECPHCQ， = = = 1 2， PQ15，PC5，CQ10， EC：CH1：2， AC：BC1：2，设 ACa，BC2a， PQCRCRAB，CQAB， ACBQ，CQAB， 四边形 ABQC 是平行四边形，ABCQ10， AC2+BC2AB2，5a2100， a22（负根已经舍弃） ， AC
17、25，BC45， 1 2ACBC= 1 2ABCJ， 11 CJ= 2545 10 =4， JRAFAB10， CRCJ+JR14， 故选：A 12 （2020 海南） （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC10，点 E、F 在 AD 边上， BF 和 CE 交于点 G，若 EFAD，则图中阴影部分的面积为（ ） A25 B30 C35 D40 解：过点 G 作 GNAD 于 N，延长 NG 交 BC 于 M， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ADBC， EFAD，EFBC， ADBC，NGAD， EFGCBG，GMBC， GN：GMEF：BC1：2， 又MNBC6， GN2
18、，GM4， SBCG10420， SEFG525，S矩形ABCD61060， S阴影6020535 故选：C 12 二、填空题 15 （2020 广州） 如图 7， 正方形 ABCD 中， ABC 绕点 A 逆时针旋转到AB C ， AB ， AC 分别交对角线 BD 于点 E，F，若4AE ，则EF ED的值为 * 【答案】16. 提示：由EAFEDA,得到：EF EA EAED ,所以： 2 EAEF ED,EF ED =16 14.（2020河南）如图，在边长为2 2的正方形ABCD中，点 ,E F分别是边,AB BC的中 点， 连接,EC FD点,G H分别是,EC FD的中点， 连接
19、GH， 则GH的长度为_ 【答案】1 【详解】 过 E作EPDC， 过 G作GQDC， 过 H 作HRBC， 垂足分别为 P， R， R， HR与GQ相交于 I，如图， 图7 F B E C D CB A 13 四边形 ABCD是正方形， 2 2ABADDCBC ， 90AADC ， 四边形 AEPD 是矩形， 2 2EPAD ， 点 E，F分别是 AB，BC边的中点， 1 2 2 PCDC， 1 2 2 FCBC EPDC，GQ DC ，GQEP/ 点 G是 EC 的中点，GQ是EPC的中位线， 1 2 2 GQEP， 同理可求： 2HR ， 由作图可知四边形 HIQP 是矩形， 又 HP=
20、 1 2 FC，HI= 1 2 HR= 1 2 PC， 而 FC=PC， HI HP， 四边形 HIQP 是正方形， 2 2 IQHP， 22 2 22 GIGQIQHI HIG 是等腰直角三角形， 21GHHI 故答案为：1 16.(2020 苏州）如图，在ABC中，已知2AB ，ADBC，垂足为D，2BDCD若 E是AD的中点，则EC _ 14 【详解】2BDDC2 BD DC E为AD的中点，2ADDE， 2 AD DE ，2 BDAD DCDE ， ADBC90ADBEDC ADBEDC2 ABBD ECDC 2AB 1EC 故答案为：1 17(2020 苏州）.如图，在平面直角坐标系
21、中，点A、B的坐标分别为4,0、0,4，点 3,Cn在第一象限内，连接AC、BC已知2BCACAO ，则n_ 【答案】 14 5 解：如图，过点 C 作 CDy 轴，交 y 轴于点 D，则 CDAO， DCECAO， BCA2CAO， BCA2DCE， 15 DCEDCB， CDy 轴， CDECDB90 ， 又CDCD， CDECDB（ASA） ， DEDB， B（0，4） ，C（3，n） ， CD3，ODn，OB4， DEDBOBOD4n， OEODDE n（4n） 2n4， A（4，0） ， AO4， CDAO， AOECDE， AOOE CDDE ， 424 34 n n ， 解得：
22、14 5 n ，故答案：14 5 15. （2020 乐山） 把两个含30角的直角三角板按如图所示拼接在一起， 点E为AD的中点， 连结BE交AC于点F则 AF AC =_ 解:连接 CE，设 CD=2x， 在 RtACD 和 RtABC 中，BAC=CAD=30 ， D=60 ，AD=4x，AC= 22 2 3ADCDx ， BC= 1 2 AC= 3x，AB= 22 3ACBC x， 16 点 E 为 AD 的中点， CE=AE=DE= 1 2 AD=2x， CED 为等边三角形， CED=60 ， BAD=BAE+CAD=30 +30 =60 ， CED=BAD， ABCE， AFBF
23、CFEF ， 在 BAE 中，BAE=CAD=30 AF 平分BAE， 33 22 ABBFx AEEFx ， 3 2 AFBF CFEF ， 3 5 AF AC ， 故答案为： 3 5 . 18.（2020 无锡）如图，在Rt ABC中，90ACB，4AB ，点D，E分别在边AB， AC上，且2DBAD，3AEEC连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值 为_ 解：如图 1，作 DGAC，交 BE 于点 G， ,BDGBAEODGOCE， 2 , 3 DGBD AEAB 1 3 CE AE , 2 2 1 DG CE ODGOCE =2 DGOD CEOC 17 2 3 ODCD AB
24、=4 2 3 ABOABC SS 若ABO面积最大，则 ABC面积最大， 如图 2，当点 ABC 为等腰直角三角形时，ABC面积最大，为 1 4 2=4 2 ， ABO面积最大值为 28 4= 33 + 故答案为： 8 3 14 （2020 上海） （4 分） 九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直 径 AB 交于点 E， 如果测得 AB1.6 米， BD1 米， BE0.2 米， 那么井深 AC 为 7 米 解：BDAB，ACAB， BDAC，ACEDBE， = ， 1 = 1.4 0
25、.2， 18 AC7（米） ， 答：井深 AC 为 7 米 12 （2020 吉林） （3 分）如图，ABCDEF若，BD5，则 DF 10 解：ABCDEF， ， DF2BD2510 故答案为 10 13 （2020 吉林） （3 分）如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点若ADE 的面积为，则四边形 DBCE 的面积为 解：D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点， DE 是ABC 的中位线， DEBC，DEBC， ADEABC， （）2（）2， ADE 的面积为， ABC 的面积为 2， 四边形 DBCE 的面积2， 故答案为： 7 （2020 黑龙江牡丹江） （
26、3 分）如图，在Rt ABC中，90C，点E在AC边上将A 沿直线BE翻折，点A落在点 A 处，连接A B，交AC于点F若A EAE， 4 cos 5 A ， 则 A F BF 1 3 19 【解答】解：90C， 4 cos 5 A ， 4 5 AC AB ，设4ACx，5ABx，则3BCx， AEAE，90AEA ，/ /A EBC， 由于折叠， (36090)2135AEBAEB ，且A EFBCF， 45BEC，即BCE为等腰直角三角形， 3ECx， AEACECxA E， 1 33 A EA Fx BCBFx ， 故答案为： 1 3 8 （2020 黑龙江牡丹江） （3 分）如图，在R
27、t ABC中，CACB，M是AB的中点，点D 在BM上，AECD，BFCD，垂足分别为E，F，连接EM则下列结论中： BFCE； AEMDEM； 2AECEME； 222 2DEDFDM； 若AE平分BAC，则:2 :1EF BF ； CF DMBM DE， 正确的有 （只填序号） 20 解：90ACB，90BCFACE ， 90BCFCBF，ACECBF ， 又90BFDAEC ，ACBC，()BCFCAE AAS ， BFCE，故正确； 由全等可得：AECF，BFCE，AECECFCEEF， 连接FM，CM， 点M是AB中点， 1 2 CMABBMAM，CMAB， 在BDF和CDM中，BF
28、DCMD ，BDFCDM ， DBFDCM ， 又BMCM，BFCE，()BFMCEM SAS ， FMEM，BMFCME ， 90BMC，90EMF，即EMF为等腰直角三角形， 2EFEMAECE，故正确，45MEFMFE ， 90AEC，45MEFAEM ，故正确， 设AE与CM交于点N，连接DN， DMFNME ，FMEM，45DFMDEMAEM ， ()DFMNEM ASA ， DFEN，DMMN，DMN为等腰直角三角形， 2DNDM，而90DEA， 2222 2DEDFDNDM，故正确； ACBC，90ACB，45CAB， AE平分BAC，22.5DAECAE ，67.5ADE， 4
29、5DEM，67.5EMD，即DEEM， AEAE，AEDAEC ，DAECAE ，()ADEACE ASA ， DECE， MEF为等腰直角三角形， 2EFEM， 2 2 EFEFEFEM BFCEDEDE ，故正确； CDMADE ，90CMDAED ， 21 CDMADE， CDCMDM ADAEDE ， BMCM，AECF， BMDM CFDE ， CF DMBM DE，故正确； 故答案为： 15 （2020 山西） （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3， BC4， CDAB， 垂足为 D， E 为 BC 的中点， AE 与 CD 交于点 F， 则 DF 的长为 解：如
30、图，过点 F 作 FHAC 于 H 在 RtABC 中，ACB90，AC3，BC4， AB5， CDAB， SABCACBCABCD， CD，AD， FHEC， ECEB2， ，设 FH2k，AH3k，CH33k， tanFCH， ，k， 22 FH，CH3， CF， DF， 故答案为 17 （2020 四川眉山） （4 分）如图，等腰ABC 中，ABAC10，边 AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AC 于点 E若ABD 的周长为 26，则 DE 的长为 解：边 AC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AC 于点 E， AED90，AECEAC5，ADCD， DACC， ABD 的周
31、长为 26，AB+BD+ADAB+BD+CDAB+BC26， ABAC10，BC16，BC， BDAC， ABCDAC， 作 AMBC 于 M， ABAC，BMBC8， AM6， ， DE， 16 （2020 浙江温州） （5 分）如图，在河对岸有一矩形场地 ABCD，为了估测场地大小，在 笔直的河岸 l 上依次取点 E，F，N，使 AEl，BFl，点 N，A，B 在同一直线上在 F 点观测 A 点后，沿 FN 方向走到 M 点，观测 C 点发现12测得 EF15 米，FM 2 米，MN8 米，ANE45，则场地的边 AB 为 152 米，BC 为 202 米 23 【解答】解：AEl，BFl
32、， ANE45， ANE 和BNF 是等腰直角三角形， AEEN，BFFN， EF15 米，FM2 米，MN8 米， AEEN15+2+825（米） ，BFFN2+810（米） ， AN252，BN102， ABANBN152（米） ； 过 C 作 CHl 于 H，过 B 作 PQl 交 AE 于 P，交 CH 于 Q， AECH， 四边形 PEHQ 和四边形 PEFB 是矩形， PEBFQH10，PBEF15，BQFH， 12，AEFCHM90， AEFCHM， = = 25 15 = 5 3， 设 MH3x，CH5x， CQ5x10，BQFH3x+2， APBABCCQB90， ABP+P
33、ABABP+CBQ90， PABCBQ， APBBQC， = ， 15 3:2 = 15 5;10，x6， 24 BQCQ20， BC202， 故答案为：152，202 三、解答题 19(2020 杭州)（8 分）如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DE AC，EFAB （1）求证：BDEEFC （2）设 = 1 2， 若 BC12，求线段 BE 的长； 若EFC 的面积是 20，求ABC 的面积 【解答】 （1）证明：DEAC，DEBFCE， EFAB，DBEFEC， BDEEFC； （2）解：EFAB， = = 1 2， ECBCBE12BE， 12; =
34、1 2，解得：BE4； = 1 2， = 2 3， EFAB，EFCBAC， =（ ） 2（2 3） 2=4 9， SABC= 9 4SEFC= 9 4 2045 23 （2020 安徽） （14 分）如图 1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， AEADEC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AFAB （1）求证：BDEC； 25 （2）若1AB ，求AE的长； （3）如图 2，连接AG，求证：2EGDGAG （1）证明：四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上， 90EAFDAB ， 又AEAD，AFAB， ()AEFADB SAS ， AEFADB， 90GEBGBEAD
35、BABD ， 即90EGB， 故BDEC， （2）解：四边形ABCD是矩形， / /AECD， AEFDCF ，EAFCDF ， AEFDCF， AEAF DCDF ， 即AE DFAF DC， 设(0)AEADa a，则有(1)1a a ，化简得 2 10aa ， 解得 15 2 a 或 15 2 （舍去） ， 15 2 AE （3）如图，在线段EG上取点P，使得EPDG， 26 在AEP与ADG中，AEAD，AEPADG ，EPDG， ()AEPADG SAS ， APAG，EAPDAG ， 90PAGPADDAGPADEAPDAE ， PAG为等腰直角三角形， 2EGDGEGEPPGAG
36、 25 （2020 成都） （4 分）如图，在矩形ABCD中，4AB ，3BC ，E，F分别为AB，CD 边的中点动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运 动， 连接PQ， 过点B作BHPQ于点H， 连接DH 若点P的速度是点Q的速度的 2 倍， 在点P从点E运动至点A的过程中， 线段PQ长度的最大值为 3 2 ， 线段DH长度的最 小值为 解： 连接EF交PQ于M， 连接BM， 取BM的中点O， 连接OH，OD， 过点O作ONCD 于N 四边形ABCD是矩形，DFCF，AEEB， 四边形ADFE是矩形， 3EFAD， / /FQPE，MFQMEP， MFFQ M
37、EPE ， 2PEFQ， 2EMMF， 27 2EM，1FM ， 当 点P与A重 合 时 ，PQ的 值 最 大 ， 此 时 2222 222 2PMAEME， 2222 112MQFQMF， 3 2PQ， / / /MFONBC，MOOB， 1FNCN，3DNDFFN， 1 ()2 2 ONFMBC， 2222 3213ODDNON， BHPQ， 90BHM， OMOB， 22 11 222 22 OHBM， DH ODOH， 132DH， DH的最小值为132， 故答案为3 2，132 23.（2020 福建）如图，C为线段AB外一点 （1）求作四边形ABCD，使得/CDAB，且2CDAB；
38、 （要求：尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹） 28 （2） 在 （1） 的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为,M N， 求证：, ,M P N三点在同一条直线上 解： （1） 则四边形ABCD就是所求作的四边形 （2）ABCD， ABPCDP，BAPDCP， ABPCDP， ABAP CDCP = ,M N分别为AB，CD的中点， 2ABAM，2CDCN， AMAP CNCP 连接MP，NP，又BAPDCP， APMCPN，APMCPN， 点P在AC 上 180APMCPM，180CPNCPM， , ,M P N三点在同一条直线上 26. （2020 河北） 如图
39、 1 和图 2， 在ABC中，ABAC，8BC ， 3 tan 4 C 点K在AC 边上， 点M，N分别在AB，BC上， 且2AMCN 点P从点M出发沿折线MBBN 匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB 29 （1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将ABC面积分成上下 4：5 两部分时，求MP的长； （3）设点P移动的路程为x，当03x及39x时，分别求点P到直线AC的距离 （用含x的式子表示） ； （4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ扫描APQ区域（含边界） ，扫描器随 点P从M到B再到N共用时 36 秒若
40、9 4 AK ，请直接 写出点K被扫描到的总时长 （1）当点P在BC上时，PABC 时 PA 最小， AB=AC， ABC 为等腰三角形， PAmin=tanC 2 BC = 3 4 4=3； （2）过 A 点向 BC 边作垂线，交 BC 于点 E， S上=S APQ， S下=S四边形BPQC， APQB ， PQBC， APQABC， APADPQ ABACBC ， 2 APQ ABC S AP SAB ， 30 当 S S 上 下 = 4 5 时， 2 4 = 9 APQ ABC S AP SAB ， 2 3 AP AB ， AE= 2 BC tan3C ， 根据勾股定理可得 AB=5，
41、22 53 APMP AB ， 解得 MP= 4 3 ； （3）当 0 x3 时，P 在 BM 上运动， P 到 AC 的距离：d=PQ sinC， 由（2）可知 sinC= 3 5 ， d= 3 5 PQ， AP=x+2， 2 5 APxPQ ABBC ， PQ= 2 8 5 x ， d= 23 8 55 x = 2448 2525 x， 当 3x9 时，P 在 BN 上运动， BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x， d=CP sinC= 3 5 （11-x）=- 3 5 x+ 33 5 ， 综上 2448 03 2525 333 39 55 xx d xx ； （4）AM=2AQ=
42、 9 4 ， 移动的速度= 9 36 = 1 4 ， 31 从 Q 平移到 K，耗时： 9 2 4 1 4 =1 秒， P 在 BC 上时，K 与 Q 重合时 CQ=CK=5- 9 4 = 11 4 ， APQ+QPC=B+BAP，APQB QPC=BAP， 又B=C， ABPPCQ， 设 BP=y，CP=8-y， ABBP PCCQ ，即 5 11 8 4 y y ， 整理得 y2-8y= 55 4 ， （y-4）2= 9 4 ， 解得 y1= 5 2 ，y2= 11 2 ， 5 2 1 4 =10 秒， 11 2 1 4 =22 秒， 点K被扫描到的总时长 36-（22-10）-1=23
43、秒 23.（2020 江西） 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图 1 中所示的“由直角 三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 1 S， 2 S， 3 S之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究类比探究 32 （1） 如图 2， 在R t A B C中，BC为斜边， 分别以,AB AC BC为斜边向外侧作Rt ABD， Rt ACE，Rt BCF， 若123 ， 则 面 积 1 S， 2 S， 3 S之 间 的 关 系 式 为 ； 推广验证推广验证 （2） 如图 3， 在R t A B C中，BC为斜边， 分别以,AB AC BC为边向外侧作任意ABD， ACE，BCF，满足123
44、 ，DEF ，则（1）中所得关系式是否仍 然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用拓展应用 （3） 如图 4， 在五边形ABCDE中，105AEC ，90ABC，2 3AB ， 2DE ，点P在AE上，30ABP，2PE ，求五边形ABCDE的面积. 【解析】 （1） 123; SSS （2）成立；1=2=3，D=E=F，ABDCAEBCF. 22 12 22 33 ,. SSABAC SBCSBC 22 12 2 3 . SSABAC SBC ABC 为直角三角形 222 ABACBC. 12 3 1 SS S ， 123 SSS，成立. （3）过点 A 作AHBP
45、于点 H. ABH=30 ，AB=2 3.3,3,60AHBHBAH. BAP=105 ，HAP=45 .PH=AH=3.6AP ，BP=BH+PH=33 (33) 33 33 222 ABP BP AH S .连接 PD. 2,2PEED， 2323 , 3362 3 PEED APAB . 33 . PEED APAB 又E=BAP=105 ， ABPEDP.EPD=APB=45 ， 3 3 BDPE BPAP .BPD=90，13.PD 2 33 33 113 () 3232 BPDABP SS 连接 BD. ( 33)(13) 2 33 22 BPD PB PD S . tanPBD=
46、 3 3 PD BP ，PBD=30 .ABC=90 ，ABC=30 ，DBC=30 C=105 ，ABPEDPCBD. S BCD=S ABP+S EDP= 3 3331 2 32 22 . S五边形ABCDE=S ABP+S EDP+S BCD+S BPD = 3 3331 (2 32)(2 33)6 37 22 23(2020 苏州）.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DFAE，垂足为F （1）求证：ABEDFA； （2）若6AB，4BC ，求DF的长 证明： （1）四边形ABCD是矩形， 90B ，ADBC 34 AEBDAF ， DFAE， 90DFA BDFA ， ABEDFA 解： （2）ABEDFA， ABAE DFAD 4BC ，E是BC的中点， 11 42 22 BEBC 在Rt ABE中， 2222 622 10AEABBE 又 4ADBC， 62 10 4DF ， 6 10 5 DF 26 （2020 南京） （9 分）如图，在ABC和A B C 中，D、 D 分别是AB、A B 上一点， ADA D
