1、 - 1 - 2016-2017 学年广西桂林 市 高二（下）期中数学试卷（理科） 一 .选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 M=x2 2x 0， N=x|x 1，则 M N=（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 0， 2） D（ 0， 1 2已知复数 （ i 为虚数单位），那么 z的共轭复数为（ ） A B C D 3等差数列 an中， a7+a9=16， a4=1，则 a12=（ ） A 15 B 30 C 31 D 64 4在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y
2、的最大值是（ ） A 6 B 4 C 2 D 0 5 “a=2” 是 “ 直线 y= ax+2与 y= 垂直 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB=BC=2， AA1=1，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为（ ） A B C D 7已知 ABC的边 BC 上有一点 D满足 =3 ，则 可表示为（ ） A = 2 +3 B = + C = + D = + 8如图曲线 y=x2和直线 x=0， x=1， y= 所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ） - 2 - A B C D 9执
3、行如图的程序框图，则输出的 n为（ ） A 9 B 11 C 13 D 15 10已知 x 0， y 0， x+y+ =2，则 x+y的最小值是（ ） A B 1 C D 11函数 f（ x）在定义域（ 0， + ）内恒满足： f（ x） 0； 2f（ x） xf （ x） 3f（ x），其中 f （ x）为 f（ x）的导函数，则（ ） A B C D 12过双曲线 （ a 0， b 0）的右焦点 F（ c， 0）作圆 x2+y2=a2的切线，切点为 M直线 FM交抛物线 y2= 4cx于点 N，若 （ O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A B C D 二 .填空题：本大题共 4 小
4、题，每小题 5分，共 20 分 . 13若 ，则 cos2= 14将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第 10 行从左向右的第 5个- 3 - 数为 15如图 是一个正方体被切掉部分后所得几何体的三视图，则该几何体的体积为 16已知函数 f（ x） = kx（ e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤 . 17（ 10分）设锐角三角形 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c， a=2bsinA （ ）求 B的大小； （ ）若 ， c=5，求 b 18（
5、 12分）已知数列 an满足 a1=2， an+1=2an 1 （ 1）求证数列 an 1是等比数 列 （ 2）设 bn=n?（ an 1），求数列 bn的前 n项和 Sn 19（ 12分）已知函数 f（ x） =x3 ax2 3x （ 1）若 x= 是 f（ x）的极值点，求 f（ x）在上的最大值和最小值 （ 2）若 f（ x）在区间上 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】可求出集合 M=x|0 x 2，然后进行交集的运算即可 【解答】解： M=x|0 x 2； M N=（ 0， 1 故选 D - 4 - 【点评】考查描述法和区间表示集合的概念，交集及其运算 2已知复数 （ i 为虚数单
6、位），那么 z的共轭复数为（ ） A B C D 【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】解：复数 = = ，那么 z的共轭复数为 = 故选： B 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3等差数列 an中， a7+a9=16， a4=1，则 a12=（ ） A 15 B 30 C 31 D 64 【考点】 8F：等差数列的性质 【分析】由 a7+a9=16 可得 2a1+14d=16，再由 a4=1=a1+3d，解 方程求得 a1和公差 d 的值，或根据等差中项的定义， ap+aq=a
7、m+an，从而求得 a12的值 【解答】解：方法一：设公差等于 d，由 a7+a9=16可得 2a1+14d=16，即 a1+7d=8 再由 a4=1=a1+3d，可得 a1= ， d= 故 a12 =a1+11d= + =15， 方法二： 数列 an是等差数列， ap+aq=am+an， 即 p+q=m+n a7+a9=a4+a12 a12=15 故选： A 【点评】本题主要考查等差数列的等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差 d 的值， 是解题的关键，属于基础题 - 5 - 4在平面内的动点（ x， y）满足不等式 ，则 z=2x+y的最大值是（ ） A 6 B 4 C 2 D 0 【考
8、点】 7C：简单线性规划 【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 z=x+y的最优解，然后求解 z最大值即可 【解答】解：根据不等式 ，画出可行域， 由 ，可得 x=3， y=0 平移直线 2x+y=0， 当直线 z=2x+y过点 A（ 3， 0）时， z最大值为 6 故选： A 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值， 考查数形结合的数学思想，属于中档题 5 “a=2” 是 “ 直线 y= ax+2与 y= 垂直 ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件
9、的判断 【分析】当 a=2时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足 k1?k2= 1即可利用直线的垂直- 6 - 求出 a的值，然后判断充要条件即可 【解答】解：当 a=2时直线 y= ax+2的斜率是 2，直线 y= 的斜率是 2， 满足 k1?k2= 1 a=2时直线 y= ax+2与 y= 垂直， 直线 y= ax+2与 y= 垂直，则 a? a= 1，解得 a= 2， “a=2” 是 “ 直线 y= ax+2与 y= 垂直 ” 的充分不必要条件 故选 A 【点评】本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的应用 6如图，在长方体 ABCD A1B
10、1C1D1中， AB=BC=2， AA1=1，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为（ ） A B C D 【考点】 MI：直线与平面所成的角 【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的 三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角 【解答】解：以 D 点为坐标原点，以 DA、 DC、 DD1所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系（图略）， 则 A（ 2， 0， 0）， B（ 2， 2， 0）， C（ 0， 2， 0）， C1（ 0， 2， 1） =（ 2， 0， 1）， =（ 2， 2， 0）， 且为平面 BB1D1D的一个法向量 cos ，
11、 = BC1与平面 BB1D1D所成角的正弦值为 故答案为 D - 7 - 【点评】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向 量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题 7已知 ABC的边 BC 上有一点 D满足 =3 ，则 可表示为（ ） A = 2 +3 B = + C = + D = + 【考点】 9F：向量的线性运算性质及几何意义 【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出 【解答】解：由 =3 ， 则 = + = + = + （ ）= + ， 故选： B 【点 评】本题考查了向量的三角形法则和向量的几何意义，属于基础题
12、 8如图曲线 y=x2和直线 x=0， x=1， y= 所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ） A B C D 【考点】 67：定积分 【分析】先联立 y=x2与 y= 的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可 【解答】解：由于曲线 y=x2（ x 0）与 y= 的交点为（ ）， 而 曲线 y=x2 和直 线 x=0 ， x=1 ， y= 所 围 成的 图 形（ 阴影 部分 ）的 面 积为- 8 - S= ， 所 以 围 成 的 图 形 的 面 积 为S= =（ x x3）| +（ x3 x） | = 故答案选 D 【点评】本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是
13、利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间 9执行如图的程序框图，则输出的 n为（ ） A 9 B 11 C 13 D 15 【考点】 EF：程序框图 【分析】算法的功能是求满足 S=1? ? 的最大的正整数 n+2的值，验证 S=1?3?13 2017，从而确定输出的 n值 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足 S=1? ? 的最大的正整数 n+2的值， S=1?3?13 2017 输出 n=13 - 9 - 故选： C 【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，关键框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键 10已知 x 0， y 0， x+y+ =2，则 x+y的
14、最小值是（ ） A B 1 C D 【考点】 7G：基本不等式在最值问题中的应用 【分析】利用基本不等式，结合条件，即可得出结论 【解答】解： x 0， y 0， x+y+ =2， 由基本不等式可得 x+y+ =2 x+y+ ， x+y 故选： C 【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是解题的关键 11函数 f（ x）在定义域（ 0， + ）内恒满足： f（ x） 0； 2f（ x） xf （ x） 3f（ x），其中 f （ x）为 f（ x）的导函数，则（ ） A B C D 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系 【分析】分别构造函数 g（ x） =
15、 ， x （ 0， + ）， h（ x） = ， x （ 0，+ ），利用导数研究其单调性即可得出 【解答】解：令 g（ x） = ， x （ 0， + ）， g （ x） = ， ? x （ 0， + ）， 2f（ x） xf （ x） 3f（ x）恒成立， f（ x） 0， - 10 - 0 ， g （ x） 0， 函数 g（ x）在 x （ 0， + ）上单调递增， g（ 1） g（ 2），即 4f（ 1） f（ 2）， ； 令 h（ x） = ， x （ 0， + ）， h （ x） = ， ? x （ 0， + ）， 2f（ x） xf （ x） 3f（ x）恒成立， h （ x） = 0， 函数 h（ x）在 x （ 0， + ）上单调递减， h（ 1） h
