1、 - 1 - 定远重点中学 2017-2018学年第二学期期中考试 高二（理科）数学试题 注意事项： 1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将第 I 卷（选择题）答案用 2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。 ) 1.已知 f(x)= ,则 的值是（ ） A.- B.2 C. D.-2 2.可导函数 y=f（ x）在一点的导 数值为 0是函数 y=f（ x）在这点取极值的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.必要非充分条件
2、D.充要条件 3.若复数 是实数，则 x的值为 ( ) A. B.3 C. D. 4.设 f（ x） =x?cosx sinx，则（ ） A.f（ 3） +f（ 2） 0 B.f（ 3） +f（ 2） 0 C.f（ 3） +f（ 2） =0 D.f（ 3） f（ 2） 0 5.已知 R上可导函数 f(x)的图象如图所示，则不等式 的解集 为 ( ) A. B. - 2 - C. D. 6.已知 i是虚数单位，若 z（ 1+i） =1+3i，则 z=（ ） A.2+ i B.2 i C. 1+ i D. 1 i 7.如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ） A. B. C. D.
3、8.已知 a为实数 ,若复数 为纯虚数 ,则 的值为 ( ) A.1 B.0 C. D. 9.曲线 ? ? ? ?2 ln 0 , 0f x a x b x a b? ? ? ?在点 ? ?1, 1f 处的切线的斜率为 2，则 8abab? 的最小值是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 32 10.“ 杨辉三角 ” 又称 “ 贾宪三角 ” ，是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用 “ 贾宪三角 ” 进行高次开方运算，而杨辉在公元 1261年所著的详解九章算法一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为 “ 开方作 法本源 ” 图 .下列数表的构造思路就源于 “ 杨辉三角 ”. 该表由若干
4、行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其 “ 肩上 ” 两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ） A. 20162017 2? B. 20152018 2? C. 20152017 2? D. 20162018 2? 11.设 ?fx为定义在 *R 上的函数 ?fx的导函数，且 ? ? ? ?0fxfx x?恒成立，则（ ） - 3 - A. ? ? ? ?3 4 4 3ff? B. ? ? ? ?3 4 4 3ff? C. ? ? ? ?3 3 4 4ff? D. ? ? ? ?3 3 4 4ff? 12.函数 ? ?21xy e x?的示 意图是（ ） A. B. C. D
5、. 第 II卷（非选择题 90分） 二、填空题 (共 4小题 ,每小题 5 分 ,共 20分 ) 13.计算： （ x） dx= 14.若 1 2z a i? , 2 34zi? ，且 12zz 为纯虚数，则实数 a 的值为 . 15.有三张卡片，分别写有 1和 2， 1和 3， 2和 3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ，乙看了丙的卡片后说： “ 我与丙的卡片上相同的数字不是 1” ，丙说： “ 我的卡片上的数字之和不是 5” ，则甲的卡片上的数字是 。 16.记 1 2 3k k k kkSn? ? ? ? ? , 当 1 2 3
6、k? ?, , , 时，观察下列等式： 21 1122S n n?， 322 1 1 13 2 6S n n n? ? ?， 4323 1 1 14 2 4S n n n? ? ?， 5 4 34 1 1 1 15 2 3 3 0S n n n n? ? ? ?， 6 5 4 25 152 1 2S A n n n B n? ? ? ?， - 4 - ? 可以推测， AB? 三、解答题 (共 6小题 ,共 70分 ) 17. (10分 ) 已知复数 x2+x 2+（ x2 3x+2） i（ xR ）是 4 20i的共轭复数，求 x的值 18. (12分 ) 已知函数 ? ? 3213= 2 5
7、32f x x x x? ? ?. （ ）求 ?fx的单调区间； （ ）若曲线 ? ?y f x? 与 2y x m?有三个不同的交点，求实数 m 的取值范围 . 19. (12分 ) 已知函数 . (1)求函数 的单调区间； (2)若关于 的不等式 恒成立，求整数的最小值 . 20. (12分 ) 已知数列 ， ， ， ， 为该数列的前 项和 （ 1）计算 ； （ 2）根据计算结果，猜想 的表达式，并用数学归纳法证明 21. (12分 ) 设 y=f（ x）是二次函数，方程 f（ x） =0 有两个相等的实根，且 f （ x） =2x+2 （ 1）求 y=f（ x）的表达式； （ 2）求 y
8、=f（ x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积 - 5 - 22. (12 分 ) 某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为 6 元，推销费用为 ? ?13tt? 元，预计当每包药 品销售价为 x 元时，一年的市场销售量为? ?220 x? 万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的 02500 ，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的 02000 (1) 写出该药品一年的利润 ?wx (万元 )与每包售价 x 的 函数关系式，并指出其定义域； (2) 当每包药品售价 x 为多少元时，年利润 ?wx最大，最大值为多少？ - 6 - 参
9、考 答案 1.A 【解析】 f(x)= ， = = = = 故选 A 2.C 【解析】对于可导函数 f（ x） =x3 ， f（ x） =3x2 ， f（ 0） =0， 不能推出 f（ x）在 x=0取极值， 故导数为 0时不一定取到极值， 而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时， 此点处的导数一定为 0 故应选 C 3.A 【解析】 ， 因为复数是实数，所以 。选 A. 4.A 【解析】 f （ x） =x?cosx sinx，函数是奇函数 f （ x） = xsinx， x （ ， ）， f （ x） 0，函数是减函数如图： - 7 - f （ 3） +f（ 2） 0 故选： A
10、5.D 【解析】导函数 ， 则函数单调递增，导函数 ， 则函数单调递减，而不等式 等价于 或 ， 结合图象可知不等式的解集为 .选 D。 6.A 【解析】由 z（ 1+i） =1+3i，得 ， 直接利用复数代数形式的乘除运算 化简得答案 7.D 【解析】由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是 8.C 【解析】复数 为纯虚数，可得 a=1， ， 故答案为： C. 9.B 【解析】 对函数求导可得， ? ? 2 .f x ax b?根据导数的几何意义， ? ? 1 2 2f a b? ? ?，即 b 1.2a? 8abab? = 81ba? =( 81ba? ) b( 2a? )= 8a b2
11、ba? +52 8a b2ba? +5=4+5=9，当且仅当- 8 - 22 8a b2abba?即13 43ab?时，取等号 .所以 8abab? 的最小值是 9. 故选 B. 10.B 【解析】 由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列， 且第一 行公差为 1,第二行公差为 2,第三行公差为 4,?, 第 2015行公差为 20142 ， 故第 1行的第一个数为： 122? ， 第 2行的第一个数为： 032? ， 第 3行的第一个数为： 142? ， ? 第 n 行的第一个数为： ? ? 212nn ? (n+1)2 n?2， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是 20152018 2?
12、. 11.A 【 解 析 】 ? ? ? ?0fxfx x?， 即 ? ? ? ? 0xf x f xx? ?， 设 ? ? ? ?fxgx x? ， 则? ? ? ? ? ?2 xf x f xgx x? ， 当 0x? 时 ， ? ?0gx? 恒成立 ， 即 ?gx在 ? ?0+?， 上单调递增 ， ? ? ? ? ? ? ? ?434 3 , ffgg? ? ? ?， ? ? ? ?3 4 4 3?， 故选 A. 12.C - 9 - 【解析】 ? ? ? ? 2 1 2 2 1x x xy e x e e x? ? ? ? ?， 令 y=0 得 x=?12 ， 当 x?12 时 ,y0
13、 ， y=xe (2x?1)在 (?, ? 12 )上单调递减 ,在 (?12 ,+) 上单调递增， 当 x=0时 ,y=0e (0?1)=?1, 函数图象与 y轴交于点 (0,?1)； 令 y=xe (2x?1)=0得 x=12 , f(x)只有 1个零点 x=12 ， 当 x12 时 ,y=xe (2x?1)0， 综上，函数图象为 C. 故选 C. 13. 【解析】由定积分的几何意义知 dx是由 y= 与直线 x=0， x=1所围成的图形的面积， 即是以（ 1， 0）为圆心，以 1为半径的圆的面积的 ， 故 dx= ， （ x） dx= = ， （ x） dx= 故答案为： 14.38 【
14、解析】 ? ? ? ? ? ? ? ? ?122 3 4 3 8 4 623 4 3 4 3 4 2 5a i i a a iz a iz i i i? ? ? ? ? ? ? ? ?为纯虚数 3 8 06 0aa? ? 83a? 15.1和 3 - 10 - 【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1和 2，或 1和 3；（ 1）若丙的卡片上写着 1和 2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2和 3； 根据甲的说法知，甲的 卡片上写着 1和 3；（ 2）若丙的卡片上写着 1和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2和 3；又甲说， “ 我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ； 甲的卡片上写的数字
15、不是 1和 2，这与已知矛盾； 甲的卡片上的数字是 1和 3， 故甲 1和 3 16.14 【解析】 通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为 1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出 A， B的值，进一步得到 A-B 解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为 1；最高次项的系数为该项次数的倒数； 所以 A=16 ， A+12 +512 +B=1 解得 B=-112 ， 所以 A-B=16 +112 =14 ， 故答案为： 14 17.解： 复数 4 20i 的共轭复数为 4+20i， x 2+x 2+（ x2 3x+2） i=4+20i， 根据复数相等的定义，得 ， 解得 x= 3 18.( ) 单调递增区间为 ? ? ? ?,1 , 2,? ?，单调递减区间为 ? ?1,2 ； ( ) 1 52 m?. 【解析】
