1、 - 0 - 安徽省宣城市六校 2016-2017 学年高二数学下学期期中联考试题 理 一、选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 1复数 z 满足 ? ? ?25z i i? ? ?，则 z? （ ） A. 22i? B. 22i? C. 22i? D. 22i? 2设函数 ()y f x? 的图像如左图，则导函数 ( )y f x? 的图像可能是下图中的 （ ） 3由曲线 xye? ， xye? 以及 1x? 所围成的图形的面积等于 ( ) A 2 B 22e? C 12e? D 1 2e e? 4.用数学归纳法
2、证明 (n+1)(n+2)(n+3)? (n+n)=2n 1 3 ? (2n-1)(n N*)时 ,从 n=k(k N*)到 n=k+1时左边需增乘的代数式是 ( ) A 2k+1 B 2(2k+1) C 112?kk D 132?kk 5安排 6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙排在甲的前面或者后面，则不同排法的种数是（ ） A. 480 B. 360 C. 240 D. 180 6二项式 nxx ? ? 43 1的展开式中，第二、三、四项二项式系数成等差数列，则展开式中的常数项是 ( ) A 21 B 35 C .56 D 28 7 设 aR? ,函数 ? ?xx eaexf ?的导函数 )
3、( xfy ? 是奇函数，若曲线 ()y f x? 的一条切线的斜率为 32 ，则切点的横坐标是 （ ） A ln22 B ln22? C. ln2 D ln2? 8若 ln33a? ， ln55b? ， ln66c? ，则 ( ) A abc? B c b a? C c a b? D bac? 9 已知 (0, )x? ? 有下 列各式： 34224,2122 ? xxxxxxx， 4273332733 ? xxxxx 成立，观察上面各式，按此规律若4 5ax x?，则正数 a? ( ) - 1 - A 4 B 5 C 4 D 5 10 将 9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则
4、不同分组方法的种数为 ( ) A 70 B 140 C 280 D 840 11 若 点( , )Pab在 函 数 2 3lny x x? ? 的图像 上 ， 点( , )Qcd在 函 数 2yx? 的 图 像 上 ， 则22( ) ( )c b d- + -的最小值为 （ ） A 2 B 2 C 22 D 8 12 定义在 R上函数 ()y f x? ，满足 1(1 ) ( ) , ( ) ( ) 02f x f x x f x? ? ? ?,若 12xx? 且 121xx?,则有 ( ) A. 12( ) ( )f x f x? B. 12( ) ( )f x f x? C. 12( )
5、( )f x f x? D.不能确定 二 .填空题： 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 请将答案直接填在题后的横线上 13 已知 z a bi? （ a 、 ?b R） ,且满足 iibia ? 3 5211 ， 则复数 z 在复平面内对应的点位于 第 象限 14若 ,)1()1()1()21( 1001002210100 ? xaxaxaax ?则 10021 aaa ? ? = 15如图， ()y f x? 是可导函数，直线 l 是曲线 )(xfy? 在 4?x 处的切线，令 ()() fxgx x? ，则(4)g? ? 16.如图所示的数阵中 ,第 20行第 2个数字是 . 1
6、 21 21 31 41 31 41 71 71 41 51 111 111 111 51 ? 三 、 解答题：本大题共 6小题，共 70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（ 本小题满分 10分）已知 ABC的三边长 为 a、 b、 c,且其中任意两边长均不相等 .若 a1 ,b1 ,c1 成等差数列 l(4,5)xy4 O5 ()y f x?3 - 2 - (1)比较ab与bc的大小 ,并证明你的结论 ; (2)求证： B不可能是钝角 18.（本小题满分 12分） 有 4个不同的球，四个不同的盒子 ，把球全部放入盒内 （ 1）共有多少种放法？ （ 2）恰有一个盒子不放球，有多
7、少种放法？ （ 3）恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 19 （本小题满分 12分） 由下列不等式： 1 1 1 1 1 1 31 , 1 1 , 1 ,2 2 3 2 3 7 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1122 3 1 5? ? ? ? ?，?， 你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明。 20.（ 本小 题满分 12分）已知函数 3211( ) , ,32 af x x x a x a x R? ? ? ? ?其中 0a? 。 （ 1）求函数 ()fx的单调区间； （ 2）若函数 ()fx在区间（ 2， 0）内恰有两个零点，求 a的取值范围。 21.（ 本小题满分 12分
8、） 如图，半径为 30cm 的圆形（ O 为圆心）铁皮 上截取一块矩形材料 OABC ，其中点 B在圆弧上，点 ,AC在两半径上， 现将此矩形材料卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设 OB 与矩形材料的边 OA的夹角为 ? ， 圆柱的体积为 V 3cm . - 3 - （ 1） 求 V 关于 ? 的函数关系式？ （ 2）求圆柱形罐子体积 V 的最大值 . 22. （ 本小题满分 12 分）已知函数 ( ) sin co sf x x x x?. （ 1） 求曲线 ()y f x? 在点 ? ? ?, f?处的切线方程； （ 2） 求证：当 0,2x ?时， 31
9、()3f x x? ； （ 3） 若 ( ) cosf x kx x x? 对 0,2x ?恒成立，求实数 k 的最大值 . - 4 - 数学理科试题 参 考 答 案 一、选择题（每小题 5分，满分 60分） 二、填空题（每小题 5分，满分 20分） 13四 14 100100 35 ? 15 316? 16 1911 三 、 解答题： （ 本大题共 6小题，共 70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 解 : (1)大小关系为 ab 0, 只需证 b2 acbac22 2? acbac2 2? 0. 这与 cos B0矛盾 ,故假设不成立 . B不可能是钝角 . ? 10分
10、18.解：（ 1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有 4种独立的放法，由分步乘法计数原理， 放法共有： 44 256? 种 ? 4分 （ 2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去 1个，即将 4个球 分成 2， 1， 1的三组，有 24C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可 . 由分步乘法计数原理，共有放法： 1 2 1 24 4 3 2 144C C C A ? 种 ? 8分 （ 3）先从四个盒子中任意拿走两个有 24C 种，问题转化为：“ 4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（ 3， 1），（ 2，
11、2）两 类 .第一类：可从 4 个球中先选 3 个，然后放入指定的一个盒子中即可，有 3142CC 种放法；第二类：有 24C 种放法 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D B A B C B C A D A - 5 - 因此共有 3 1 34 2 4 14C C C? 种 . 由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有： 24 14 84C ? 种 ? 12分 19解：根据给出的几个不等式可以猜想第 n个不等式，即一般不等式为： *1 1 11 ( )2 3 2 1 2n n nN? ? ? ? ? ? ? 3分 用数学归纳法证明如下： （
12、 1）当 1112n?时 ， ，猜想成立 （ 2）假设当 *( 1, )n k k k N? ? ?时，猜想成立，即 1 1 11 2 3 2 1 2k k? ? ? ? ?， 则当 1nk?时， 11 1 1 1 1 1 1 11 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1k k k k k kk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111 2 12 1 2 2 2kkkkk? ? ? ? ?， 即当 1nk?时，猜想也正确， 由（ 1），（ 2）知对任意的 *nN? ，不等式都成立 ? 12分 20 解：（ 1） 2( ) (1 ) ( 1 ) ( )f x x
13、 a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? 由 ( ) 0fx? ? ， 得 121, 0x x a? ? ? ? 当 x 变化时， ( ), ( )f x f x? 的变化情况如下表： x ( ,1? ) 1 ( 1， a) a (a?, ) )(xf? + 0 0 + f (x ) 极大值 极小值 故函数 ()fx的单调递增区间是 ( ,1? )， (a?, )；单调递减区间是 ( 1， a)。 ? 6分 （ 2）由（ 1）知 ()fx在区间 ( 2， 1)内单调递增，在区间（ 1， 0）内单调递减， 从而函数 ()fx在区间（ 2， 0）内恰有 两个零点当且仅当 ( 2 )
14、0 1( 1 ) 0 , 03( 0 ) 0ffaf? ? ? ?解 得， 所以 a的取值范围是 1(0, )3 ? 12 分 - 6 - 21 解：（ 1） 323 0 c o s s i n( ) (0 )42V ? ? ? ? ? ? 5分 （ 2）令 sin (0,1)tt? ? ?， 333 0 ( )( ) ( (0 ,1 ) )4ttf t t? ? 6分 323 0 (1 3 ) 3( ) 043tf t t? ? ? ? ? ? ? 9分 所以函数 ()ft在 3(0, )3 上单调递增，在 3( ,1)3 上单调递减， 即当 33t? 时，体积 V 取得最大值 3m ax
15、1500 3V cm?. ? 12分 第（ 2）问也可： （ 1）连接 OB ，在 Rt OAB? 中，设 AB x? ，则 2900OA x? 设圆柱底面半径为 r ，则 2900 2xr?， 即 2 2 24 900rx? ?， 232 9 0 0 9 0 044x x xV r x x? ? ? ? ? ?， 其中 0 30x? . （ 2）由 2900 3 04 xV ?， 得 10 3x? 由 0V? 解得 0 10 3x? ；由 0V? 解得 10 3 30x? 因此 V 在 (0,10 3 上是增函数，在 (10 3,30) 上是减函数 所以当 10 3x? 时， V 有最大值 22 解：（ 1） ? ?( ) c o s c o s s i n s i nf x x x x x x x? ? ? ? ?， ? ?( ) 0,ff? ? ? ? 所以切线方程为 y ? ? 3分 （ 2） 令 ? ? 31() 3g x f x x?，则 ? ?2( ) s i n s i ng x x x x x x x? ? ? ? ?， 当 0,2x ?时，设 ( ) sint x x x?，则 ( ) cos 1 0t x x? ? ? ?，
