1、 1 福建省福州市仓山区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题（实验班） 试卷说明： (1)本卷共三 大题， 22 小题 ，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。 (2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。 第卷 (选择题，共 60分 ) 一、选择题： 本大题 有 12小题 ， 每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1已知复数 1 2zi?, 2z a i?(aR? )， 12zz? 是实数，则 a? ( * ) A 2 B 3 C 4 D 5 2函数 ( ) lnf x a x x?在 1x? 处取到极 值，则 a 的值
2、为 ( * ) A 1 B 12? C 1? D 12 3 如图，在空间四边形 OABC 中 ， OA a? ， OB b? ， OC c? 点 M 在 OA 上 ， 且 2OM MA? ，N 是 BC 的 中点，则 MN =( * ) A 1 2 12 3 2a b c? B 2 1 13 2 2a b c? ? ? C 1 1 22 2 3a b c? D 2 2 13 3 2a b c? 4有一段“三段论”推理：对于可导函数 ()fx，若 ()fx在区间 (, )ab 上是增函数，则 ( ) 0fx? 对 ( , )x ab? 恒成立，因为函数 3()f x x? 在 R 上是增函数，所
3、以 2( ) 3 0f x x?对 xR? 恒成立 以上推理中 ( * ) A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 推理正确 5设 ()fx为可导函数，且满足0 (1) (1 )lim 12x f f xx? ? ?，则曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线的斜率是 ( * ) A 2 B 1? C 12 D 2? 6. 用数学归纳法证明 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 3 ( 2 1 )nn n n n n? ? ? ? ? ? ?，从 k 到 1k? ，左边需要增乘的代数式为( * ) 2 A 21k? B 2(2 1)k? C 211kk? D 2
4、31kk?7 已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC? 的侧棱长与底面边长相等，则 1AB 与侧面 11ACCA 所成角的正弦值为( * ) A 64 B 104 C 22 D 32 8 把一个周长为 12cm 的长方形围成一个圆柱 ， 当圆柱的体积最大时 ， 该圆柱底面周长 与高的比为( * ) A 1:2 B 1:? C 2:1 D 2:? 9 当 0a? 时，函数 2( ) ( 2 ) xf x x ax e? 的图象大致是 ( * ) 10 已知 11 ln(1 ) n niia n?( *nN? )， 21 lnb xdx?，则 ,ab的大小关系为 ( * ) A ab? B ab?
5、 C ab? D ,ab的大小与 n 的取值有关 11 已知定义在 R 上的奇函数 ()fx的导函数为 ()fx， 当 0x? 时 ， ()fx满足2 ( ) ( ) ( )f x xf x xf x?， 则 ()fx在 R 上的零点个数为 ( * ) A 5 B 3 C 13或 D 1 12 已知函数 ( ) 1xf x e ax? ? ?， g( ) lnx x ax a? ? ?，若存在 0 (1,2)x ? ， 使得 00( ) ( ) 0f x g x ? ，则实数 a 的 取值范围为 ( * ) A (ln2, 1)e? B 2 1(ln2, )2e ? C 1, 1)e? D 2
6、 11, )2e ? 3 第卷 (非选择题，共 90分 ) 二、 填空题： 本大题 有 5小题，每小题 5分，共 25分，把答案填在答卷 的相应位置 . 13 2 222 ( s in 4 )x x x dx? ?= * 14 已知 321 ( 2) 33y x b x b x? ? ? ? ?在 R 上不是单调增函数 ， 则 b 的取值范围为 * 15 已知 () xf x xe? ， 2( ) ( 1)g x x a? ? ? ?，若 ? 12,x x R? ，使得 21( ) ( )f x g x? 成立，则实数 a的 取值范围是 * 16已知 zC? ， | | 1z? ， 则 2|
7、2 1|zz?的最大值为 * 17 观察下列等式 ： 211122ni i n n? ?； 2 3 211 1 13 2 6ni i n n n? ? ? ?； 3 4 3 211 1 14 2 4ni i n n n? ? ? ?； 4 5 4 311 1 1 15 2 3 3 0ni i n n n n? ? ? ? ?； 5 6 5 4 211 1 5 16 2 1 2 1 2ni i n n n n? ? ? ? ?； 6 7 6 5 311 1 1 1 17 2 2 6 4 2ni i n n n n n? ? ? ? ? ?， 1 1 21 1 2 1 01n k k k k kk
8、 k k ki i a n a n a n a n a n a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 可以推测，当 2k? ( *kN? )时，1 11ka k? ? ?， 12ka?， -1ka ? * ， 2ka? ? * 三、解答题（本大题共 5小题，共 65分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 4 18 （ 本小题满分 10分） 选修 44? ：坐标系与参数方程 已知直线 l 过点 ( 1,2)P? ， 且方向向量为 ( 1, 3)? ， 圆的极坐标方程为 =2cos( + )3? (1)求直线 l 的参数方程 ； (2)若直线 l 与圆相交于 MN、 两点 ， 求 |
9、| | |PM PN? 的值 19 （本小题满分 13分） 已知函数 2( ) ln ( 1 ) 1xf x a x bx? ? ? ?的图象与直线 20xy? ? ? 相切于点 (0, )c (1)求 a 的值；(2)求函数 ()fx的单调区间和极小值 . 20 （本 小题满分 14 分） 已知四棱锥 P ABCD? ，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形 ， 0=60ABC? ， E 为 AB 的中点 ，PA ABCD? 平 面 ， PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 64 . (1)在棱 PD 上求一点 F ， 使 /AF 平面 PEC ； (2)求二面 角 D PE A?的余弦值
10、. 5 EDACBP21 （本小题满分 14分） 已知函数 )ln()( axxxf ? 的最小值为 0 ，其中 0a? . (1)求 a 的值； (2)若对任意的 ),0 ?x ，有 2)( kxxf ? 成立，求实数 k 的范围； (3)证明：12 ln ( 2 1 ) 221ni ni? ? ? ?*()nN? 22 （本小题满分 14分） 设实数 0?c ，整数 1?p ， *Nn? (1)证明：当 1?x 且 0?x 时， pxx p ? 1)1( ； (2)数列 na 满足 11 pac? ， pnnn apcappa ? ? 11 1，证明： pnn caa 11 ? ? . 6
11、 高二数学 （创新班） 一、选择题 1-6 ACBADB 7-12 ACBADB 二、填空题 13 2? ； 14 ( , 1) (2, )? ? ?； 15 1a e? ； 16. 4 ； 17. -1ka ? 12k ， 2ka? ? 0 . 三、解答题 18 解： (1)设直线 l 的倾斜角为 ? ， 因为 ( 1, 3)n? ， 所以 tan 3? 因为 0, )? ， 所以直线 l 的倾斜角为 23? ? 2分 所以直线 l 的参数方程为21 cos ,322 si n3xtyt? ? ? ?(t 为参数 )， 即11,2322xtyt? ? ? ?(t 为参数 ) ? 4分 (2)
12、因为 = 2 c o s ( + ) = c o s 3 s i n3? ? ? ?， ? 5分 所以 2 = c o s 3 sin? ? ? ? ? 所以圆的普通方程为 22 30x y x y? ? ? ? ? 7分 将直线的参数 方程代入，整理得： 2 ( 3 2 3 ) 6 2 3 0tt? ? ? ? ? ? 9分 设方程的两根为 12,tt， 则 12=6+2 3tt ， 所以 12| | | | = | |= 6 + 2 3P M P N t t? ?10分 19 解： (1) 2( ) ln ( 1)1xf x a x bx? ? ? ?， 22( ) 1 ( 1)afx x
13、x?， ?2 分 函数 )(xf 在 0x? 处的切线方程为 2yx? ? ， (0) 2 1fa? ? ?， 1a? ?7 4 分 (2) 点 (0 )c， 在直线 20xy? ? ? 上， 20c? ， 2c? (02)， 在 2( ) ln ( 1)1xf x x bx? ? ? ?的图象上， (0) 2fb? ， 2( ) ln ( 1 ) 2 ( 1 )1xf x x xx? ? ? ? ? ? ? 6分 由 (1) 得：221 2 1( ) ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 )xf x xx x x ? ? ? ? ? ? ?， ?7 分 令 ( ) 0fx? ，则 1x? ，因此
14、函数 ()fx的单调递增区间为（ 1， + ） 令 ( ) 0fx? ，则 11x? ? ，因此函数 ()fx的单调递减区间为（ 1， 1） ?11 分 当 1x? 时，函数 ()fx取得极小值 1 ln2? ?13分 20 解： 以 BD 为 x 轴 ， CA为 y 轴 ， AC 与 BD 的交点为 O ， 过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴 ，建立空间直角坐标系 . 其中： (0,1,0)A ， ( 3,0,0)B ? ， (0, 1,0)C ? ， ( 3,0,0)D ， (0,1, )Pm， 31( , ,0)22E ? ?2 分 =(0, 2, )PC m?. 设平面 PAD
15、 的法向量 =( , , )n x y z ， =(0,0, )AP m ， =( 3, 1,0)AD ? . 所以 0,3 0,mzxy?所以 =( 3,3,0)n ?4 分 所以2- 6 6| c o s , | = | |= 44 + m 1 2P C n? ?， 因此 2m? ， 故(0,1,2)P ? 6分 设 =PF PD? ， =(0,0,2)AP ， =( 3, -1,-2)PD ， 则 ： = = ( 3 , , 2 2 )A F A P P F ? ? ? ? ?. ?8 7 分 设平面 PEC 的法向量为 =( , , )m x y z ， 31=( , ,2)22EP
16、， =(0 -2 -2)PC ， ， 所以 31 2 0 ,222 2 0x y zyz? ? ? ? ? ?故=( 3-11)m ? ， ， . ? 9分 =0m AF? ， 所以 3 2 2 =0? ? ? ? ? ? ， 因此 1=2? ， 所以 F 为 PD 中点 . ?10分 (2)平面 PEA 的法向量 1=( 3, 3,0)n ? ，平面 PED 的法向量 2=( 3,9, 3)n ? ， ?12分 12 3 - 2 7 4c o s , = = 3 1311 2 9 3nn? ? ?由二面角 D PE A?为锐二面角 ， 因此 ，二面角 D PE A?的余弦值为 4 3131
17、. ?14分 21 解： (1)函数的定义域为 ),( ?a . 由 0)( ? xf 得： ax ?1 a? 又由 0)( ? xf 得： ax ?1 ?2 分 )(xf 在 )1,( aa ? 单调递减，在 ),1 ?a 单调递增 m i n( ( ) ) (1 ) 0 1f x f a a? ? ? ? ? ? 4分 (2)设 )I n ()( 2 axxkxxg ? )0( ?x ，则 0)( ?xg 在 ),0 ? 恒成立 m i n( ) 0 ( 0 )g x g? ? ? (*) 注意到 kkg ? 02In1)1( 0 ? 5分 又 1 )122()( ? ? x kkxxxg 9 当 12?k 0k( 21 )时，由 ( ) 0gx? 得 kkx 221? . )(xg 在 221,0 kk? 单减， ),221( ?kk 单增，这与 (*)式矛盾； ?7 分 当 21?k 时 0)( ?xg 在 ),0 ? 恒成
