1、 1 福建省福州市鼓楼区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 （完卷时间： 120分钟，总分： 150分） 一、 选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上） 1、复数 2(1 )ii?（ i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A 1i? B 1i? C 1i? D 1i? 2、根据定积分的定义知 dxx?20 2=（ ） Annini 1)1(1 2 ?Bnninin 1)1(1 2lim ?C.nnini 2)(1 2?D、nninin 2)2(1 2lim ?3、设命题甲： 2
2、2 1 0ax ax? ? ?的解集是实数集 R ；命题乙： 01a?，则命题甲是命题乙成立的（ ） A充分不必要条件 B充要条件 C.必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4、 下列等于 1的积分是 （ ） A dxx?10B dxx? ?10 )1(C. dx?101D、 dx?10 215、函数 ( ) 3 lnf x x x? 的单调递减区间是（ ） A ),1( ee B )1,0( e C )1,( e? D ),1( ?e 6、设曲线 11?xxy 在点 )2,3( 处的切线与直线 03?yax 垂直，则 a 等于 ( ) A 2 B 2 C.12 D 12 7、 等差数列 ?
3、na 中，2nnaa 是一个与 n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ?1 B 10,1,2?C. 12?D 11,2?8、 在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D? 中，则平面 1ABC 与平面 11ACD 间的距离 （ ） A 63 B 33 C 332 D 23 2 9、用数学归 纳法证明 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 3 ( 2 1 )nn n n n n? ? ? ? ? ，从 k 到 1k? ，左边需要增乘的代数式为（ ） A 2(2 1)k? B 21k? C 211kk?D 231kk?10、在 ABC? 中，角 ,ABC 所对边分别为
4、 ,abc, 且 AcCab co sco s)2( ? ， 3? , s i n s i n 2 6 s i n s i nA B A B? ，则 ABC? 的 面积为 ( ) A. 833 B 2 C. 23 D. 433 11、设点 P是双曲线221xyab （ a 0， b 0）与圆22xy在第一象限的交点， F1， F2分别是双曲线的左、右焦点，且 PF1 3 PF2，则双曲线的离心率为（ ） A5B5C10D1012、定义 max , ab 表示实数 ,ab中的较大的数已知数列 na 满足 1aa? 2( 0), 1,aa? 12 2 m a x , 2 ()nnn aa a nN
5、 ? ?，若 2015 4aa? ，记数列 na 的前 n 项和为 nS ，则 2015S 的值为（ ） A 7254 B 7255 C 7256 D 7257 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在答题卡作答） . 13、 ? dxex x )1(10 2 14、某圆锥曲线 C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点 )32,2(?A ，)5,23( ?B ，则圆锥曲线 C 是 15、已知 ABCD为平行四边形，且 A(4,1,3)、 B(2， 5,1)， C(3,7， 5)，则顶点 D的坐标为 _ 16、已知函数 )(xf ? ?221 sin1x
6、xx? ，其导函数记为 )(xf? ，则)2017()2017()2017()2017( ? ffff . 3 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小 题满分 10分）在 ABC中， a、 b、 c分别是角 A， B， C的对边，且CBcoscos=-cab?2. （ 1）求角 B的大小； （ 2）若 b= 13 ， a+c=4，求 ABC的面积 . 18、（本 小 题满分 12分） 如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点 P， PA平面 ABCD， AB=1,BC=2,PA=2,E、F 分别是 AB、 PC 的中点 （ 1）求证： E
7、F平面 PAD； （ 2）求证： CD EF （ 3）求 EF与平面 ABCD所成的角的大小 19、 （本 小 题满分 12分） 已知抛物线 2: 2 ( 0 )C y px p?上一点 M (t ,8) 到焦点 F的距离是 54t （）求 抛物线 C 的方程； （） 过 F的 直线与抛物线 C 交于 ,AB两点 是否存在一个定圆与以 AB 为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由 ABCPDEF4 20、 （本 小 题满分 12分） 请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O到底面中心 1
8、O 的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 21（本小题满分 12分） 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， AB AC? ， 1 =AA AB AC ， D是 AB 中点 （） 记平面 11BCD 平面 11=ACCAl ，在图中作出 l ，并说明画法； （） 求直线 l 与平面 11BCCB 所成角的正弦值 DAA 1C 1 CBB 15 22、 （本 小 题满分 12分） 已知函数+3( ) e xmf x x?,? ? ? ?ln 1 2g x x? ? ? （）若曲线?y f x?在点? ?00f，处的切线斜率为 1，求实数m的值； （）当m?时，证明：? 3()f g x?.
9、 6 高二年级下学期期中考试理 科数学（答题卷） （完卷时间： 120分钟，总分： 150分） 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 21 22 得分 评卷教师 一、选择题：（ 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D C C B B D B A D D A 二、填空题：（ 本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分 ） 13、 14 ?e? 14、 双曲线 15、 )3,13,5( ? 16、 2 三、解答题： （ 本大题共 6小题，共 70 分 ） 18、略 19、 考查抛物线的定义与焦半径的知识，焦点弦的
10、性质，利用待定系数方法探究存在性问题，可以较好的考察学生的数学思维能力，数形结合能力及逻辑运算能力。 解法一： 17.（本小题满分 10分） 1）由余弦定理知： cosB=acbca 2 222 ?， cosC=abcba 2 222 ?. 将上式代入CBcoscos=-cab?2得 :acbca 2 222 ?222 2 cba ab?=-cab?2整理得 :a2+c2-b2=-ac cosB=acbca 2 222 ?=acac2?=-21 B 为三角形的内角， B=32 ?. 6分 （ 2）将 b= 13 ,a+c=4,B=32 ?代入 b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+
11、c)2-2ac-2accosB b2=16-2ac ?211, ac=3. S ABC=21acsinB=433. 12 分 7 （）由抛物线定义得 ,2pMF t? 又 5t,4MF? 5t t t= 2 ,24p p? ? ? ， 即2 分 (2 ,8)Mp? ， (2 ,8)Mp 在抛物线 22y px? 上， 216p? ， 3分 解得 4p? （舍去）或 4p? ， 所以抛物线 E 的方程为 2 8yx? . 4 分 （）当 直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ( 2)y k x?, l 与抛物线交于点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 联立2)
12、8,( 2 ,yxy k x? ?化简得 2 2 2 2( 4 8 ) 4 0k x k x k? ? ? ?，5 分 显然 0? ， 212 248,kxx k ? 6分 设 ,AB的中点为 M ,则 212 21 2 4( ) , 4()2 2MMM kx x x yk kk x? ? ? ?， 7 分 212 88A B x x p k? ? ? ?， 8分 设圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?， 222 2 22 4 4 4 4( ) ( ) ( )kka b rk k k? ? ? ? ? ?， 9分 2 2 222( 3 2 8 ) 8 ( 3 2
13、 8 )( 2 ) ( 4 )a b ra b rk k k? ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 23 2 8 3 2 8 , 3 ,8 0 , 0 ,3,( 2 ) ( 4 ) ,a r abbra b r? ? ? ? ? ? ?解 得 10分 定圆的方程为 22( 3) 9xy? ? ?， 11分 当 直线 l 的斜率 不 存在， 以 ,AB为直径的圆的方程为 22( 2) 16xy? ? ?， 8 该圆也与定圆 22( 3) 9xy? ? ?内切 . 综上所求定圆的方程为 22( 3) 9xy? ? ?. 12分 解法二： （）同解法一； （）设直线 l 的方程 为 2x my?
14、， l与抛物线交于点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y. 228,xyxmy? ?，化简得 2 8 16 0y my? ? ?， 6分 显然 0? ， 128,y y m? 7分 设 ,AB的中点为 M ,则 2121 ( ) 4 , 2 4 22M M My y y m x m y m? ? ? ? ? ? ?, 8分 2 21 88A B x x p m? ? ? ?， 9分 由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在 x 轴上， 设圆的方程为 2 2 2()x a y r? ? ?， 2 2 2 2 2( 4 2 ) 1 6 ( 4 4 )m a m m r?
15、 ? ? ? ? ? ?， 10 分 2 2 2 2( 3 2 8 ) ( 2 ) ( 3 2 8 ) ( 4 )a m a r m r? ? ? ? ? ? ? ?， 223 2 8 3 2 8 , 3 ,( 2 ) ( 4 ) , 3 ,a r aa r r? ? ? ? ? ? ? ?解 得 11分 所以定圆的方程为 22( 3) 9xy? ? ?. 12分 解法三 ： （）同解法一； （）当 直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ( 2)y k x?,与抛物 线交于点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， 2,6,(1 2)yxy k x? 化简得 2
16、2 2 2( 4 8 ) 4 0k x k x k? ? ? ?， 5分 显然 0? ， 212 248,kxx k ? 6分 设 ,AB的中点为 M ,则 212 21 2 4( ) , 4()2 2MMM kx x x yk kk x? ? ? ?， 7分 9 212 88A B x x p k? ? ? ?，由抛物线的对称性可知，若定圆存在其圆心必在 x 轴上， 设圆的方程为 2 2 2()x a y r? ? ?， 22222 2 22 4 1 6 4 4( ) ( )kkark k k? ? ? ? ?， 9分 2222( 3 2 8 ) ( 3 2 8 )( 2 ) ( 4 )ararkk? ? ? ? ?
