人教版九年级数学上册教案:23.2 中心对称(4).pdf

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1、1 23.223.2 中心对称(中心对称(4 4) 第四课时 教学内容教学内容 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点 P(x,y) ,关于原点的对称点为 P (-x,-y)及其运用 教学目标教学目标 理解 P 与点 P点关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,掌握 P(x,y)关于原点 的对称点为 P(-x,-y)的运用 复习轴对称、旋转,尤其是中心对称,知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其 运用 重难点、关键重难点、关键 1重点:两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点 P(x,y)关于原点的 对称点 P(-x,-y)及其运用 2难点与关键:运用中心对称的知识导出关于原点

2、对称的点的坐标的性质及其运用它 解决实际问题 教具、学具准备教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 (学生活动)请同学们完成下面三题 1已知点 A 和直线 L,如图,请画出点 A 关于 L 对称的点 A l A 2如图,ABC 是正三角形,以点 A 为中心,把ADC 顺时针旋转 60,画出旋转后 的图形 3如图ABO,绕点 O 旋转 180,画出旋转后的图形 老师点评:老师通过巡查,根据学生解答情况进行点评 (略) 二、探索新知二、探索新知 (学生活动)如图,在直角坐标系中,已知 A(-3,1) 、B(-4,0) 、C(0,3) 、D 2 (2,2) 、E(

3、3,-3) 、F(-2,-2) ,作出 A、B、C、D、E、F 点关于原点 O 的中心对称点, 并写出它们的坐标,并回答: 这些坐标与已知点的坐标有什么关系? -3 -3 3 O B A C -2 -2 1-1 y x 3 -4 D 4 2 2 1 -1 老师点评:画法:(1)连结 AO 并延长 AO (2)在射线 AO 上截取 OA=OA (3)过 A 作 ADx 轴于 D点,过 A作 ADx 轴于点 D ADO 与ADO 全等 AD=AD,OA=OA A(3,-1) 同理可得 B、C、D、E、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标 (学生活动)分组讨论(每四人一组):讨论的内容:关于原点作中

4、心对称时,它 们的横坐标与横坐标绝对值什么关系?纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系?坐标与 坐标之间符号又有什么特点? 提问几个同学口述上面的问题 老师点评:(1)从上可知,横坐标与横坐标的绝对值相等,纵坐标与纵坐标的绝对值 相等 (2)坐标符号相反,即设 P(x,y)关于原点 O 的对称点 P(-x,-y) 例例1 1如图,利用 关于原点对称的点的坐标的特点,作出与线段 AB关于原点对称的图形 -3 -3 3 O B A -2 -2 1-1 y x 3 -4 4 2 2 1 -1 分析 : 要作出线段 AB 关于原点的对称线段, 只要作出点 A、 点 B 关于原点的对称点 A、 B 即可 解

5、:点 P(x,y)关于原点的对称点为 P(-x,-y) , 两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反, 即点 P(x,y)关于原点 O 的对称点 P(-x,-y) 3 因此,线段 AB 的两个端点 A(0,-1) ,B(3,0)关于原点的对称点分别为 A(1,0) , B (-3,0) 连结 AB 则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 AB (学生活动)例 2已知ABC,A(1,2) ,B(-1,3) ,C(-2,4)利用关于原点对称 的点的坐标的特点,作出ABC 关于原点对称的图形 老师点评分析:先在直角坐标系中画出 A、B、C 三点并连结组成ABC,要作出ABC 关于原点 O 的对称

6、三角形,只需作出ABC 中的 A、B、C 三点关于原点的对称点,依次连 结,便可得到所求作的ABC 三、巩固练习三、巩固练习 教材 练习 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3 3如图,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到直线 A1B1 (1)在图中画出直线 A1B1 (2)求出线段 A1B1中点的反比例函数解析式 (3)是否存在另一条与直线 AB 平行的直线 y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线斜 率 k 值相等)它与双曲线只有一个交点,若存在,求此直线的函数解析式,若不存在,请说 明理由 -3 -3 3 O B A -2 -2

7、 1-1 y x 3 -4 4 2 2 1 -1 分析:(1)只需画出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90得到的点 A1、B1,连结 A1B1 (2)先求出 A1B1中点的坐标,设反比例函数解析式为 y= k x 代入求 k (3)要回答是否存在,如果你判断存在,只需找出即可 ; 如果不存在,才加予说明这 一条直线是存在的,因此 A1B1与双曲线是相切的,只要我们通过 A1B1的线段作 A1、B1关 于原点的对称点 A2、B2,连结 A2B2的直线就是我们所求的直线 解:(1)分别作出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90得到的点 A1(1,0) ,B1(2,0) , 连结 A1B1,那

8、么直线 A1B1就是所求的 (2)A1B1的中点坐标是(1, 1 2 ) 设所求的反比例函数为 y= k x 则 1 2 = 1 k ,k= 1 2 4 所求的反比例函数解析式为 y= 1 2 x (3)存在 设 A1B1:y=kx+b过点 A1(0,1) ,B1(2,0) 1 02 b kb 1 1 2 b k y=- 1 2 x+1 把线段 A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线 根据点 P(x,y)关于原点的对称点 P(-x,-y)得: A1(0,1) ,B1(2,0)关于原点的对称点分别为 A2(0,-1) ,B2(-2,0) A2B2:y=kx+b 1 02 b kb

9、1 2 1 k b A2B2:y=- 1 2 x-1 下面证明 y=- 1 2 x-1 与双曲线 y= 1 2 x 相切 1 1 2 1 2 yx y x - 1 2 x-1= 1 2 x x+2=- 1 x x2+2x+1=0,b2-4ac=4-411=0 直线 y=- 1 2 x-1 与 y= 1 2 x 相切 A1B1与 A2B2的斜率 k 相等 A2B2与 A1B1平行 A2B2:y=- 1 2 x-1 为所求 五、归纳小结五、归纳小结(学生总结,老师点评) 本节课应掌握: 两个点关于原点对称时, 它们的坐标符号相反, 即点P(x, y) , 关于原点的对称点P(-x, -y) ,及其

10、利用这些特点解决一些实际问题 六、布置作业六、布置作业 1教材 复习巩固 3、4 5 2选用作业设计 作业设计作业设计 一、选择题一、选择题 1下列函数中,图象一定关于原点对称的图象是( ) Ay= 1 x By=2x+1 Cy=-2x+1 D以上三种都不可能 2如图,已知矩形 ABCD 周长为 56cm,O 是对称线交点,点 O 到矩形两条邻边的距离之差等 于 8cm,则矩形边长中较长的一边等于( ) O B A C D A8cm B22cm C24cm D11cm 二、填空题二、填空题 1如果点 P(-3,1) ,那么点 P(-3,1)关于原点的对称点 P的坐标是 P_ 2写出函数 y=-

11、 3 x 与 y= 3 x 具有的一个共同性质_(用对称的观点写) 三、综合提高题三、综合提高题 1如图,在平面直角坐标系中,A(-3,1) ,B(-2,3) ,C(0,2) ,画出ABC关于 x 轴 对称的ABC, 再画出ABC关于 y 轴对称的ABC, 那么ABC 与ABC 有什么关系,请说明理由 -3 -3 3 B A C -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 O 2如图,直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,且 A(0,3) ,B(3,0) ,现将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到直线 A1B1 (1)在图中画出直线 A1B1; (2)求出过

12、线段 A1B1中点的反比例函数解析式; (3)是否存在另一条与直线 A1B1平行的直线 y=kx+b(我们发现互相平行的两条直线 斜率 k 相等)它与双曲线只有一个交点,若存在,求此直线的解析式 ; 若不存在,请说明不 存在的理由 6 -3 -3 3 B A -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 O 答案答案: : 一、1A 2B 二、1 (3,-1) 2答案不唯一 参考答案:关于原点的中心对称图形 三、1画图略,ABC与ABC 的关系是关于原点对称 2 (1)如右图所示,连结 A1B1; (2)A1B1中点 P(1.5,-1.5) ,设反比例函数解析式为 y= k x ,则 y=- 2.25 x (3)A1B1:设 y=k1x+b1 1 1 3 033 b k 1 1 1 3 k b y=x+3 与 A1B1直线平行且与 y= 2.25 x 相切的直线是 A1B1旋转而得到的 所求的直线是 y=x+3, 下面证明 y=x+3 与 y=- 2.25 x 相切, 3 2.25 yx y x x2+3x+2.25=0,b2-4ac=9-412.25=0, y=x+3 与 y=- 2.25 x 相切 -3 -3 3 B(A) B A -2 -2 1-1 y x3-4 4 2 2 1 -1 O

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