1、 1 广东省佛山市禅城区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 考试日期： 2017年 4月 21 日 考试时间： 120分钟 第卷 选择题 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1. i 是虚数单位， i 1 + i 等于 ( ) A . 1 + i B . ? 1 ? i C. 1 ? i D . ? 1 + i 2. “ 所有 10 的倍数都是 5 的倍数，某数是 10 的倍数，则该数是 5 的倍数， “ 上述推理 ( ) A . 完全正确 B . 推理形式不正确 C. 错误，因为大小 前提不一致 D . 错误，因为大前提错误 3. 观察下列各式： 5 5 =
2、 3 125 ， 5 6 = 15 625 ， 5 7 = 78 125 ， ? ，则 5 2017 的末四位数字为 ( ) A . 3125 B . 5625 C. 8125 D . 0625 4 . 已知 ? ， ? ， ? 的坐标分别为 ? 4 , 1 , 3 ， ? 2 , ? 5 , 1 ， ? 3 , 7 , ? ，若 ? ? ? ? ，则 ( ) A . ? = 14 B . ? = ? 14 C. ? = 28 D . ? = ? 28 5. 已知两个平面的法向量分别为 ? = 0 , 1 , 0 ， ? = 0 , 1 , 1 ，则这两个平面所成的二面角的平面角的大小为 (
3、) A . 45 B . 60 C. 45 或 135 D . 60 或 1 20 6. 某产品的销售收入 ? 1 （万元）是产量 ? （万台）的函数， ? 1 = 17 ? 2 ，生产总成本 ? 2（万元）也是 ? 的函数， ? 2 = 2 ? 3 ? ? 2 （ ? 0 ），为使利润最大，应生产 ( ) A . 6 万台 B . 7 万台 C. 8 万台 D . 9 万台 7. 曲线 ? = 13 ? 3 ? 2 在点 1 , ? 53 处的切线方程的斜率为 ( ) A . 3 B . 1 C. ? 1 D . ? 3 8. 若函数 ? = ? ? ? ln ? 在 1 , + 单调递增，
4、则 ? 的取值范围是 ( ) A . ? , ? 2 B . ? , ? 1 C. 2 , + D . 1 , + 2 9. 设函数 ? ? = 2? + ln ? ，则 ( ) A . ? = 2 为 ? ? 的极大值点 B . ? = 2 为 ? ? 的极小值点 C. ? = 12 为 ? ? 的极大值点 D . ? = 12 为 ? ? 的极小值点 1 0. 由曲线 ? = ? 2 与直线 ? = ? + 2 所围成的平面图形的面积为 ( ) A . 52 B . 4 C. 2 D . 92 11 . 由直线 ? = 0 ， ? = e ， ? = 2 ? 及曲线 ? = 2? 所围成的
5、封闭图形的面积为 ( ) A . 3 B . 3 + ln 2 C. 2 e 2 ? 3 D . e 12. 设函数 ? ? = e ? ? 3 ? 3 ? + 3 ? ? e ? ? ? ? ? 2 ，若不等式 ? ? 0 有解则实数 ? 的最小值为 ( ) A. 2 e ? 1 B . 2 ? 2 e C. 1 ? 1 e D. 1 + 2 e 2 第 II卷 非 选择题 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 . 若复数 ? = ? 2 ? 5 ? + 6 + ? ? 3 i 是实数，则实数 ? = 14. ?-22 (sin x 2x)dx _ 15 . 若函数 ?
6、= ? 3 ? 2 ? ? + ? 在 0 , 1 内无极值，则实数 ? 的取值范围是 16. 如图，内接于抛物线 y 1 x2的矩形 ABCD， 其中 A， B在抛物线上运动， C， D在 x轴上运动， 则此矩形的面积的最大值是 _ 三、解答题（共 6小题，共 70分） 17. （本小题满分 10 分） 已知曲线 ? = 5 ? ，求： ( 1) 曲线上与直线 ? = 2 ? ? 4 平行的切线方程； ( 2) 过点 ? 0 , 5 且与曲线相切的切线方程 3 18. （本小题满分 12分） 如图所示，在多面体 1 1 1ABDDCBA ，四边形 11AABB ， 11,ADD A ABCD
7、均为正方形， E 为 11BD 的中点，过 1,ADE 的平面交 1CD 于 F. (1)证明： 1/EF BC ； （ 2） 求二面角 11E AD B?余弦值 . 19. （本小题满分 12 分） 如图， ? ? ? 是以 ? 为直角的直角三角形， ? ? 平面 ? ? ? ，? ? = ? ? = 2 ， ? ? = 4 ，且 ? 、 ? 分别是 ? ? 、 ? ? 的中点 (1) 求二面角 ? ? ? ? ? ? 的余弦值； ( 2) 求点 ? 到平面 ? ? ? 的距离 20. （本小题满分 12分） 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10万元 /辆，出厂价为 13 万
8、元 /辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为 x(0 x 1)，则出厂价相应提高的比例为 0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y 关于 x 的函数式为 y 3 240? ? x2 2x 53 ，则当 x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润 为多少？ 年利润 (每辆车的出厂价每辆车的投入成本 ) 年销售量 4 21. （本小题满分 12 分） 在各项为正的数列 an中，数列的前 n项和 Sn满足 Sn 12? ?an1an . (1)求 a1， a2， a3； (2)由 (1)猜想到数列 an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 2 2
9、. （本小题满分 12 分） 已知函数 ? ? = ? ? + ? ln ? ? ? (1) 若函数在区间 e , + 上为增函数，求 ? 的取值范围； (2) 若 ? = 1 ，当 ? ? 时，不等式 ? ? ? 1 ? ? 在 ? 1 , + 上恒成立， 求 ? 的最大值 参考答案 一、选择题： DACB CABD BDAC 5 二、填空题： 13、 3； 14、 0； 15、 0a? ； 16、 439 三、 解答题： 17 、 （ 1 ） 设切点坐标为 ? 0 , ? 0 ， 则由 ? = 5 ? 得 ? ? ? = ?0=52 ? 0 因为切线与直线 ? = 2 ? ? 4 平行，
10、所以 52 ? 0= 2 所以 ? 0 =2516， ? 0 =254 所求切线方程为 ? ?254= 2 ? ?2516， 即 16 ? ? 8 ? + 25 = 0 （ 2 ） 因为点 ? 0 , 5 不在曲线 ? = 5 ? 上， 需设切点坐标为 ? ? , ? ， 则切线斜率为 52 ? 又因为切线斜率为 ? ? 5?， 所以 52 ?=? ? 5?=5 ? ? 5? 所以 2 ? ? 2 ? = ? ，得 ? = 4 所以切点坐标为 ? 4 , 10 ，斜率为 54 所以切线方程为 ? ? 10 =54? ? 4 即 5 ? ? 4 ? + 20 = 0 18、 18、（ 1）证明：
11、由正方形的性质可知 11/ / / /A B AB DC， 且 11A B AB DC?， 所以四边形 11ABCD 为平行四边形，从而 11/BC AD ， 又 1AD? 面 1ADE ， 1BC? 面 1ADE ， 于是 1 /BC 面 1ADE ，又 1 ( 1,1,1)n ? .设面 11ABCD 的法向量 2 2 2 2( , , )n r s t? ，而该面上向量6 1 1 1(1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 )A B A D? ? ?，由此同理可得 2 (0,1,1)n ? .所以结合图形知二面角1E AD B?的余弦值为 1212| 263| | | | 3
12、2nnnn? ? ?. 19 、 （ 1 ） 如图，以 ? 为原点， ? ? 所在直线为 ? 轴， ? ? 所在直线为 ? 轴，过 ? 与面 ? ? ? 垂直的直线为 ? 轴，建立空间直角坐标系， 易得 ? 4 , 0 , 2 ， ? 2 , 0 , 0 ， ? 0 , 1 , 0 由于 ? ? 平面 ? ? ? ， 则可取平面 ? ? ? 的法向量为 ?1= 0 , 0 , 1 设平面 ? ? ? 的法向量为 ?2= ? , ? , ? ， 因为 ? ? = 2 , ? 1 , 0 ， ? ? = ? 2 , 0 , ? 2 ， 由 ?2? ? ? = 0 ,?2? ? ? = 0 ,得 2
13、 ? ? ? = 0 ,? 2 ? ? 2 ? = 0 ,取 ? = 1 ，则平面 ? ? ? 的法向量 ?2= 1 , 2 , ? 1 ， 则 cos ? =?1? ?2?2?2=? 1 1 + 22+ ? 1 2=66， 由二面角 ? ? ? ? ? ? 为锐二面角，得二面角 ? ? ? ? ? ? 的余弦值为 66 （ 2 ） 因为 ? 在平面 ? ? ? 内， ? 4 , 0 , 0 ， ? ? = ? 2 , 0 , 0 ， 所以 ? 到平面 ? ? ? 的距离 ? =? ? ? ?2?2=21 + 4 + 1=63 20、 解： 由题意得，本年度每辆车的投入成本为 10(1 x)，
14、每辆车的出厂价为 13(1 0.7x)，年利润为 f(x) 13(1 0.7x) 10(1 x) y (3 0.9x)3 240 ? ? x2 2x 53 3 240(0.9x34.8x2 4.5x 5)，则 f( x) 3 240(2.7x2 9.6x 4.5) 972(9x 5)(x 3)， 由 f( x) 0，解得 x 59或 x 3(舍去 ) 当 x ? ?0， 59 时， f( x) 0， f(x)是增函数； 当 x ? ?59， 1 时， f( x) 0， f(x)是减函数 所以当 x 59时， f(x)取极大值， f? ?59 20 000.因为 f(x)在 (0,1)内只有一个
15、极大值，所以它是最大值 所以当 x 59时，本年度的年利润最大，最大利润为 20 000万元 21、 解： (1)S1 a1 12? ?a11a1 ，得 a21 1，因为 an 0，所以 a1 1. 7 S2 a1 a2 12? ?a21a2 ，得 a22 2a2 1 0，所以 a2 2 1. S3 a1 a2 a3 12? ?a31a3 ，得 a23 2 2a3 1 0，所以 a3 3 2. (2)猜想 an n n 1(n N*) 证明如下： n 1时， a1 1 0 1，命题成立 假设 n k(k1 ， k N*)时， ak k k 1成立， 则 n k 1 时， ak 1 Sk 1 S
16、k 12? ?ak 11ak 1 12?ak1ak ， 即 ak 112?ak 11ak 1 12?k k 1 1k k 1 12?ak 11ak 1 k， 所以 a2k 1 2 kak 1 1 0，所以 ak 1 k 1 k，则 n k 1时，命题成立 由 知， n N*， an n n 1. 22、 解：（ 1） f（ x） =ax+xlnx， f （ x） =a+1+lnx， 又函数 f（ x）在区间 e， + ）上为增函数， 当 xe 时， a+1+lnx0 恒成立， a （ -1-lnx） max=-1-lne=-2，即 a的取值范围为 -2， + ）； （ 2）当 x 1时， x-1 0， 故不等式 ( ) l n( 1 ) ( ) 11f x x x xk x f x k xx ? ? ? ? ?对任意 x 1恒成立 令 ln() 1x x xgx x? ? 则2ln 2( ) ( 1)xxgx x? ?令 h（ x） =x-lnx-2（ x 1），则 h(x)=1 -1/x
