1、第 1 页（共 28 页） 2020 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题（一、选择题（本题共本题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 36 分）分）每小题都给出标号为每小题都给出标号为 A，B，C，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1 （3 分） （2020烟台）4 的平方根是（） A2 B2 C2 D 2 2 （3 分） （2020烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A B C D 3 （3 分） （2020烟台）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如
2、图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（） Aa Bb Cc D无法确定 4 （3 分） （2020烟台）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（） A B C D 5 （3 分） （2020烟台）如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据（） A众数改变，方差改变 B众数不变，平均数改变 C中位数改变，方差不变 D中位数不变，平均数不变 第 2 页（共 28 页） 6 （3 分） （2020烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（） A按键即可进入统计计算状态 B计算的值，按键顺序为： 8 C计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度” “分” “秒”为单位的结
3、果 D计算器显示结果为 时，若按键，则结果切换为小数格式 0.333333333 1 3 7 （3 分） （2020烟台）如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA11，以斜边 OA2为直角边作等腰直角三角形 OA2A3，再以 OA3为直角边作等腰直角三角形 OA3A4，按此规律作下去，则 OAn的长 度为（） A （）n B （）n1 C （）n D （）n1 22 2 2 2 2 8 （3 分） （2020烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在AOB 中，射线 OC 交边 AB 于点 D，则ADC 的度数为（） 第 3 页（共 28 页） A60 B70 C80 D85 9 （3 分） （
4、2020烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” 在一次数学活动课上，小明用边长为 4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品“奔跑者” ， 其中阴影部分的面积为 5cm2的是（） A B C D 10 （3 分） （2020烟台）如图，点 G 为ABC 的重心，连接 CG，AG 并延长分别交 AB，BC 于点 E，F，连接 EF，若 AB4.4，AC3.4，BC3.6，则 EF 的长度为（） 第 4 页（共 28 页） A1.7 B1.8 C2.2 D2.4 11 （3 分） （2020烟台）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE
5、折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处若 AB3，BC5，则 tanDAE 的值为（） A B C D 1 2 9 20 2 5 1 3 12 （3 分） （2020烟台）如图，正比例函数 y1mx，一次函数 y2ax+b 和反比例函数 y3的图象在同一直角坐标系中，若 y3y1y2，则自变量 x 的取值范围是（） = Ax1 B0.5x0 或 x1 C0 x1 Dx1 或 0 x1 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 6 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 18 分）分） 13 （3 分） （2020烟台）5G 是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒 1
6、300000KB 以上，正常下载一部高清电影约需 1 秒将 1300000 用科学记数法表示为 14 （3 分） （2020烟台）已知正多边形的一个外角等于 40，则这个正多边形的内角和的度数为 第 5 页（共 28 页） 15 （3 分） （2020烟台）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x10 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 16 （3 分） （2020烟台）按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值为3，则输出 y 的结果为 17 （3 分） （2020烟台）如图，已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，C（2，4） ，D（6，6） ，连接 AB，CD，将线段
7、 AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段 CD 重合（点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D 重合） ， 则这个旋转中心的坐标为 18 （3 分） （2020烟台）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ab0；a+b10；a1；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根为 1，另一个根为 - 1 其中正确结论的序号是 第 6 页（共 28 页） 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 7 个小题，个小题，满分满分 66 分）分） 19 （6 分） （2020烟台）先化简，再求值：（），其中 x1，y1 2 2 2 + 2 = 3+ = 3 20 （8 分）
8、 （2020烟台）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球” 、 “篮球” 、 “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球”中选择 自己最喜欢的一项根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整； （3）我们把“羽毛球” “篮球” ， “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球”分别用 A，B，C，D，E 表示小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率 21 （9 分） （2020烟台）新冠疫情期间，
9、口罩成为了人们出行必备的防护工具某药店三月份共销售 A，B 两种型号的口罩 9000 只，共获利润 5000 元，其中 A，B 两种型号口罩所获利润之比为 2： 3已 知每只 B 型口罩的销售利润是 A 型口罩的 1.2 倍 （1）求每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共 10000 只，其中 B 型口罩的进货量不超过 A 型口罩的 1.5 倍，设购进 A 型口罩 m 只，这 1000 只口罩的销售总利润为 W 元该药店如何进货，才 第 7 页（共 28 页） 能使销售总利润最大？ 22 （9 分） （2020烟台）如图，在ABCD 中，D
10、60，对角线 ACBC，O 经过点 A，B，与 AC 交于点 M，连接 AO 并延长与O 交于点 F，与 CB 的延长线交于点 E，ABEB （1）求证：EC 是O 的切线； （2）若 AD2，求的长（结果保留 ） 3AM 23 （9 分） （2020烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人” ，如图 1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手 腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体 （1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一地区居民的身
11、高数据： 测量对象 男性（1860 岁） 女性（1855 岁） 抽样人数 （人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000 平均身高 （厘 米） 173 175 176 164 165 164 根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米； （2）如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 P 距地面 105 厘米指示牌挂在两臂杆 AB，AC 的连接点 A 处，A 点距地面 110 第 8 页（共 28 页） 厘米臂杆落下时两端点 B，C 在同一水平线上，BC10
12、0 厘米，点 C 在点 P 的正下方 5 厘米处若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角 （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结 果 （近似 值） 计算器按键顺序 计算结 果 （近似 值） 0.1 78.7 0.2 84.3 1.7 5.7 3.5 11.3 24 （12 分） （2020烟台）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边三角形 DEF，连接 CF 【问题解决】 如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE+CFCD； 【类比探究】 如图 2，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之
13、间存在怎样的数量关系？并说明理由 25 （13 分） （2020烟台）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DE= 1 2 OA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； 第 9 页（共 28 页） （3）抛物线上是否存在点 D，使得以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 第 10 页（共 28 页）
14、2020 年山东省烟台市中考数学试卷年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（本题共本题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 36 分）分）每小题都给出标号为每小题都给出标号为 A，B，C，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1 （3 分） （2020烟台）4 的平方根是（） A2 B2 C2 D 2 【解答】解：4 的平方根是2 故选：C 2 （3 分） （2020烟台）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A B C D 【解答】解：A、是中心对
15、称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意 故选：A 3 （3 分） （2020烟台）实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（） Aa Bb Cc D无法确定 【解答】解：有理数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示， 这三个数中，实数 a 离原点最远，所以绝对值最大的是：a 故选：A 4 （3 分） （2020烟台）如图，是一个几何体的三视图，则这个几何体是（） 第 11
16、页（共 28 页） A B C D 【解答】解：结合三个视图发现，这个几何体是长方体和圆锥的组合图形 故选：B 5 （3 分） （2020烟台）如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据（） A众数改变，方差改变 B众数不变，平均数改变 C中位数改变，方差不变 D中位数不变，平均数不变 【解答】解：如果将一组数据中的每个数都减去 5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少 5，方差不变， 故选：C 6 （3 分） （2020烟台）利用如图所示的计算器进行计算，按键操作不正确的是（） 第 12 页（共 28 页） A按键即可进入统计计算状态 B计算的值，按键顺序为： 8
17、C计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度” “分” “秒”为单位的结果 D计算器显示结果为 时，若按键，则结果切换为小数格式 0.333333333 1 3 【解答】解：A、按键即可进入统计计算状态是正确的，故选项 A 不符合题意； B、计算的值，按键顺序为：，故选项 B 符合题意； 8 C、计算结果以“度”为单位，按键可显示以“度” “分” “秒”为单位的结果是正确的，故选项 C 不符合题意； D、计算器显示结果为 时，若按键，则结果切换为小数格式 0.333333333 是正确的，故选项 D 不符合题意； 1 3 故选：B 7 （3 分） （2020烟台）如图，OA1A2为等腰直角三角形
18、，OA11，以斜边 OA2为直角边作等腰直角三角形 OA2A3，再以 OA3为直角边作等腰直角三角形 OA3A4，按此规律作下去，则 OAn的长 度为（） A （）n B （）n1 C （）n D （）n1 22 2 2 2 2 【解答】解：OA1A2为等腰直角三角形，OA11， 第 13 页（共 28 页） OA2； = 2 OA2A3为等腰直角三角形， OA32； = ( 2)2 OA3A4为等腰直角三角形， OA42 2 = ( 2)3 OA4A5为等腰直角三角形， OA54， = ( 2)4 OAn的长度为（）n1 2 故选：B 8 （3 分） （2020烟台）量角器测角度时摆放的位置
19、如图所示，在AOB 中，射线 OC 交边 AB 于点 D，则ADC 的度数为（） A60 B70 C80 D85 【解答】解：OAOB，AOB140， AB（180140）20， = 1 2 AOC60， ADCA+AOC20+6080， 故选：C 9 （3 分） （2020烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板” 在一次数学活动课上，小明用边长为 4cm 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品“奔跑者” ， 其中阴影部分的面积为 5cm2的是（） 第 14 页（共 28 页） A B C D 【解答】解：最小的等腰直角三角形的面积421（cm2） ，平行四边形面
20、积为 2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为 2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为 4cm2，则 = 1 8 1 2 A、阴影部分的面积为 2+24（cm2） ，不符合题意； B、阴影部分的面积为 1+23（cm2） ，不符合题意； C、阴影部分的面积为 4+26（cm2） ，不符合题意； D、阴影部分的面积为 4+15（cm2） ，符合题意 故选：D 10 （3 分） （2020烟台）如图，点 G 为ABC 的重心，连接 CG，AG 并延长分别交 AB，BC 于点 E，F，连接 EF，若 AB4.4，AC3.4，BC3.6，则 EF 的长度为（） A1.7 B1.8 C2.2 D2.4 第
21、 15 页（共 28 页） 【解答】解：点 G 为ABC 的重心， AEBE，BFCF， EF1.7， = 1 2 = 故选：A 11 （3 分） （2020烟台）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 DC 上，将矩形沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处若 AB3，BC5，则 tanDAE 的值为（） A B C D 1 2 9 20 2 5 1 3 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ADBC5，ABCD3， 矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处， AFAD5，EFDE， 在 RtABF 中，BF4， =2 2=25 - 9 =
22、 CFBCBF541， 设 CEx，则 DEEF3x 在 RtECF 中，CE2+FC2EF2， x2+12（3x）2，解得 x， = 4 3 DEEF3x， = 5 3 tanDAE， = = 5 3 5 = 1 3 故选：D 第 16 页（共 28 页） 12 （3 分） （2020烟台）如图，正比例函数 y1mx，一次函数 y2ax+b 和反比例函数 y3的图象在同一直角坐标系中，若 y3y1y2，则自变量 x 的取值范围是（） = Ax1 B0.5x0 或 x1 C0 x1 Dx1 或 0 x1 【解答】解：由图象可知，当 x1 或 0 x1 时，双曲线 y3落在直线 y1上方，且直线
23、 y1落在直线 y2上方，即 y3y1y2， 所以若 y3y1y2，则自变量 x 的取值范围是 x1 或 0 x1 故选：D 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 6 个小题，个小题，每小题每小题 3 分，分，满分满分 18 分）分） 13 （3 分） （2020烟台）5G 是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒 1300000KB 以上，正常下载一部高清电影约需 1 秒将 1300000 用科学记数法表示为1.3106 【解答】解：将数据 1300000 用科学记数法可表示为：1.3106 故答案为：1.3106 14 （3 分） （2020烟台）已知正多边形的一个外角等于 4
24、0，则这个正多边形的内角和的度数为1260 【解答】解：正 n 边形的每个外角相等，且其和为 360， 据此可得40， 360 = 解得 n9 （92）1801260， 即这个正多边形的内角和为 1260 故答案为：1260 15 （3 分） （2020烟台）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x10 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是m0 且 m1 第 17 页（共 28 页） 【解答】解：根据题意得 m10 且224（m1）（1）0， 解得 m0 且 m1 故答案为：m0 且 m1 16 （3 分） （2020烟台）按如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值为3，则输
25、出 y 的结果为18 【解答】解：31， x3 代入 y2x2，得 y2918， 故答案为：18 17 （3 分） （2020烟台）如图，已知点 A（2，0） ，B（0，4） ，C（2，4） ，D（6，6） ，连接 AB，CD，将线段 AB 绕着某一点旋转一定角度，使其与线段 CD 重合（点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D 重合） ， 则这个旋转中心的坐标为（4，2） 【解答】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是 P 点，P（4，2） 第 18 页（共 28 页） 故答案为（4，2） 18 （3 分） （2020烟台）二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论： ab0；a
26、+b10；a1；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个根为 1，另一个根为 - 1 其中正确结论的序号是 【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得 a0，对称轴在 y 轴的右侧，b0， ab0，故错误； 由图象可知抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ，与 y 轴的交点为（0，1） ， c1， a+b10，故正确； a+b10， a1b， b0， 第 19 页（共 28 页） a10， a1，故正确； 抛物线与与 y 轴的交点为（0，1） ， 抛物线为 yax2+bx1， 抛物线与 x 轴的交点为（1，0） ， ax2+bx10 的一个根为 1，根据根与系数的关系，另一个根为，故正
27、确； - 1 故答案为 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 7 个小题，个小题，满分满分 66 分）分） 19 （6 分） （2020烟台）先化简，再求值：（），其中 x1，y1 2 2 2 + 2 = 3+ = 3 【解答】解：（）， 2 2 2 + 2 ， ( + ) ( + )( ) 2 ( + )( ) ( + ) ， = ( + )( ) ( + ) ， = 2 当 x1，y1 时， = 3+ = 3 原式2 = (3 1)2 2 =- 3 20 （8 分） （2020烟台）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“
28、羽毛球” 、 “篮球” 、 “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球”中选择 自己最喜欢的一项根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）此次共调查了多少名学生？ （2）将条形统计图补充完整； （3）我们把“羽毛球” “篮球” ， “足球” 、 “排球” 、 “乒乓球”分别用 A，B，C，D，E 表示小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率 第 20 页（共 28 页） 【解答】解：（1）此次共调查的学生有：40200（名） ； 72 360 = （2）足球的人数有：2004060203050（人） ，补全统
29、计图如下： （3）根据题意画树状图如下： 第 21 页（共 28 页） 共用 25 种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有 20 种， 则他俩选择不同项目的概率是 20 25 = 4 5 21 （9 分） （2020烟台）新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具某药店三月份共销售 A，B 两种型号的口罩 9000 只，共获利润 5000 元，其中 A，B 两种型号口罩所获利润之比为 2： 3已 知每只 B 型口罩的销售利润是 A 型口罩的 1.2 倍 （1）求每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润； （2）该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共 10000 只，其中 B 型口罩
30、的进货量不超过 A 型口罩的 1.5 倍，设购进 A 型口罩 m 只，这 1000 只口罩的销售总利润为 W 元该药店如何进货，才 能使销售总利润最大？ 【解答】解：设销售 A 型口罩 x 只，销售 B 型口罩 y 只，根据题意得： ，解答， x + y = 9000 2000 1.2 = 3000 x = 4000 = 5000 经检验，x4000，y5000 是原方程组的解， 每只 A 型口罩的销售利润为：（元） ，每只 B 型口罩的销售利润为：0.51.20.6（元） 2000 4000 = 0.5 答：每只 A 型口罩和 B 型口罩的销售利润分别为 0.5 元，0.6 元 （2）根据题
31、意得，W0.5m+0.6（10000m）0.1m+6000， 10000m1.5m，解得 m4000， 0.10， W 随 m 的增大而减小， m 为正整数， 当 m4000 时，W 取最大值，则0.14000+60005600， 即药店购进 A 型口罩 4000 只、B 型口罩 6000 只，才能使销售总利润最大，增大利润为 5600 元 22 （9 分） （2020烟台）如图，在ABCD 中，D60，对角线 ACBC，O 经过点 A，B，与 AC 交于点 M，连接 AO 并延长与O 交于点 F，与 CB 的延长线交于点 E，ABEB （1）求证：EC 是O 的切线； （2）若 AD2，求的
32、长（结果保留 ） 3AM 第 22 页（共 28 页） 【解答】 （1）证明：连接 OB， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD60， ACBC， ACB90， BAC30， BEAB， EBAE， ABCE+BAE60， EBAE30， OAOB， ABOOAB30， OBC30+6090， OBCE， EC 是O 的切线； （2）四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD2， 3 过 O 作 OHAM 于 H， 则四边形 OBCH 是矩形， OHBC2， 3 第 23 页（共 28 页） OA4，AOM2AOH60， = 60 = 的长度 AM= 60 4 180 = 4 3 23
33、（9 分） （2020烟台）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人” ，如图 1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手 腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体 （1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一地区居民的身高数据： 测量对象 男性（1860 岁） 女性（1855 岁） 抽样人数 （人） 2000 5000 20000 2000 5000 20000 平均身高 （厘 米） 173 175 176 164 165 164 根据你所学的知
34、识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米； （2）如图 2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 P 距地面 105 厘米指示牌挂在两臂杆 AB，AC 的连接点 A 处，A 点距地面 110 厘米臂杆落下时两端点 B，C 在同一水平线上，BC100 厘米，点 C 在点 P 的正下方 5 厘米处若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角 第 24 页（共 28 页） （参考数据表） 计算器按键顺序 计算结 果 （近似 值） 计算器按键顺序 计算结 果 （近似 值） 0.1 78.7 0.2 84.3 1
35、.7 5.7 3.5 11.3 【解答】解：（1）用表格可知，男性应采用 176 厘米，女性应采用 164 厘米 故答案为 176，164 （2）如图 2 中，ABAC，AFBC， BFFC50cm，FACFAB， 由题意 FC10cm， tanFAC5， = = 50 10 = FAC78.7， BAC2FAC157.4， 答：两臂杆的夹角为 157.4 24 （12 分） （2020烟台）如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边三角形 DEF，连接 CF 【问题解决】 如图 1，若点 D 在边 BC 上，求证：CE
36、+CFCD； 【类比探究】 如图 2，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由 第 25 页（共 28 页） 【解答】 【问题解决】证明：在 CD 上截取 CHCE，如图 1 所示： ABC 是等边三角形， ECH60， CEH 是等边三角形， EHECCH，CEH60， DEF 是等边三角形， DEFE，DEF60， DEH+HEFFEC+HEF60， DEHFEC， 在DEH 和FEC 中， ， DE = FE = = DEHFEC（SAS） ， DHCF， CDCH+DHCE+CF， CE+CFCD； 【类比探究】解：线段 C
37、E，CF 与 CD 之间的等量关系是 FCCD+CE；理由如下： ABC 是等边三角形， AB60， 过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，如图 2 所示： 第 26 页（共 28 页） GDAB， GDCB60，DGCA60， GDCDGC60， GCD 为等边三角形， DGCDCG，GDC60， EDF 为等边三角形， EDDF，EDFGDC60， EDGFDC， 在EGD 和FCD 中， ， ED = DF = = EGDFCD（SAS） ， EGFC， FCEGCG+CECD+CE 25 （13 分） （2020烟台）如图，抛物线 yax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B
38、 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DE= 1 2 第 27 页（共 28 页） OA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段 DF 的长度最大时，求 D 点的坐标； （3）抛物线上是否存在点 D，使得以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）设 OBt，则 OA2t，则点 A、B 的坐标分别为（2t，0） 、 （t，0） ， 则 x（2tt） ，解得：t1， = 1 2 =
39、1 2 故点 A、B 的坐标分别为（2，0） 、 （1，0） ， 则抛物线的表达式为：ya（x2） （x+1）ax2+bx+2， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）对于 yx2+x+2，令 x0，则 y2，故点 C（0，2） ， 由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：yx+2， 设点 D 的横坐标为 m，则点 D（m，m2+m+2） ，则点 F（m，m+2） ， 则 DFm2+m+2（m+2）m2+2m， 10，故 DF 有最大值，此时 m1，点 D（1，2） ； （3）存在，理由： 第 28 页（共 28 页） 点 D（m，m2+m+2） （m0） ，则 ODm，DEm2+m+2， 以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似， 则，即2 或 ，即2 或 ， = 或 = 1 2 2+ + 2 = 1 2 解得：m1 或2（舍去）或或（舍去） ， 1 +33 4 1 33 4 故 m1 或 1 +33 4
