1、 1 江苏省张家港市杨舍镇 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 一 .填空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分， 计 70 分，请将正确结果填在相应横线上 .） 1.复数 i1 的共轭复数是 _. 2. 若 )4, ? kNk ，则将 kkkk )1)(2)(3( ? 用排列数符号 mnA 表示为 . 3.求值 nnnn CC ? ? 9 14 _. 4. 用反证法证明 “ 在 一 个三角形的 3 个内角中，至少有 2 个锐角 ” 时，应假设的内容 是 . 5. 如果复数 (m2 i)(1 mi)(其中 i 是虚数单位 )是纯虚数，则实数 m _. 6. 设随机变量 X
2、的分布列为 P(X i) i2a， (i 1,2,3)，则 P(X 2)等于 . 7.二项式 ? ?x 1x 8的展开式中常数项等于 . 8.若 )5.0,5( BX ，则 )4( ?XP . 9. 已知甲、乙、丙 3 名运动员击中目标的概率分别为 0.7， 0. 8， 0.85，若他们 3 人向目标各发 1枪， 则 目标 没有被击中的概率为 . 10.若 (1 x)n a0 a1x a2x2 ? anxn(n N*)，且 a1 a2 21，则展开式的各项中系数的最大值为 . 11. 在五个数字 1,2,3,4,5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是_(结果用数值表示 )
3、 12 把正整数按一定的规则排成了如 右下 图所示的三角形数表设 aij(i， j N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数，如 a42 8.若 aij 2009，则 i 与 j 的和为 . 13.对于命题： 若 O 是线段 AB 上一点，则有 |OB | OA |OA | OB 0. 将它类比到平面的情 形是： 2 若 O 是 ABC 内一点，则有 S OBC OA S OCA OB S OAB OC 0. 将它类比到空间的情形应该是： 若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有 _ 14. 已知函数 f(x) 1 xx lnx，则 f(x)在 ? ?12， 2
4、 上的最大值等于 . 二 .解答题 （本大题共 6 小题，计 90 分，请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤 .） 15. （本小题 14 分） 已知复数 z 3 bi(b R)，且 (1 3i)z 为纯虚数 . (1)求复数 z； (2)若 z2 i，求复数 的模 | |. 16 （本小题 14 分） 在 ? ?2 x 1x 6的展开式中，求： (1)第 3 项的二项式系数及 系数； (2)含 x2的项 3 17 （本小题 15 分） 喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像 (排成一排 ) (1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法
5、？ (2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？ (3)记灰太狼和红太狼之间的喜羊羊家族的成员个数为 ? ，求 ? 的概率分布 . 4 18. （本小题 15 分） 在数列 an， bn中， a1 2， b1 4，且 an， bn， an 1成等差数列， bn， an 1， bn 1成等比数列 (n N*).求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此归纳出 an， bn的通项公式，并证明你的结论 . 19. （本小题 16 分） 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 .现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种
6、子选手 3 名 .从这 8名运动员中随机选择 4 人参加比赛 . (1)设 A 为事件 “ 选出的 4 人中恰有 2 名种子选手 ，且这 2 名种子选手来自同一个协会 ” 求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的 概率 分布 . 5 20. （本小题 16 分） 已知函数 f(x) ax x2 xlna， a1. (1)求证：函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增； (2)对任意 x1， x2 1,1， |f(x1) f(x2)|e 1 恒成立，求 a 的取值范围 6 高二年级数学试卷参考答案 20170413 一 .填空题 （本大题共 1
7、4 小题，每小题 5 分，计 70 分 ，请将正确结果填在相应横线上 .） 1.复数 i1 的共轭复数是 _. i?1 考点 :复数的有关概念 2. 若 )4, ? kNk ，则将 kkkk )1)(2)(3( ? 用排列数符号 mnA 表示为 . 4kA 考点：排列数公式 3.求值 nnnn CC ? ? 9 14 _.2 考点：组合数公式的应用 4. 用反证法证明“在 1 个三角形的 3 个内角中，至少有 2 个锐角”时 ，应假设的内容 是 . 至多有 1 个锐角 考点：反证法 5. 如果复数 (m2 i)(1 mi)(其中 i 是虚数单位 )是 纯虚 数，则实数 m _.0 或 1 考点
8、：复数的代数运算 6. 设随机变量 X 的分布列为 P(X i) i2a， (i 1,2,3)，则 P(X 2)等于 .13 考点：随机变量 的概率分布 7.二项式 ? ?x 1x 8的展开式中常数项 等于 .70 考点：二项式定理的应用 8.若 )5.0,5( BX ，则 )4( ?XP . 0.1875（或 163 ） 考点：二项分布 9. 已知甲、乙、丙 3 名运动员击中目标的概率分别为 0.7， 0. 8， 0.85，若他们 3 人向目标各发 1枪，则目标没有被击中的概率为 .0.009 考点：独立事件的概率问题 7 10.若 (1 x)n a0 a1x a2x2 ? anxn(n N
9、*)，且 a1 a2 21，则展开式的各项中系数的最大值为 .20 考点：二项式系数的性质的应用 11. 在五个数字 1,2,3,4,5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是_(结果用数值表示 ) 0.3 考点：古典概型问题 12 把正整数按一定的规则排成了如 右下 图所示的三角形数表设 aij(i， j N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、 从左往右数第 j 个数，如 a42 8.若 aij 2009，则 i 与 j 的和为 . 107 考点：数阵问题 13.对于命题： 若 O 是线段 AB 上一点，则有 |OB | OA |OA | OB 0. 将它类比到平
10、面的情形是： 若 O 是 ABC 内一点，则有 S OBC OA S OCA OB S OAB OC 0. 将它类比到空间的情形应该是： 若 O 是四面体 ABCD 内一点， 则有 _ VO BCD OA VO ACD OB VO ABD OC VO ABC OD 0 考点：类比推理 14. 已知函数 f(x) 1 xx lnx，则 f(x)在 ? ?12， 2 上的最大值 等于 .1 ln2 考点：用导数研究函数的最值 二 .解答题 （本大题共 6 小题，计 90 分，请写出必要的文字表述、计算过程或推演步骤 .） 15. （本小题 14 分） 已知复数 z 3 bi(b R)，且 (1 3
11、i)z 为纯虚数 . (1)求复数 z； (2)若 z2 i，求复数 的模 | |. 考点：复数的代数运算 15.解 : (1)(1 3i)(3 bi) (3 3b) (9 b)i， ? 3 分 8 (1 3i)z 是纯虚数， 3 3b 0 且 9 b0 ， ? 6 分 则 b 1， 从而 z 3 i. ? 8 分 (2) z2 i 3 i2 i 75 15i. ? 11 分 | | ? ?75 2 ? ? 15 2 2. ? 14 分 16 （本小题 14 分） 在 ? ?2 x 1x 6的展开式中，求： (1)第 3 项的二项式系数及系数； (2)含 x2的项 考点：二项式定理的应用 16
12、.解 (1)第 3 项的二项式系数为 C26 15， ? 2 分 又 T3 C26(2 x)4? ? 1x 2 24C 26x， ? 5 分 所以第 3 项的系数为 24C26 240. ? 7 分 (2)Tk 1 Ck6(2 x)6 k? ? 1x k ( 1)k26 kCk6x3 k， ? 10 分 令 3 k 2，得 k 1. ? 12 分 所以含 x2的项为第 2 项，且 T2 192x2. ? 14 分 17 （本小题 15 分） 喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像 (排成一排 ) (1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法
13、？ (2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？ (3)记 灰太狼 和 红太狼 之间的 喜 羊羊家族的成员 个数为 ? ，求 ? 的概率分布列 . 考点：排列组合应用题，随机变量的概率分布 17.解 ： (1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为 A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有 A33A 44 144 种排法 ? 4 分 (2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有 A44种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插入四人形成的空 (包括两端 )，有 A25种排法，共有 A44A 25 480 种排法 ? 8 分 (3)31)0( 665522 ?AAAp ?154)1(
14、66441422 ?A AAAp ?9 51)2( 66332422 ?A AAAp ?152)3( 66223422 ?A AAAp ?151)4( 664422 ?AAAp ? 13 分 ? 的概率分布表如下： ? 15 分 ? 0 1 2 3 4 P 31 154 51 152 151 18. （本小题 15 分） 在数列 an， bn中， a1 2， b1 4，且 an， bn， an 1成等差数列， bn， an 1， bn 1成等比数列 (n N*).求 a2， a3， a4及 b2， b3， b4，由此归纳出 an， bn的通项公式，并证明你的结论； 考点：合情推理，数学归纳法
15、18.解 由条件得 2bn an an 1， a2n 1 bnbn 1， ? 2 分 由此可得 a2 6， b2 9， a3 12， b3 16， a4 20， b4 25. 猜测 an n(n 1)， bn (n 1)2. ? 6 分 用数学归纳法证明： 当 n 1 时，由上可得结论成立 . ? 7 分 假设当 n k 时，结论成立，即 ak k(k 1)， bk (k 1)2， ? 9 分 那么当 n k 1 时， ak 1 2bk ak 2(k 1)2 k(k 1) (k 1)(k 2)， ? 11 分 bk 1 a2k 1bk (k 2)2. ? 13 分 所 以当 n k 1 时，结论也成立 . ? 14 分 由
