1、 1 2016-2017 学年 度第二学期期中考试 高二理科数学试题 (时间 150分钟，满分 150分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1若复数 z a-2i的实部与虚部相等，则实数 a ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 2已知复数 z i-11 ，则 z i 在复平面内对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象 限 D第四象限 3观察： 6 15ca B bac C acb D abc 2 11在数学归纳法的递推性证明中，由假设 n k时成立推导 n k 1时成立时， f(n)
2、1 12 13 ? 12n 1增加的项数是 ( ) A 1 B 2k C 2k 1 D 2k 1 12如果函数 y f(x)的导函数的图象如图 1所示，给出下列判断： 函数 y f(x)在区间 ? ? 3， 12 内单调递增； 函数 y f(x)在区间 ? ? 12， 3 内单调递减； 函数 y f(x)在区间 ( )4， 5 内单调递增； 当 x 2时 ，函 数 y f(x)有极小值； 当 x 12时，函数 y f(x)有极大值则上述 判断中正确的是 ( ) A B C D 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上 ) 13复数 3 ii2 (i为虚数
3、单位 )的实部等于 _ 14观察下列各式： a b 1， a2 b2 3， a3 b3 4， a4 b4 7， a5 b5 11， ? ，则 a10 b10 _ 15曲线 y sin x(0 x) 与 x轴 围成的封闭图形的面积为 _. 16已知函数 f(x) x3 3mx2 nx m2在 x 1时有极值 0，则 m n _ . 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10分 )设复数 z 2 2 i ，若 z2 az b 1 i，求实数 a， b的值 18 (本小题满分 12分 )证明： 1， 3， 2不能为同一等差数列的三项
4、 3 19 (本小题满分 12分 ) 当 n2 ， n N*时，求证： 1 12 13 ? 1n n 20 (本小题满分 12分 ) 已知函数 axxxxf ? 93)( 23 . （ 1） 求 )(xf 的单调递减区间； （ 2） 若 )(xf 在区间 2,2? 上的最大值是 20，求它在该区间上的最小值。 21 (本小题满分 12分 ) 计算曲线 y x2 2x 3与直线 y x 3所围图形的面积 4 22 (本小题满分 12分 ) 已知函数 f(x) x3 3ax2 3x 1. (1)当 a 2时，讨论 f(x)的单调性； (2)若 x 2， ) 时， f(x)0 ，求 a的取值范围 5
5、 2016-2017学年 度第二学期期中考试 高二理科数学答案 一 、选择题 1-5 CABCD 6-10 BCBAD 11-12 BD 二 、填空题 13.-3 14.123 15.2 16.11 三 、解答题 17.（ 10 分） z 2 2 i 2i 3 3i2 i 3 i2 i 5 5 5i5 1 i. 因为 z2 az b (1 i)2 a(1 i) b 2i a ai b (a b) (2 a)i 1 i， 所以? a b 1， a 1， 解得 ? a 3，b 4. 18.（ 12 分） 证明：假设 1， 3， 2为同一等差数列的三项 则有等差数列的定义知 12 ( 3)2 3，
6、则 2 3不成立， 则假设不成立， 即原命 题成立，即 1， 3， 2不能为同一等差数列的三项 19.（ 12 分） 证明： (1)当 n 2时，左边 1 12 1.7，右边 2，左边右边 (2)方法一：假设当 n k(k2 且 k N*)不等式成立，即 1 12 13 ? 1k k，则当 n k 1时，左边 1 12 13 ? 1k 1k 1 k 1k 1 k k 1k 1 k k 1k 1 k 1k 1 k 1右式， 即当 n k 1时，不等式也成立 20. （ 12分） 解：（ 1） 963)( 2 ? xxxf ， 令 0)( ?xf 得： 1?x 或 3?x 故 )(xf 在 )1,
7、( ? 和 ),3( ? 上单调递减。 ?6 分 （ 2）由（ 1）可知， )(xf 在 2,2?x 上的最 大值为 )2(?f 或 )2(f 取得。 )2(?f = 2?a ， 222)2( ? aaf 所以 2022)2()( m a x ? afxf ， 2?a 7)1()( m in ? fxf 6 21. （ 12分） 由 ? y x 3，y x2 2x 3， 解得 x 0及 x 3. 从而所求图形的面积 S30?(x 3) (x2 2x 3)dx 30?( x2 3x)dx ? ?13x332x2 30 92. 22.（ 12 分） (1)当 a 2时， f(x) x3 3 2x2
8、 3x 1， f( x) 3x2 6 2x 3. 令 f( x) 0，得 x1 2 1， x2 2 1. 当 x ( ， 2 1)时， f( x) 0， f(x)在 ( ， 2 1)上是增函数； 当 x ( 2 1， 2 1)时， f( x) 0， f(x)在 ( 2 1, 2 1)上是减函数； 当 x ( 2 1， ) 时， f( x) 0， f(x)在 ( 2 1， ) 上是增函数 (2)由 f(2)0 ，得 a 54. 当 a 54， x (2， ) 时， f( x) 3(x2 2ax 1)3 ? ?x2 52x 1 3? ?x 12 (x 2) 0， 所以 f(x)在 (2， ) 上是增函数，于是当 x 2， ) 时， f(x) f(2)0. 综上， a的取值范围是 ? ? 54， .
