1、 - 1 - 北京师大附中 2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科） 说明：本试卷满分 150分，考试时间 120分钟 一、选择题（每小题 5 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上） 1已知 i为虚数单位，复数 13z i? ? 在复平面上对应的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2若直线31,5:42,5? ? ? ? ?xtlyt（ t为参数）的倾斜角为 ，则 ( ) A 3sin 5? B 3tan 4? C 4tan 3? D tan 2? 3设双曲线 22 1( 0 , 0 )xy ab
2、ab? ? ? ?的虚轴长为 2，焦距为 23，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A 2yx? B 2yx? C 22yx? D 12yx? 4计算定积分 10 ( 2 )xe x dx?( ) A 1 B e-1 C e D e+1 5下面为函数 sin cosy x x x?的递增区间的是 ( ) A 3,22?B 35,22?C ? ?,2? D ? ?2 ,3? 6以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取 相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是 1,3xtyt? ?（ t为参数），圆 C的极坐标方程是4cos? ，则直线 l 被圆 C截得的弦长为
3、 ( ) - 2 - A 14 B 214 C 2 D 22 7如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BAC=90 ， AB=AC=AA1=2，点 G与 E分别是 A1B1和 CC1的中点，点 D与 F分别是 AC 和 AB 上的动点若 GDEF ，则线段 DF 长度的最小值为 ( ) A 255 B 355 C 55 D 22 8已知函数 ( 1)y f x?的图象关于点 (-1， 0)对称，且当 x( - ， 0)时， ( ) ( ) 0f x xf x?成立， (其中 f(x) 是 f(x)的导数）；若 ? ?0.2 0.222af?（ ） , (ln 2) (ln 2)bf? ，
4、2211(lo g ) (lo g )44cf?， 则 a， b， c 的大小关系是（ ） A abc B bac C cab D cba 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 9若复数 z满足 1z ii? ，其中 i为虚数单位，则 |z|=_ 10在极坐标系中，极点到直线 : sin ( ) 24l ?的距离是 _ 11如图，圆 2 2 2:O x y ?内的正弦曲线 sinyx? 与 x轴围成的区域记为 M（图中阴影部分），随机往圆 O内投一个点 A，则点 A落在区域 M内的概率是 _ 12设曲线 xye? 过点 (0， 0)的切线与曲线 1 ( 0)yxx?上点 P处的切线垂直，
5、则 P的坐- 3 - 标为 _ 13已知函数 ? ? 32f x x ax bx c? ? ? ?在 x=-2处取得极值，并且它的图象与直线33yx? ? 在点 (1， 0)处相切，则函数 f(x)的表达式为 _。 14定义在区间 a， b上的连续函数 y=f(x)，如果 , ab? ，使得( ) ( ) ( ) ( )f b f a f b a? ? ?，则称 ? 为区间 a,b上的 “ 中值点 ” 下列函数： ? ? 32f x x?； ? ? 2 1f x x x? ? ?； ? ? ? ?ln 1f x x?； ? ? 31()2f x x?中，在区间 0,1上 “ 中值点 ” 多于一
6、个的函数序号为 _（写出 所 有 满足条件的函数的序号） 三、解答题（共 80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15己知函数 ? ? 3 31f x x x? ? ? ( I)求函数 f(x)的极值： (II)求函数 f(x)在 0， 2上的最大值； 16设 F为抛物线 2:4C y x? 的焦点， A、 B是抛物线 C上的两个动点， O为坐标原点 (I)若直线 AB经过焦点 F，且斜率 为 2，求线段 AB的长度 |AB|； (II)当 OAOB 时，求证：直线 AB 经过定点 M(4， 0) 17已知函数 ? ? 1 ( 1 ) lnf x kx k xx? ? ? ?， k
7、R (I)求函数 f(x)的单调区间； (II)当 k0时，若函数 f(x)在区间 (1， 2)内单调递减，求 k的取值范围 18已知椭圆 2229C x y?： ，点 P(2， 0) (I)求椭圆 C的短轴长与离心率； ( II)过 (1， 0)的直线 l与椭圆 C相交于 M、 N两点，设 MN的中点为 T，判断 |TP|与 |TM|的大小， 并证明你的结论 19已知函数 ? ? lnxfx x? (I)求函数在点 (1， 0)处的切线方程； (II)设实数 k使得 f(x)0 ，且 1 2 1 23, 1x x x x? ? ?, 所以 21 2 1 2 1 25 5 ( ) 4 5? ?
8、 ? ? ? ?A B x x x x x x （ II）因为 A， B是抛物线 C上的两点，所以设 22( , ), ( , )44tsA t B s， 由 OAOB ，得 2() 016stO A O B st? ? ? ?，所以 16st? 22( 4 , ) , ( 4 , ) ,44tsM A t M B s? ? ? ?由 22 ( ) ( 1 6 )( 4 ) ( 4 ) 04 4 1 6t s t s tsst ? ? ? ? ?，知 MA MB ，即直线 AB 经过定点 M（ 4,0） 17解：（ I）函数 ()fx的定义域为 ? ?|0xx? - 6 - 22 2 21 1
9、 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )( ) k k x k x k x xf x k x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 1）当 0k? 时，令 ( ) 0fx? ，解得 01x?，此时函数 ()fx为单调递增函数； 令 ( ) 0fx? ，解得 1x? ，此时函数 ()fx为单调递减函数 （ 2）当 0k? 时， 当 1 1k? ，即 1k? 时， 令 ( ) 0fx? ，解得 10 x k? 或 1x k? ，此时函数 ()fx为单调递增函数； 令 ( ) 0fx? ，解得 1 1xk?，此时函数 ()fx为单调递减函数 当 1k? 时， ( ) 0fx? 恒成立，
10、函数 ()fx在 (0, )? 上为单调递增函数； 当 1 1k? ，即 01k?时， 令 ( ) 0?fx ，解得 01x?或 1x k? ，此时函数 ()fx为单调递增函数； 令 ( ) 0fx? ，解得 11 x k? ，此时函数 ()fx为单调递减函数 综上所述， 当 0k? 时，函数 ()fx的单调递增区间为（ 0,1），单调递减区间为 (1, )? ； 当 01k?时，函数 ()fx的单调递增区间为（ 0,1）， 1( , )k ? ，单调递减区间为 1(1, )k ； 当 1k? 时，函数 ()fx的单调递增区间为 (0, )? ； 当 1k? 时，函数 ()fx的单调递增区间为
11、 1(0, )k ， (1, )? ，单调递减区间为 1( , )k ? （ II）2( 1)( 1)( ) kx xfx x? 因为函数 ()fx在（ 1， 2）内单调递减，所以不等式在2( 1)( 1) 0kx xx?在（ 1,2）上成立 因为 (1,2)x? ，则 10x? ，所以等价于 10kx? ，即 1k x? ，所以 10 2k? 18解：（ I） 22:1992xyC ?，故 2 2 2999 , , ,22a b c? ? ? - 7 - 有 3a? ， 3 22bc? 椭圆 C的短轴长为 2 3 2b? ，离心率为 22ce a? （ II）方法 1：结论是： TP TM?
12、 当直线 l 斜率不存在时， : 1, 0 2l x T P T M? ? ? ? 当直线 l 斜率存在时，设直线 1 1 2 2: ( 1 ) , ( , ) , ( , )l y k x M x y N x y? 2229( 1)xyy k x? ? ?，整理得： 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 9 0k x k x k? ? ? ? ? 2 2 2 2 2( 4 ) 4 ( 2 1 ) ( 2 9 ) 6 4 3 6 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ? 故 221 2 1 24 2 9,2 1 2 1kkx x x x ? ? ?1 2 1 2( 2 ) ( 2 )P
13、M P N x x y y? ? ? ? ? 21 2 1 2( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )x x k x x? ? ? ? ? ? 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( 2 ) ( ) 4k x x k x x k? ? ? ? ? ? ? 222 2 22 9 4( 1 ) ( 2 ) 42 1 2 1kkk k k? ? ? ? ? ? 2265021kk ? ?故 90MPN? ? ? ，即点 P在以 MN为直径的圆内，故 TP TM? （ II）方法 2,：结论是 TP TM? 当直线 l 斜率不存在时， : 1, 0 2l x T P T M? ? ? ? 当直线
14、 l 斜率存在时，设直线 1 1 2 2: ( 1 ) , ( , ) , ( , ) , ( , )TTl y k x M x y N x y T x y? 2229( 1)xyy k x? ? ?，整理得： 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 9 0k x k x k? ? ? ? ? 2 2 2 2 2( 4 ) 4 ( 2 1 ) ( 2 9 ) 6 4 3 6 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ? - 8 - 故 221 2 1 24 2 9,2 1 2 1kkx x x x ? ? ?212 2212( ) , ( 1 )2 2 1 2 1T T Tkkx x x y
15、k x? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 4 22 2 2 2 22 2 2 2 2 22 ( 2 2 ) 4 9 4( 2 ) ( 2 ) ( )2 1 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )TT k k k k k kT P x y k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 1( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) 4 2 4 4? ? ? ? ? ? ? ?T M M N k x x k x x x x 2 2 2 2 4 2222 2 2 2 2 21 4 2 9 ( 1 ) ( 1 6 9
16、 ) 1 6 2 5 9( 1 ) ( ) 4 4 2 1 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k kk k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?此时， 4 2 4 2 4 2222 2 2 2 2 21 6 2 5 9 4 9 4 1 2 1 6 5 0( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k kT M T P k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故 TM TP? 19解：（ I） 1yx?； （ II）因为 0x? ，所以 lnx kxx ? 恒成立等价于2lnxk x?恒成立， 令2ln() xgx x
17、?，再求函数2ln() xgx x?的最大值 ln 1() 2ege ee?，得 k的范围是12k e? ； （ III）由 ( ) ( ) 0h x f x kx? ? ?，得 ln 0x kxx ?，即 2ln 0x kx?，2lnxk x?， 研究函数2ln() xgx x?，2ln() xgx x?的最大值 ln 1() 2ege ee?， 2()gee ? ，21()gee?所以，当 12k e? 或者 2ke? 时，有 0个零点； 当 12k e? 或者 221eke? ? ?时，有 1个零点； 当2112kee?时，有 2个零点； 20解：（ I） （ II）当 m=3时，设数列
18、 nA 中 1,2,3，出现频数依次为 1 2 3,q q q ，由题意 1( 1,2,3)iqi? - 9 - 假设 1 4q? ，则有 12 sta a a a? ? ? （对任意 2st? ）， 与已知矛盾，所以 1 4q? 同理可证： 3 4q? 假设 2 1q? ，则存在唯一的 ? ?1,2, ,kn? ，使得 2ka? 那么，对 ,st? ，有 1 12k s ta a a a? ? ? ? ?（ k， s， t两两不相等），与已知矛盾， 所以 2 2q? 综上： 1 4q? ， 3 4q? ， 2 2q? ，所以 31 20iiS iq? （ III）设 1， 2， ? ， 2018出现频数依次为 1 2 2018, , ,q q q 同（ II）的证明，可得 1 2 0 1 8 2 2 0 1 74 , 4 , 2 , 2q q q q? ? ? ?，则 2026n? 取 1 2 0 1 8 2 2 0 1 74 , 2q q q q? ? ? ?， 1, 3 , 4 , 5 , , 2 0 1 6iqi? ，得到的数列为： : 1 ,1 ,1 ,1 , 2
