1、 1 福建省福州市八县一中 2016-2017学年高二数学下学期期中联考试题 理 第卷 一、选择题（每小题 5分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、设 i为虚数单位，复数 ( 1)z i i?则复数 z 的共轭复数 z 对应的点位于（ ）。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象 限 2、下列值等于 1的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 3、在平面上，如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，若两个相似三角形的边长比为 1:2.则它们的面积之比为 1:4。类似地，在空间中，如果面数相同的多面体的对应
2、面相似，有相同的相似比且对应多面角相等，那么这两个多面体叫相似多面体；若两个相似四面体的棱长比为 1:2，则它们的体积比为（ ）。 A、 1:2 B、 1:4 C、 1:6 D、 1:8 4、 函数 )(xf 的定义域为开区间 ),( ba ，导函数 )(xf? 在 ),( ba 内的图象如图所示，则函数 )(xf 在开区间 ),( ba 内有极大值点 个数为 （ ）。 A、 1个 B、 2 个 C、 3个 D、 4个 5、 已知和式21 2 3 . nnS ? ? ? ?,当 ?n 时 ,S 无限趋近于一个常数 A,则 A可用定积分表示为 ( ) A、 B、 C、 D、 6、 用数学归纳法证
3、明不等式 *1 1 11 . . . ( , 2 )2 3 2 1n n n N n? ? ? ? ? ? ?，在验证0nn?（ 0n 为起始值）时，不等式左边为 ( )。 A、 1 B、 112?C、 11123?D.01 1 11 .2 3 2 1n? ? ? ? ? 7、 一物体在力 ( ) 2xF x e x? (单位 :N)的作用下 ,沿着与 力 F相同的方向 ,从 x=0处运动到 x=3处 (单位 :m),则力 F(x)所作的功为 ( )。 A、 3 9e? B、 3 8e? C、 3 2e? D、 3 1e? abxy )( xfy ?O高二数学试卷 第 1 页 共 4 页 高二
4、数学试卷 第 2 页 共 4 页 1012dx?10xdx?10 ( 1)x dx?101dx?10xdx?110Xdx?10 xdx?1 20xdx?2 8、 若函数 21( ) ln 12f x x x ax? ? ? ?在区间)3,21(上单调递减，则实数 a的取值范围为 （ ）。 A、 ( ,2? B、 ( ,2)? C、),310 ?D、 5( , )2? 9、 已知函数 ( ) 1xf x e mx? ? ?的图像为曲线 C，若曲线 C存在与直线 2yx? 垂直的切线， 则实数 m的取值范围（ ） 。 A、 2m? B、 2m? C、 12m?D、 12m?10、 函数 f（ x）
5、在定义域 R内可导，若 任意的 x R，都有 ( ) (2 )f x f x?，且当 1x? 时，有 ( 1) ( ) 0x f x?，设 (ln )a f e? ， (ln2)bf? ， 1(ln )cfe?，则 a、 b、 c的大小关系为（ ）。 A、 a b c B、 c a b C、 c b a D、 b c a 11、 若函数 3( ) 3f x x x? ? ? 在 2(3 ,2 )aa? 上有最大值，则实数 的取值范围是 ( )。 A、 1( , 2)2B、 ( 2, 5 C、 (1, 2) D、 ( 2, 5) 12、 设函数 ()fx、 ()gx的定义域分别为 A ， B ，
6、且 AB? ，若对于任意 xA? ，都有 ( ) ( )g x f x? ， 则称 ()gx函数为 ()fx 在 B 上的一个延拓函数 .设 ( ) ( 1)( 0 )xf x e x x? ? ?， ()gx为 ()fx在R 上的一个延拓函数，且 ()gx是奇函数 .给出以下命题 ： 当 0x? 时， ( ) (1 )xg x e x?； 函数 ()gx有 3个零点； ( ) 0gx? 的解集为 ( 1 0) (1 )? ? ?， ， ； 12x x R?， ，都有12 22| ( ) ( ) |g x g x e?。 其中正确命题的个数是 （ ）。 A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
7、第卷 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分 ，共 20分） 13、 若复数 11iz i? ?（ i为虚数单位），则 |z |= . 3 14、 2 20 ( 4 )x x dx? 的值等于 . 15、 某 小朋友按如下规则练习数数， 1大拇指， 2食指， 3中指， 4 无名指， 5小指， 6无名指， 7中指， 8食指， 9大拇指 ， 10 食指， . ，一直数到 2017时，对应的指头是 16、 已知函数 ( ) 2 ( 0 , )xf x a e a e? 为 自 然 对 数 的 底 数的图 象与直线 0x? 的交点为 M ，函数 ( ) ln ( 0)xg x aa?的图象与直线
8、0y? 的交点为 N， MN 恰好是点 M 到函数( ) ln ( 0)xg x aa?图象上任意一点的线段长的最小值，则实数 a 的值是 三、 解答题（本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 。 ） 17、 （ 10 分） 已知复数 ? ? immmmz 922 221 ?， imz ?2 i为虚数单位 ,? ?Rm? （ 1）当复数 1z 为纯虚数时，求 m的取值 （ 2）当实数 1,2m? 时，复数 12z zz? ， 求 复数 z的 实部最值。 18、（ 10 分） 已知函数 1()fxx? （ 1）利用 定义法 求函数 1()fxx? 的导 函 数 （
9、 2） 求曲线 1()fxx? 过 ? ?02， 的切线 方程 （ 3）求（ 2）的切线与曲线 1()fxx? 及 直线 x=2所围成的曲边图形的面积。 19、（ 12 分） 设曲线 C ： ? ? bxxaxf ? ln ， ()fx? 表示 ()fx导函数已知函数 ()fx在 处有极值 1? (1)求 ?xf 的解析式 . (2)数列 na 满足 1 1a? ， 求 2, 3, 4aaa ，用不完全归纳法猜想 na 的通项公式并用数学归纳法加以证明。 (3)在 (2)的基础上用反证法证 明 ：数列 na 中不存在任何 不同 三项成等差数列； 20、 （ 12 分） 已知 f(x)= 222
10、?x ax( x R)在区间 1,2上是增函数 . （ 1）若函数 f(x)在区间 1,2上是增函数 ,求实数 a 的值组成的集合 A； （ 2）设关于 x 的方程 f(x)=x1 的两个非零实根为 x1、 x2.试问：是否存在实数 m，使得不等式1?x高二数学试卷 第 3 页 共 4 页 高二数学试卷 第 4 页 共 4 页 1 123n nafa? ?4 m2+tm+1? |x1 x2|对任意 a A及 t 1， 1恒成立？若存在，求 m的取值范围；若不存在，请说明理由 . 21、（ 12 分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球
11、形，按照设计要求 中间圆柱体 部分的容积为 16立方米，且 L 2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 1千元，半球形部 分每平方米建造费用为 ( 0)2c c? 千元设该容器的建造费用为 y千元（圆柱体体积公式为 2V rl? ，球的体 积公式为343Vr? ，圆柱侧面积公式为 2S rl? ，球的表面积公式为 24Sr? ） (1)写出 y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 22、（ 14 分） 已知函数 () xf x e kx?， x R （ 1）若 k=e，求函数 f（ x）的极值； （ 2）若对于任
12、意 , ( ) 0x R f x?恒成立，试求实数 k的取值范 围； （ 3）设函数 ? ? ? ? ? ?h x f x f x? ? ?，求证： ? ? ? ? ? ? ? ?2 2lnln2ln1ln 1 ? ?nen nhhh（ *nN? ） 5 高中 二 年 数学科 （理科） 参考答案 一、选择题： 1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.C 9.D 10.A 11.B 12.B 二、填空题： 13.1 14. 2? 15. 大拇指 16. 2 三、解答题： 17.解：依题意得： 220220902 9 02mmmmmmmm? ? ? ?或且2m?3分 （ 2）2
13、212 2 ( 2 9 ) Z z z m m m m i m i? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 2 2 3 23 2 32 2 9 ( 2 ) 2 99 ( 1 0 2 2 )m m m m m m i m m im m m m m i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4分 设 3 2( ) 9 , 1 , 2 , ( ) 9 3 0g m m m m g m m? ? ? ? ? ?，可得 3 3 (mm? ? ?或 舍 去 ） 6分 所以，当 13m?（ ， ） 时， (m) 0g ? ，所以 g(m)在此区间单调递增； 当 3m?（ ,2） 时， (m) 0g ?
14、 ，所以 g(m)在此区间单调递减； 8分 (1 ) 8 , ( 2 ) 1 0 , ( 3 ) 6 3, ( ( 3 ) 6 3()g g gg m ggm? ? ?因 为所 以 ） 的 最 大 值 为的 最 小 值 为 g(1)=8所以，实部最大值为 63，最小值为 8. 10分 18.解（ 1） 11 ()xy x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 1分 1( ) ( )yxx x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 2 分 211( ) l i m l i m ()xxyfx x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 分 （ 2）
15、设切点 00,)Px y（ ，因为 21y x? 4分 201k x? ? ，切线方程 2 2 20 0 01 1 2( 2 )y x y xx x x? ? ? ? ? ? ? 6 则00220000121yxxxy x? ? ? ? ?5分 020022 1xxx? ? ? ?所以切线方程 2yx? ? 6分 （ 3）21 2)xS x dx? ? ? 1（7分 2 2 21 1 12 2 2 21 1 1121l n | | 2 |21l n 2 l n 1 ( 4 1 ) 2( 2 1 )23l n 2 221l n 22dx xdx dxxx x x? ? ? ? ? ? ? ? ?
16、 ? ? ? ? ?19. 解：（ 1）函数定义域为 (0 , ), ( ) af x bx? ? ? -1 依题意得： (1) 1, (1) 0ff? ? ? 即：1 ,0baab?=1解 得 b=-1-3 ( ) lnf x x x? ? ? -4 （ 2）由（ 1）得： 11 11 , 2 ( ) 3 2 ( 1 ) 3 2 1n n nna a f a aa? ? ? ? ? ? ? ?2132432 1 32 1 72 1 15aaaaaa? ? ? ? ? ? ?猜想： (2 1), ( * )nna n N? ? ? -5 证明：当 n=1时， 1 (2 1) 1a ? ? ? 成立； 假设当 n=k时， (2 1)kka ?成立 -6 10分 1( ) 1fx x?7 当 n=k+1时，1112 1 2 ( 2 1 ) 1( 2 2 ) 1( 2 1 )kkkkkaa? ? ? ? ? ? ? ?所以，当 n=k+1时，结论也成立 综上所述， (2 1), ( * )nna n N? ? ?时成立。 -8 （ 3）假设存在不同的三项 , , ( , , * )m n pa a a m n p m n p N? ? ?且 成等
