1、 1 湖北省武汉市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1、下列说法中不正确的是（ ） A、“ xy? ”是“ | | | |xy? ”的充分不必要条件 B、命题 : , sin 1p x R x? ? ?，则 00: , sin 1p x R x? ? ? ? C、命题：“若 ,xy 都是偶数，则 xy? 是偶数”的否命题是“若 ,xy不是偶数，则 xy? 不是偶数 ” D、命题 :p 所有有理数都是实数， :q 正数的对数都是负数，则 ( ) ( )pq? ? ? 为真命题 2、设函数 2( ) ( )f x g x x?，若曲线
2、 ()y gx? 在点 (1, (1)g 处的切线方程为 21yx?，则曲线()y f x? 在点 (1, (1)f 处曲线的斜率 为（ ） A、 4 B、 14? C、 2 D、 12? 3、 如图，直线 l 和圆 C ，当 l 从 0l 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过 090 ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函 数，这个函数的图像大致是（ ） 4、下列参数方程能与方程 2yx? 表示同一曲线的是（ ） A、2(xttyt? ?为参数 ) B、 2sin (sinxttyt? ?为参数 ) C、 (|xt tyt?为参数 ) D、 1 cos
3、2 (1 cos 2tantxttyt? ?为参数 ) 5、椭圆 22143xy?的左焦点为 F ，直线 xm? 与椭圆相交于点 ,AB，当 FAB? 的周长最大时，FAB? 的面积是（ ） 2 A、 12 B、 13 C、 2 D、 3 6、已知圆 2 2 2: ( 1) ( 0 )C x y r r? ? ? ?，设条件 :0 3pr? ，条件 :q 圆 C 上至多 有 2 个点到直线3 3 0xy? ? ? 的距离为 1，则 p 是 q 的（ ）条件 . A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要 7、已知函数 21( ) 4 3 ln2f x x x x? ? ?
4、?在 , 1tt? 上不单调，则 t 的取值范围为（ ） A、 (0,1) (2,3) B、 (0,2) C、 (0,3) D、 (0,1 2,3) 8、已知 2( ) 1 ,f x x a b? ? ?，则 | ( ) ( )|f a f b? 与 |ab? 的大小关系为（ ） A、 | ( ) ( ) | | |f a f b a b? ? ? B、 | ( ) ( ) | | |f a f b a b? ? ? C、 | ( ) ( ) | | |f a f b a b? ? ? D、不确定 9、设函数 1( ) ln ( 0 )3f x x x x? ? ?，则函数 ()y f x?
5、（ ） A、在区间 1,1e?和 ? ?1,e 上都有零点 B、在区间 1,1e?和 ? ?1,e 上都无零点 C、在区间 1,1e?上有零点，在区间 ? ?1,e 上无零点 D、在区间 1,1e?上无零点，在区间 ? ?1,e 上有零点 10、已知圆 221 : ( 2) 4C x y? ? ?，抛物线 22 : 2 ( 0 )C y px p?， 1C 与 2C 相交与 ,AB两点，且85|5AB? ，则抛物线 2C 的方程为（ ） A、 2 85yx? B、 2 165yx? C、 2 325yx? D、 2 645yx? 11、曲线112 (3332xttyt? ? ? ? ?为参数
6、) 和 2216xy?交于 ,AB两点，则 AB 中点坐标为（ ） A、 (3, 3)? B、 ( 3,3)? C、 ( 3, 3)? D、 (3, 3)? 12 、 若 函 数 32()f x x ax bx c? ? ? ?有 极 值 点 12,xx，且 11()f x x? ， 则 关 于 x 的方程3 23 ( ) 2 ( ) 0f x af x b? ? ?的不同实数根个数是（ ） A、 3 B、 4 C、 5 D、 6 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、若过双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好在椭圆22
7、1xyab?，则双曲线的离心率为 . 14、对任意实数 ( 0)aa? 和 b ，不等式 | | | | | | ( | 1 | | 2 |)a b a b a x x? ? ? ? ? ? ?恒成立，则实数 x 的取值范围为 . 15、已知函数 3( ) 3 1f x ax x? ? ?对任意 0,1x? 上总有 ( ) 0fx? 成立， 则实数 a 的取值范围是 . 16、设函数 2( ) ( 2 )()1 0 ( 2 )lnx a e xfx x axx? ? ? ? ? ? ?(e 是自然对数的底数 ) ,若 (2)f 是函数 ()fx的最小值，则 a 的取值范围为 . 三、解答题（第
8、 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分） 17、用半径为 R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 ? 的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角 ? 为多大时，容器的容积最大？ 18、 设 p ：实数 a 满足不等式 39a? ， q ：函数 ? ? ? ?32331 932 af x x x x? ? ?无极值点 . （ 1）若 “ pq? ” 为假命题， “ pq? ” 为 真命题，求实数 a 的取值范围； （ 2）已知 “ pq? ” 为真命题，并记为 r ，且 t ： 2 112022a m a m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，若 r 是 t? 的必
9、要不充分条件，求正整数 m 的值 19、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 cos (2sinx a t tyt? ?为参数， 0a? ) ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 co s( ) 2 24? ? ?. 4 （ 1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 2a? 时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值； （ 2）若曲线 C 上所有点都在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围 . 20、已知函数 ( ) | 2 1|f x x?. （ 1）求不等式 ( ) 2fx? 的解集； （ 2）若函数 ( ) ( ) ( 1)g x
10、 f x f x? ? ? 的最小值为 a 且 ( 0 , 0 )m n a m n? ? ? ?， 求 2221mn? 的最小值 . 21、在平面直角坐标系中，已知点 (1,0)F ，直线 :1lx? ，动直线 l? 垂直于 l 于点 H ，线段 HF 的垂直平分线交 l? 于点 P ，设 P 的轨迹为 C . （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）以曲线 C 上的点 0 0 0( , )( 0)Q x y y ?为切点作曲线 C 的切线 1l ，设 1l 分别与 ,xy轴交于 ,AB两点，且 1l 恰与以定点 (4,0)M 为圆心的圆相切 . 当圆 M 的面积最小时，求 ABF? 与AQM
11、? 面积的比 . 22、已知 ln( ) l n , (0 , , ( ) xf x a x x x e g x x? ? ? ?，其中 e 为自然对数的底数， aR? . （ 1）当 1a? 时，求 ()fx的极值，并证明 1( ) ( ) 2f x g x?恒成立； （ 2）是 否存在实数 a ，使 ()fx的最小值为 3？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理 由 . 5 2016 2017 下学期高二期中考试数学（文科）参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D D D C A B D C D A 二、填空题 13、 2 14
12、、 15,22?15、 4, )? 16、 2,6 三、解答题 17、设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，体积为 V ，则 2 2 2r h R?，因此 2 2 2 2 31 1 1 1( ) (0 )3 3 3 3V r h R h h R h h h R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 33hR? 。 当 33hR? 时容积最大，把 33hR? 代入 2 2 2r h R?得 63rR? 由 2Rr? 得 263? ，即圆心角为 263? 时容积最大。 18、 解 ： 由 39a? ， 得 2a? ， 即 p ： 2a? 函数 ?fx无 极值点， ? ?0fx? 恒 成立，得
13、 ? ?29 3 4 9 0a? ? ? ? ? ?， 解得 15a?， 即 q ： 15a? （ 1） “ pq? ” 为 假命题， “ pq? ” 为 真 命题 ， p 与 q 只 有一个 命题 是真命题 若 p 为 真命题， q 为 假命题，则 2 115a aaa? ? ? 或 若 q 为 真命题， p 为 假命题，则 2 2515a aa? ? ? ? ? 于 是，实数 a 的 取值范围为 ? ?1 2 5a a a? ? ?或 （ 2） “ pq? ” 为真命题， 2 1215a aa? ? ? ? ? 又 2 112022a m a m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
14、? ? ? ?， ? ? 1 02a m a m? ? ? ?， 6 am? 或 12am?， 即 t ： am? 或 12am?， 从而 t? ： 12m a m? ? ? r 是 t? 的 必要不充分条件，即 t? 是 r 的 充分不必要条件， 1122mm? ? ， 解得 31 2m?， *mN? ， 1m? 19、（ 1）由 c o s 2 24? ? ?得 2 ( c o s s in ) 2 22 ? ? ? ? ? ?，化成直角坐标 方程得 2 ( ) 2 22 xy? ? ?，即直线 l 的方程为 40xy?。 依题意，设 (2 cos , 2sin )P t t，则点 P 到
15、直线 l 的距离为 | 2 c o s 2 s in 4 |2ttd ? | 2 c o s ( ) 4 |4 2 2 2 c o s 42t t? ? ? ? ? ? 当 2 ( )4t k k Z? ? ? ? ?即 32 ( )4t k k Z? ? ?时 min 2 2 2d ?， 故点 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2 2? 。 （ 2） 曲线 C 上的所有点都在直线 l 的 右下方 对 tR? 有 co s 2 sin 4 0a t t? ? ?恒成立 即 2 4 c o s ( ) 4at? ? ? ?恒成立 2 44a ? ，又 0a? 0 2 3a? 故 a 的取值范
16、围为 (0,2 3) 。 20、（ 1）由 ( ) 2fx? 知 |2 1| 2x? ，于是 2 2 1 2x? ? ? ? ，解得 1322x? ? ? ， 不等式 ( ) 2fx? 的解集为 13,22?。 （ 2）由题意得 ( ) | 2 1 | | 2 3 | | 2 1 ( 2 3 ) | 2g x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 13,22x ?时等号成立，所以其最小值 2a? ，即 2mn? ， 又 2 1 1 2 1 1 2( ) 322 nmmnm n m n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 (3 2 2)2
17、?7 当且仅当 2nmmn? 即 4 2 2 , 2 2 2mn? ? ? ?时等号成立。 所以 222 1 2 1 1 7 2 22 ( 3 2 2 )22mn mnm n m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 2221mn? 的最小值为 7 2 22? ，此时 4 2 2 , 2 2 2mn? ? ? ?。 21、（ 1）由题意得 | | | |PH PF? ， 点 P 到直线 :1lx? 的距离等于它到定点 ( 1,0)F? 的距离 点 P 的轨迹是以 l 为准线、 F 为焦点的抛物线 点 P 的轨迹 C 的方程为 2 4yx? 。 （ 2）由题意知切线 1l 的斜率必然
18、存在，设为 k ，则 1 0 0: ( )l y y k x x? ? ?，由 002()4y y k x xyx? ? ? ?得20014y y k y x? ? ?即 220044 0y y y ykk? ? ? ?由 0? 得02k y? 21 0 0: 4 2 0l x y y y? ? ? 令 0x? 则 02yy? 00,2yB?令 0y? 则 2004yxx? ?， 0( ,0)Ax? 点 (4,0)M 到切线 1l 的距离 22 002200416 6 2322 4 4yydyy? ? ? ?（当且仅当 0 22y ? 时取等号） 当点 Q 的坐标为 (2,2 2) 时，满足题意的圆 M 的面积最小， 此时 ( 2, 0), (0, 2 )AB? 13(1 2 ) 2 222ABFS ? ? ? ? ? 1 ( 4 2 ) 2 2 6 22A Q MS ? ? ? ? ? 14ABFAQMSS? ?即 ABF? 与 AQM? 的面积比为 1:4 。 22、（ 1） ( ) lnf x x x? 11( ) 1 xfx xx? ? ? ? 8 当 01x?时， ( ) 0fx? ? ，
