1、 1 2016-2017 学年度高二年级期中考试 数学（理科）试卷 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1设正弦函数 y sinx在 x 0和 x2附近的瞬时变化率为 k1、 k2，则 k1、 k2的 大小关系为 ( ) A k1k2 B k12， 函数 f(x)的单调递减区间为 ( ， 0)和 (2， ) (2) f( 2) 8 12 a 20 a， f(2) 8 12 a 4 a， f( 2)f(2) 在 (0,2)上 f (x)0， f(x)在 (0,2上单调递增 又由于 f(x)在 2， 0上单调递减，
2、因此 f(0)是 f(x)在区间 2,2上的最大值 ， 于是有 f(0)=a 20 f(x) x3 3x2 20 f(2) 16，即函数 f(x)在区间 2， 2上的最小值 为 16. 21解析 (1)f (x) 3x2 6x. 令 f (x)2， 函数 f(x)的单调递减区间为 ( ， 0)和 (2， ) (2) f( 2) 8 12 a 20 a， f(2) 8 12 a 4 a， f( 2)f(2) 在 (0,2)上 f (x)0， f(x)在 (0,2上单调递增 又由于 f(x)在 2， 0上单调递减，因此 f(0)是 f(x)在区间 2,2上的最大值 ， 于是有 f(0)=a 20
3、f(x) x3 3x2 20 f(2) 16，即函数 f(x)在区间 2， 2上的最小值为 16. 22【解题指南】 (1)根据曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0， 2)，可将 P(0， 2)分别代入到 y=f(x)和 y=g(x)中，再利用在点 P 处有相同的切线 y=4x+2，对曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)进行求导，列出关于 a， b， c， d的方程组求解 . (2)构造函数 F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数 F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定 k的取值范围 . 【解析】 (1)由已知得 f(0)=2， g(0)=2，
4、 f (0)=4， g (0)=4.而 f (x)=2x+a， g (x)=ex(cx+d+c). 故 b=2， d=2， a=4， d+c=4.从而 a=4， b=2， c=2， d=2. 5 (2)由 (1)知 f(x)=x2+4x+2， g(x)=2ex(x+1).设 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2， 则 F (x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得 F(0) 0，即 k 1.令 F (x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得 x1=-lnk， x2=-2. 若 1 k0，即 F(x)在 x (-2， x1)上
5、单调递减，在 x (x1， + )上单调递增，故 F(x)在 -2， + )上有最小值为 F(x1).F(x1)=2x1+2- -4x1-2=-x1(x1+2) 0. 故当 x -2时， F(x) 0恒成立，即 f(x) kg(x). 若当 k=e2，则 F (x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当 x-2时， F (x)0，即 F(x)在 (-2， + )上单调递增，而 F(-2)=0，故当且仅当 x -2时， F(x) 0恒成立，即 f(x) kg(x). 若 ke2，则 F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0.从而当 x -2时， f(x) kg(x)不可能恒成立 . 综上， k 的取值范围为 1， e2.
