1、 - 1 - 新绛二中 2017 2018 学年第二学期期中考试试题 高二数学 (理科 ) 一 选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 1一个物体的位移 s (米 )和与时间 t (秒 )的关系为 242s t t? ? ? ，则该物体在 4 秒末的瞬时速度是 （） A 12米 /秒 B 8米 /秒 C 6米 /秒 D 8米 /秒 2由曲线 2yx= ， 3yx= 围成的封闭图形面积为（） A 112 B 14 C 13 D 712 3 给出下列四个命题：（ 1）若 zC? ，则 2 0z ；（ 2） 2i 1- 虚部是 2i ；（ 3）若, i ia b a b? ? ? ?
2、则 ； (4）若 12,zz，且 12zz ，则 12,zz为实数；其中 正确命题 的个数为 （） A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 4在复平面内复数 (1 i)(2 i)b+（ i 是虚数单位， b 是实数）表示的点在第四象限，则 b 的取值范围是（） A.b 0) (1)当 a 1时，求 f(x)的单调区间； (2) 若 f(x)在 (0,1上 的最大值为 12，求 a的值 22 (本小题 12分） 已知函数 2( ) lnf x a x x=+（ a 为实常数） （ 1）若 2a=- ，求证：函数 ()fx在 (1, )上是增函数； （ 2）求函数 ()fx在 1,e 上的最小值
3、及相应的 x 值； - 4 - 新绛二中 2017 2018学年第二学期期中考试 高二 理数 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A A C D C A C D D B 二、填空题 13 4 3i5- 14. k 31 15 2() 22nfn n? ? 16 324( ) 43 RR?；球的体积函数的导数等于球的表面积函数 三、解答题 17. 当高 33hl? 时， 32327maxVl?18. （ 1）解由 2 10x ? ，得抛物线与轴的交点坐标是 ( 1,0)? 和 (1,0) ，所求图形分成两块， 分别用定积分表示面积 1
4、21 1| 1|dS x x? ， 2 22 1 ( 1)dS x x? . 故面积 122212 11| 1 |d ( 1 )dS S S x x x x? ? ? ? ? ?= 22(1 )d ( 1)dx x x x? ? ? ?= 331211( ) ( )xx? ? ?= 1 1 8 1 81 1 2 ( 1 )3 3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ?. （ 2） 103 19.证明： a c a c a b b c a b b ca b b c a b b c- - - + - - + -+ = +- - - - 2 2 2 4b c a b b c a ba b b c
5、a b b c- - - -= + + + ?- - - -，（ abc ） 4a c a ca b b c-+ 得 1 1 4a b b c a c+- - - . 20解：（ 1） -3x2+4x-1=-(3x-1)(x-1) - 5 - ()y f x= 在（ 2,f(2)）处的切线斜率为 -5， f(2)=-2, 切线方程为 y+2=-5(x-2)即 5x+y-8=0 （ 2） 由（ 1）知 .f(x)在（ -， 31 ） 内 单调递减，在（ 31 ， 1） 内 单调递增，在 (1,）内 单调递减。 所以函数的极小值为 f(31 ） =-274 ，极大值为 f(1） =0 若关于 x
6、的方程 0)( ?axf 有 3个不同实根，即函数 f(x)=a 有三个不同的交点 a（ -274 ， 0） 21.解：函数 f(x)的定义域为（ 0， 2）， ， （ ）当 a=1时， ， 所以 f（ x）的单调递增区间为（ 0， ），单调递减区间为（ ， 2）； （ ）当 x（ 0， 1时， ，即 f（ x）在（ 0， 1上单调递增， 故 f（ x）在（ 0， 1上的最大值为 f（ 1） =a，因此 。 22解：（ 1）当 2?a 时， xxxf ln2)( 2 ? ， x (1, )， 22( 1)( ) 0xfx x- =. 故函数 ()fx在 (1,上是增函数 （ 2） 22( )
7、0xafx x+ =. 当 1,ex ， 222 2, 2e x a a a+ ? +. 若 2a - ， ()fx 在 1,e 上非负（仅当 2a=- ， 1x= 时， ( ) 0fx = ）， 故函数 ()fx在 1,e 上是增函数 . 此时， min ( ) (1) 1f x f= - 6 - 若 22e 2a- - ， 当2ax=-时， ( ) 0fx = 当 12ax - 时， ( ) 0fx ，此时， ()fx是减函数 当 e2a x- 时， ( ) 0fx ，此时， ()fx是增函数 . 故m in ( ) ( ) ln ( )2 2 2 2a a a af x f= - = - - 若 22ea - ， ()fx 在 1,e 上非正（仅当时 22ea=- ， ex= 时， ( ) 0fx = ） 故函数 ()fx在 1,e 上是减函数， 此时 2m in ( ) (e) ef x f a= = + 综上可知，当 2a - 时， ()fx的最小值为 1，相应的 x 的值为 1； 当 22e 2a- - 时， ()fx的最小值为 ln( )2 2 2a a a-相应的 x 值为2a?； 当 22ea? 时， )(xf 的最小值为 2+ea ，相应的 x 值为 e
